江西省丰城中学2015-2016学年高二下学期数学周考试题(文科尖子班3.15) 含答案

丰城中学2015-2016学年下学期高二文科周练试卷
数学（24-30班)
命题人:彭永平2016.03。

15
一、选择题:本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度
2．如图结构图中，框①，②处分别填入（）
A.l⊂α,l⊥α
B.l⊂α,l与α相交
C.l⊄α,l⊥α
D.l⊄α，l与α相交
3．随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由列联表和公式K2=计算出K2,并由此作出结论:“有99％的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则K2可以为（）
附表：
P(K 2≥k 0） 0。

10 0.05 0.025 0.010 k 0 2。

706
3.841
5.024
6。

635
A.3.565 B 。

4。

204 C 。

5.233
D.6.842 4．已知,其中i 为虚数单位，则a+b=( ）
A ．﹣1
B ．1
C ．2
D ．3
5．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据： x 6 8 10 12 y
2
3
5
6
根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=x+中的的值为0.7，则记忆力为14的同学的判断力约为（附:线性回归方程=x+中，=﹣,其中，为样本平均值）( ) A.7 B 。

7.5 C 。

8
D 。

8.5
6．在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，点M （2,6
π）的直角坐标是 ( ）
A ．（2,1）
B ．3，1）
C ．(1，3
D ．(1,2)
7．已知R a ∈，若复数
i
i a z +-=
12为纯虚数，则=+ai 1( ）
A ．10
B ．10
C ．
5 D ．5
8．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A （
2,4
π）,B （2，π4
5),
那么顶点C
的坐标可能（ ） A ．(4，4
3π) B ．(4
3,32
π) C ．（π
,32
） D ．（3,π）
9．已知点A ，B 的极坐标分别为(3,)
4
π
和
11(3,
)
12
π，则A 和B 之间的距离
为（ )
A ．23
B ．32
C ．33
D ．27 10．执行下图的程序框图，则输出的S = （ ）
A ．32
B ．116
C ．2512
D ．13760
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中横线上.
11．
下面是关于复数z=的四个命题：
p 1：｜z ｜=2，p 2：z 2=2i,p 3：z 的共轭复数为1+i ，p 4：z 的虚部为﹣1．
其中的真命题为 (填命题序号）．
12．
观察如图等式，
照此规律，第n 个等式为 ． 13．设i 是虚数单位，复数z 满足(34i)
z -+=1，则
z
的最大值
为 ．
14．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2
S r π=，
观察发现'
S l =;三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度
（体积）
343
V r
π=，观察发现'V S
=．则四维空间中“超球”的三维测
度3
8V r π=，猜想其四维测度W= ．
丰城中学2015-2016学年上学期高二周练试卷答题卡 姓名_____________ 班级______________ 得分
_______________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
总
分
答案
11. ________________________ 12．______________________________ 13. _________________________ 14. ______________________________
三、解答题：本大题共3小题，共30分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．设a >0,b 〉0，2c 〉a ＋b ，求证： (1)c 2>ab ； （2)c
a <c
16．已知复数1
2cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈．
(1)求||21
z z
-的最小值；
（2)设2
1
z z z ⋅=，记z z x f (Im Im )(=表示复数z 的虚部）。

将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把所得的图像向右平移2
π个单位长度，得到函数)(x g 的图像。

试求函数)(x g 的解析
式．
17．已知数列{}n
a 的各项均为正数，n
S 为其前n 项和，对于任意的*
n N
∈满足关系式233n
n S
a =-．
（Ⅰ）求数列{}n
a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n
b 的通项公式是
1
33log log 1
+⋅=
n n n a a b ，前n 项和为n
T ，求证:
对于任意的正数n ,总有1<n
T
．
参考答案
1．B 【解析】
试题分析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少
有一个”的否定：“一个也没有”;即“三内角都大于60度"，故选B ．
考点:反证法的基本原理． 2．D
【解析】
试题分析：设计的这个结构图从整体上要反映直线与平面位置关系的结构,根据线面关系的分类，可得答案．
解：这个结构图从整体上要反映直线与平面位置关系的结构，
由直线与平面的位置关系，分线在面内和线在面外两大类,
线在面外又分线面平行和线面相交两种，
故①，②处分别填入l⊄α，l与α相交，
故选:D
点评：绘制结构图时,首先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解．然后将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内,最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连．
3．D
【解析】
试题分析：根据有99％的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关,可得K2＞6。

635，即可得出结论．
解：∵有99％的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关,
∴K2＞6。

635，
故选：D．
点评：根据列联表，计算K2,与临界值比较,是解决独立性检验的应用问题的方法
4．B
【解析】
试题分析：先化简复数，再利用复数相等，解出a 、b ，可得结果． 解：由得a+2i=bi ﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，
所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i （a ，b ∈R ），则﹣a=1,b=2,a+b=1． 故选B ．
考点：复数代数形式的混合运算． 5．B 【解析】
试题分析：求出横标和纵标的平均数,利用线性回归方程=x+中的的值为0。

7，求出a 的值，由回归直线方程预测，记忆力为14的同学的判断力． 解：由题意,==9，=
=4,
∵线性回归方程=x+中的的值为0。

7，
∴4=9×0。

7+， ∴=﹣2.3，
∴=0。

7x ﹣2。

3，
x=14时，=9.8﹣2。

3=7.5． 故选:B ．
点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法做出线性回归方程的系数． 6．B 【解析】
试题分析：根据极坐标与直角坐标互换公式易知,cos ,sin x y ρθθ==，即
可求出点
(2,)
6
M π
的直角坐标。

故选
B.
考点：极坐标公式。

7．D 【解析】
试题分析：
2
)2()2()1)(1()1)(2(12i a a i i i i a i i a z +--=
-+--=+-=为纯虚数，则
2=a ．1ai +=12i +
=．故选
D ．
考点：复数的概念与运算． 8．B
【解析】点C 在AB 的垂直平分线上，并且C 点对应的极径
为3424
ππ
π+=，所以顶点C 的坐标可能是（4
3,32
π
).
9．C 【解析】 10．2512
【解析】
试题分析:第一次循环后1,2S n ==;第二次循环后13
1,3
22
S n =+==；第三次循环后
11111,4236S n =++==；第四次循环后11125
1,54
23412
S n =+++==>，循环停止,输出
2512
S =
． 考点：循环结构． 11．p 2，p 4 【解析】
试题分析：根据复数的除法运算法则先化简复数为a+bi，a、b∈R 形式，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解．解:解：∵复数z====﹣1﹣i．
｜Z|=，∴p 1:不正确；
∵Z2=（﹣1）2+i2+2i=2i，∴p2：z2=2i,正确；
∵=﹣1+i，∴p 3：z的共轭复数为1+i，不正确;
∵Z=﹣1﹣i,∴虚部为﹣1．∴p4：z的虚部为﹣1正确．
故答案为：p2，p4
考点：复数代数形式的乘除运算；命题的真假判断与应用．
12．n+(n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．
【解析】
试题分析：根据前4个式子的规律，利用归纳推理进行归纳即可．解：等式的右边为1，9，25,49，即12，32，52,72…，为奇数的平方．等式的左边为正整数为首项，每行个数为对应奇数的和，
∴第n个式子的右边为（2n﹣1）2，
左边为n+（n+1)+…+（3n﹣2），
∴第n个等式为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．
故答案为：n+（n+1）+…+(3n﹣2)=(2n﹣1）2．
考点：归纳推理；进行简单的合情推理．
13．6
【解析】
试题分析：设z a bi
=+，由(34i)
z-+=1得
()()
22
341
a b
-+-=22
z x y
∴=+
(),x y 到原点的距离，结合图像可知最大值为圆心()
3,4
到原点的距离加
半径，最大值为6
考点：1．复数运算及相关概念;2．圆的方程;3．数形结合法 14．4
2r
π
【解析】
试题分析：∵二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2
S r π=,观察发现'
S
l =,
三维空间中球的二维测度（表面积）2
4S r π=，三维测度（体积）343
V r
π=，观察发现'
V
S =，
∴四维空间中“超球”的三维测度3
8V r π=,猜想其四维测度W,则
'38w V r π==；∴42w r π=;故答案为：42r π.
考点:类比推理． 15．见解析
【解析】（1)∵a 〉0，b >0,∴2c >a ＋b
c ，∴c 2
〉ab . （2)要证c
a 〈c 只要证－
a －c 即证｜a －c
a －c )2<c 2
－ab 而（a －c ）2－（c 2－ab )＝a (a ＋b －2c ）<0∴原不等式成立．
16．(1
1;（2)
1
()1cos 2
g x x
=+. 【解析】
试题分析：（1）由于
1
2(cos 1)(sin 1)z
z x x i -=-++，因此12
z z -==
=把根号里面的式子化为一个
三角函数，就可最小值,
12z z -=，思见其最小值为
1=；
（2）12z z = (cos )(1sin )sin cos (1sin cos )x i i x x x x x i +-=++-,故
1
Im 1sin cos 1sin 22
z x x x
=-=-，根据图象平移的知识可很快得出()g x 的表达式。

试题解析：(1)∵1
2cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈，
∴
1
2
||z z
-=
=
∴当
sin()1
4
x -=-π
，即
2(Z)
4x k k π
=π-∈时，
12min ||1)
z z -==.
(2）∵1
2
z z z =⋅，
∴1
2
sin cos (1sin cos )i z z z
x x x x =⋅=++-。

∴
1
()1sin cos 1sin 2(R)
2
f x x x x x =-=-∈。

将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后，得到的图像所对应的函数是11
1sin 2
y x
=-. 把函数1
1sin 2
y x
=-的图像向右平移2π个单位长度，得到的图像对应的函数是211sin()
22
y x π=--．
∴
11
()1sin()1cos (R)
222
g x x x x π=--=+∈. 考点：复数的运算，三角函数的最值，图象变换. 17．（Ⅰ)3n n
a
=；(Ⅱ)证明见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由条件233n
n S
a =-得11233n n S a --=-，
两式相减可得数列{}n a 为等比数列，进而可得{}n
a 的通项公式;（Ⅱ）化简()11111n
b n n n n ==-
++,用“裂项相消法”求出n
T ，再利用放缩法既可证明1<n
T
．
试题解析：（Ⅰ）解 由已知得
()11233
2233
n n n n S a n S a --=-⎧≥⎨
=-⎩,故
()112233n n n n n S S a a a ---==-
， 即
()132n n a a n -=≥，故数列{}n a 为等比数列，且公比3q =，又当1n =时，
11233a a =-,13,3n n a a ∴=∴=．。