四川省南充高级中学2016届高三4月模拟考试(三)数学(文)试题 含答案

第Ⅰ卷(共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分,共50分。

在每小题
给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1。

已知集合{}2,1,0,1,2A =--,集合{}2
|1B x x
=≤，则A
B =（ )
A ．{}2,1,0,1--
B ．{}1,1-
C ．{}1,0-
D ．{}1,0,1- 2.已知i 是虚数单位,复数()2
2i +的共轭复数为( ）
A ．34i -
B ．34i +
C ．54i -
D ．54i +
3.设向量()21,3m x =-，向量()1,1n =-，若m n ⊥，则实数x 的值为（ ） A ．—1 B ．1 C ．2 D ．3 4。

执行如图所示的程序框图,输出S 的值为（ )
A ．24
B ．120
C ．360
D ．720 5。

已知圆的方程为2
260x y x +-=,过点()1,2的该圆的所有弦中,最短弦的
长为（ ）
A ．12
B ．1
C ．2
D ．4
6。

已知双曲线2
2
:13
y E x -=的左焦点为F
，直线2x =与双曲线E 相交于,A B
两点,则ABF ∆的面积为（ ）
A ．12
B ．24
C ．
43
D ．83
7。

函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ
⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ )
A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
8。

实数,x y 满足不等式组0
10210
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨
--≤⎪⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为( ）
A ．12
- B ．0 C ．2 D ．4
9。

利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3,567的最高位数字为5)的频数分布图如图所示。

若从这120个正整数中任意取出一个,设其最高位数字为()1,2,,9d d =⋅⋅⋅的概率为P .下列选项中，最难反映P 与d 的关系是( )
A ．12
P d =+
B ．1lg 1P d ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
C ．()
2
5120
d P -=
D ．3
1
5
2d
P =⨯ 10。

设,a b 是不相等的两个正数，且ln ln b a a b a b -=-，给出下列结论：
①1a b ab +->；②2a b +>；③11
2a b
+>.其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③
第Ⅱ卷（共90分)
二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上)
11.某单位有500位职工，其中35岁以下的有125人，35—49岁的有280人，50岁以上的有95人。

为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，需抽取35岁以下职工人数为 。

12。

一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为 。

13。

已知tan 3α=，则sin cos αα的值是 。

14.已知函数()2
2x
x f x -=-,若不等式()()230f x ax a f -++>对任意实数x 恒成
立，则实数a 的取值范围是 。

9.如图，12,A A 为椭圆22
195
x y +=的长轴的左、右端点,O 为坐标原点,,,S Q T 为
椭圆上不同于1
2
,A A 的三点,直线1
2
,Q ,,QA A OS OT 围成一个平行四边形
OPQR ，则2
2OS OT +=。

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分12分）
一种饮料每箱装有6听.经检测，某箱中每听的容量（单位：ml ）如以下茎叶图所示。

（Ⅰ）求这箱饮料的平均容量和容量的中位数；
（Ⅱ）如果从这箱饮料中随机取出2听饮用，求取到的2听饮料中至少有1听得容量为250ml 的概率.
17。

（本小题满分12分)
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足cos cos a B b A =。

(Ⅰ）判断ABC ∆的形状;
(Ⅱ)求sin cos 6B A π⎛⎫
++ ⎪⎝
⎭
的取值范围。

18. (本小题满分12分) 设数列{}n
a 各项为正数，且()22
114,2*n n n a
a a a a n N +==+∈.
(Ⅰ)证明:数列(){}3
log 1n
a +为等比数列； （Ⅱ）设数列(){}3
log 1n
a
+的前n 项和为n T ,求使520n T >成立时n 的最小值.
19。

（本小题满分12分)
如图，在正方形ABCD 中,点,E F 分别是,AB BC 的中点,将,AED DCF ∆∆分别沿
DE 、DF 折起，使,A C 两点重合于P 。

（Ⅰ）求证:平面PBD ⊥平面BFDE ; （Ⅱ）求四棱锥P BFDE -的体积。

20。

(本小题满分12分） 过点()2,2C 作一直线与抛物线2
4y x =交于,A B 两点,点P 是抛物线24y x =上
到直线l ：2y x =+的距离最小的点，直线AP 与直线l 交于点Q 。

(Ⅰ）求点P 的坐标；
(Ⅱ)求证:直线BQ 平行于抛物线的对称轴.
21。

（本小题满分12分）设,a b R ∈，函数()()3
211,3
x f x x ax bx g x e =+++=（e
为自然对数的底数），且函数()f x 的图象与函数()g x 的图象在0x =处有公共的切线. （Ⅰ)求b 的值；
（Ⅱ)讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅲ）证明：当12
a ≤时，()()g x f x >在区间(),0-∞内恒成立。

参考答案
一、选择题
1. D 2。

A 3.C 4。

B 5.C 6.A 7。

B 8。

D 9。

B 10。

D 二、填空题
11. 25 12. π 13. 310
14。

()2,6- 15。

14
三、解答题
16。

本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法分析和解决实际问题的能力，考查推理论证能力、应用意识.
(Ⅰ)由茎叶图知，这箱饮料的平均容量为1100112492496--+++++=,容量
的中位数为249249
2492
+=.……………………4分 （Ⅱ）把每听饮料标上号码，其中容量为248ml ，249ml 的4听分别
记作:1，2,3，4，容量为250ml 的2听分别记作:,a b ,抽取2听饮料，得到的两个标记分别记为x 和y ，则{},x y 表示一次抽取的结果，即基本事件,从这6听饮料中随机抽取2听的所有可能结果有：
{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,4,1,,1,a b ,{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}2,32,42,,2,,3,4,3,,3,,4,,4,,,，，a b a b a b a b .共计
15种，即事件总数为15.
17.本题主要考查和差角公式、正弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化等数学思想。

（Ⅰ)由cos cos a B b A =，根据正弦定理,得sin cos sin cos A B B A =，即()sin 0A B -=。

在ABC ∆中,有A B ππ-<-<，所以0A B -=,即A B =。

所以ABC ∆是等腰三角形.………………5分 （Ⅱ)由（Ⅰ），
A B =
，则
11sin cos sin sin sin sin 622
3B A A A A A A A ππ⎫⎛⎫⎛⎫++=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为A B =，所以02A π<<，则5336
A πππ<+<,所以1sin 12
3A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝
⎭
，于是sin cos 6B A π⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭
的取值范围是1,12⎛⎤
⎥⎝⎦。

………………………………12分
18.本题考查等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等基础知识，考查运算求解能力。

(Ⅰ）由已知,22
11124a a a a =+=,则()1120a a -=，因为数列{}n a 各项为正数，所
以1
2a
=,由已知,()2
1110n n a a ++=+>,得()()313log 12log 1n n a a ++=+，又
()313log 12log 31a +==，所以，数列(){}3log 1n a +是首项为
1，公比为2的等
比数列。

…………………………7分 (Ⅱ）由（Ⅰ)可知，()1
3
log 12n n
a -+=,所以21122221n n n
T
-=+++⋅⋅⋅+=-.
由520n
T
>，得()2521*n n N >∈。

所以10n ≥,于是520n T >成立时n 的最小值为
10。

……12分
19。

本题主要考查空间面面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力。

（Ⅰ）证明：连接EF 交BD 于O ,连接OP 。

在正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点,点F 是BC 的中点,所以,BE BF DE DF ==,所以DEB DFB ∆≅∆，因此
BDE BDF ∠=∠,所以在等腰DEF
∆中，O 是EF 的中点,且EF OD ⊥.因此在等腰
PEF ∆中，EF OP ⊥,从而EF ⊥平面OPD .又EF ⊂平面BFDE ，所以平面BFDE ⊥
平面OPD .即平面PBD ⊥平面BFDE .………………6分
（Ⅱ)由（Ⅰ)的证明可知平面POD ⊥平面DEF ，易知，
232
222
OP OE OF OD PD =====,由于222184OP PD OD +==，所以90
OPD ∠=.作
PH OD ⊥于H
,则PH ⊥平面DEF 。

在Rt POD ∆中,由OD PH OP PD ⋅=⋅,得23
PH =，又四边形BFDE 的面积11
222222S EF BD =⋅==，所以，四棱锥P BFDE -的体
积14
39
V S PH =⋅=。

………12分 20。

本题主要考查抛物线的标准方程、直线方程等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一
般、分类与整合等数学思想。

（Ⅰ)设点P 的坐标为()0
,x y ，则2
04y
x =，所以，点P 到直线l
的距离
d =
=
=
≥
02y =时等号成立，此时P 点坐标为()1,2.………………4分
（Ⅱ）设点A 的坐标为2
11,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,显然12y ≠.当12y =-时，A 点坐标为()1,2-,
直线AP 的方程为1x =；当1
2y ≠-时，直线AP 的方程为()12
1
2
2114
y y x y --=
--，化简得()1
14220x y
y y -++=,综上，直线AP 的方程为()114220x y y y -++=，与
直线l 的方程2y x =+联立，可得点Q 的纵坐标为1128
2
Q
y y y -=
-,当218y =时,直线AC 的方程为2x =,可得B 点的纵坐标为1B
y
y =-,此时，
()11012
1114228422224
y y y y y y y +-==-=-=----，即知//BQ x 轴，当2
18y ≠时，直线AC 的方程为()12
1
2
2224
y y x y --=--，化简得()()()221111488280-y x y y y y --+-=，与抛物线方程2
4y
x =联立，
消去x ，可得()()()22211118280-2y y y y y y --+-=，所以，点B 的纵坐标为211
111828
22
B y y y y y y --=-=--，从而可得//BQ x 轴，所以//BQ x 轴。

…………13分
21。

本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。

（Ⅰ） ()()2
2,'x f x x
ax b g x e =++=,由()()'0'01f b g ===，得1b =。

(2)
分 （Ⅱ）
()()2
22'211f x x ax x a a =++=++-.当21a ≤时,即11a -≤≤时，()'0f x ≥，从
而函数()f x 在定义域内单调递增。

当2
1a
>时，
()('=f x x a x a +++-，此时，当(,x a ∈-∞--
时，()'0f x >，
从而函数()
f x 单调递增；当(x a a ∈---+时,()'0f x <，从而函
数()
f x 单调递减；当()x a ∈-++∞
时，()'0f x >，从而函数()f x 单调递
增。

…………7分 （Ⅲ)令()()()2''21x
h x g x f x e
x ax =-=---,则()0010h e =-=，()'22x h x e x a =--，令
()()'22x x h x e x a μ==--，
则()'2x x e μ=-。

当1
2
a ≤时,()()0'0120h a μ==-≥.又当0x ≤时，()'0x μ<,从而()x μ单调递减;所以()0x μ>，故当(),0x ∈-∞时,()h x 单调递增；又因为()00h =，故当0x <时,()0h x <。

从而函数()()g x f x -在区间(),0-∞单调递减；又因为()()000g f -=，所以()()g x f x >在区间(),0-∞恒成立。

…………14分。