高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式选讲》真题汇编含解析

【最新】数学《不等式选讲》高考知识点
一、14
1．若，则不等式
的解集为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
由绝对值三角不等式的性质得出，由
，得出
，借助正弦函数
图象可得出答案。

【详解】 因为成立，所以
，
又，所以
，
，故选：D 。

【点睛】
本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题。

2．若集合{}
2
540A x x x =-+<，{}
1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的
（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 【详解】
解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}
14A x x ∴=<<. 解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，
{}11B x a x a ∴=-<<+.
B A ⊆Q ，则有11
14a a -≥⎧⎨+≤⎩
，解得23a ≤≤.
因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】
本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推
理能力，属于中等题.
3．猜测使2n a n >对任意正整数n 恒成立的最小正整数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意结合选项利用特殊值排除选项A ，然后利用数学归纳法证明选项B 正确即可. 【详解】
注意到当2,4a n ==时，2n a n >不成立，则2a =不合题意， 当3a =时，不等式即23n n >， 当1n =时，不等式即31>， 当2n =时，不等式即94>，
下面用数学归纳法证明该式对于*
,3n N n ∈≥成立， 当3n =时，不等式即279>，明显成立， 假设(
)*
3,n k k k N
=≥∈时不等式成立，即23
k
k >,
则当1n k =+时，123333k k k +=⋅>， 而()(
)2
2
2
*
31221k k k k k N
-+=--∈，
结合二次函数的性质可知，当2k >时，22221222210k k -->⨯-⨯->，
故当*
3,k k N ≥∈时，()()2
2
22310,31k k k k -+>>+.
综上可得，23n n >对任意的n 均成立. 则最小正整数a 的值为3. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．若不等式23x a x -≤+对任意[]
0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-
C ．()1,3
D ．[]1,3
【答案】B 【解析】 【分析】
将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题. 【详解】
不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+，
即3223x x a x a x --≤-⎧⎨-≤+⎩
对任意[]0,2x ∈恒成立，
变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩
，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩
所以a 的取值范围是[]1,3- 故选：B 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.
5．已知点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标
原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ） A
B ．
13
C
D
【答案】D 【解析】 【分析】
点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b
为平面上一点，
||OM =a ，b 关系，代入即可．
【详解】
解：点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，可得22911a b +=，
(,)M a b
为平面上一点，||OM =
所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 22
22
13
b e a =-=，
e =
． 故选D ． 【点睛】
考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．
6．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤-
B ．{|14}x x -≤≤
C ．{|14}x x x ≤-≥或
D ．{|4}x x ≥
【答案】C 【解析】 【分析】
根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】
因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】
本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.
7．设x ∈R ，则“2x <”是4<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
首先求解绝对值不等式和根式不等式，然后分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】
由2x <可得22x -<<4<可得016x ≤<，
22x -<<是016x ≤<的既不充分也不必要条件，
“2x <”是4<”的既不充分也不必要条件. 本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．设集合{
}|22,A x x x R =-≤∈，{
}
2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于 A ．R B ．{}|,0x x R x ∈≠ C ．{}0
D ．∅
【答案】B 【解析】
解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){}0R R C A B C ⋂=，故选B 。

9．已知函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数,且当0x >时,()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为 （ ） A ．45[,)33
B ．2112(,][,)3333
-
-⋃
C ．12[,)33⋃45(,]33
D ．随a 的值而变化
【答案】C 【解析】
试题分析：∵函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴1-a=2a ，∴a=1
3
，故函数()f x 的定义的定义域为22[,]33-
，又当2
03
x <≤时,()f x 单调递增，∴11113
(1)()(1)(){23313
x f x f f x f x ->
->⇔->⇔-≤
，解得1233x ≤<或4533x <≤，所以
不等式(1)()f x f a ->的解集为12[,)33
⋃45(,]33
，故选C
考点：本题考查了抽象函数的运用
点评：此类问题往往利用偶函数的性质()()f x f x =避免了讨论，要注意灵活运用
10．不等式的解集是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
利用绝对值三角不等式，得到，恒成立.
【详解】
恒成立.
故答案选B 【点睛】
本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.
11．已知数列{}n a ，{}n b 满足11132n n n a a b +=
+，111
32
n n n b a b +=-.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，则存在正常数M ，对任意*n N ∈都有（ ） A ．n S M <且n T M > B ．n S M <且n T M < C ．n S M >且n T M < D ．n S M >且n T M >
【答案】B 【解析】
【分析】
设{}
max ,n n n c a b =，则0n c ≥，根据三角不等式结合已知可得
11556
6n n
n n a c b c ++≤≤，进而有15
6
n n c c +≤，求出{}n c 的前n 项和的范围，即可求出结
论.
【详解】
设{}
max ,n n n c a b =，则0n c ≥，由三角不等式可知
111115
32326n n n n n n a a b a b c +=+≤+≤， 111115
32326
n n n n n n b a b a b c +=
-≤+≤， 所以15
6
n n c c +≤
，设{}n c 的前n 项和为n H ， 若0n c =时，则0n n n S T H ===， 存在0M >，使得n n S T M =<，
若0n c ≠时，则156
n n c c +≤，11
5[1()]66516
n
n c H c -≤<-， 取16M c =，,n n S M T M ∴<<. 故选：B. 【点睛】
本题考查数列的前n 项和，构造数列转化为等比数列是解题的关键，作为选择题或直接取
0,0n n a b ==即可得出答案，要注意特殊方法的选取，属于中档题.
12．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（ ） A ．9 B ．3 C ．1 D ．27
【答案】B 【解析】 【分析】
由已知2
2
2
1x y z ++=，可利用柯西不等式
2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，构造柯西不等式，即可求解．
【详解】
由已知，可知,,x y z ∈R ，2
2
2
1x y z ++=，
利用柯西不等式2
2
2
2
2
2
2
()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++， 可构造得2
2
2
2
2
2
2
(122)()(22)x y x x y z ++++≥++，
即2(22)9x y z ++≤，所以22x y z ++的最大值为3，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
13．已知函数()f x 是R 上的增函数，它的图像经过点()0,2A -，()3,2B
，则不等式
()2f x ≥的解集为（ ）
A ．[]0,3
B ．(),3-∞
C ．[)3,+∞
D ．(][),03,-∞⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
首先不等式等价于()2f x ≥或()2f x ≤-，然后再根据函数的单调性解不等式. 【详解】
不等式()()22f x f x ≥⇒≥或()2f x ≤-
Q 函数()f x 是R 上的增函数，它的图像经过点()0,2A -，()3,2B ，
()23f x x ∴≥⇒≥，()20f x x ≤-⇒≤
∴不等式的解集是(][),03,-∞⋃+∞.
故选：D 【点睛】
本题考查根据函数的单调性解不等式，意在考查含绝对值不等的解法，考查基本计算能力，属于基础题型.
14．已知全集U =R ，{|13}P x x x =+-<，{|213}Q x x =-<，则集合P ，Q 之间的关系为（ ）
A ．集合P 是集合Q 的真子集
B ．集合Q 是集合P 的真子集
C ．P Q =
D ．集合P 是集合Q 的补集的真子集
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简得{|12}P x x =-<<．求出{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，由此得到P Q =． 【详解】 |||1|3x x +-<Q ，
∴当0x „时，|||1|1213x x x x x +-=-+-=-+<，解得1x >-．10x ∴-<„；
当01x <„时，|||1|113x x x x +-=+-=<，成立；
当1x >时，|||1|1213x x x x x +-=+-=-<，解得2x <．12x ∴<<．
{|12}P x x ∴=-<<．
{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<， P Q ∴=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查两个集合的关系的判断，考查集合与集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．若,,a b c ∈R ，则下列结论中: (1)2
211a a a a
+
≥+； (2)a b a c b c -≤-+-； (3)若a b >，则
11a b
a b
>++；
(4)若1a b +=，则22
21
a b a b ++
+的最小值为 其中正确结论的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
利用函数知识、换元法、绝对值不等式等知识，对选项进行一一推理证明，即可得答案. 【详解】
对（1），2
22
1111()()20a a a a a a a a +
≥+⇔+-+-≥，∴1
2a a +≥或11a a
+≤-， ∵1
2a a +≥或12a a
+≤-，∴原不等式成立，故（1）正确；
对（2），∵()()a b a c b c a c b c -=---≤-+-，故（2）正确； 对（3），令1
,52a b =-=-，则51,114a b a b =-=++，显然11a b a b
>++不成立，故（3）错误；
对（4），∵1a b +=，∴22222
2(1)23
1111a b b b b a b b b b
+-+++=+=+-+-，当1b >时，2
3
01b b
+<-，
∴2221a b a b ++
+的最小值为4）错误. 故选：B.
【点睛】
本题考查函数与不等式的知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意消元法、换元法的使用.
16．不等式||x x x <的解集是（ ） A ．{|01}x x <<
B ．{|11}x x -<<
C ．{|01x x <<或1}x <-
D ．{|10x x -<<或1}x >
【答案】C 【解析】 【分析】
原不等式即()||10x x -<，等价转化为①010x x >⎧⎨-<⎩，或 ②0
10x x <⎧⎨->⎩
．分别求得①、
②的解集，再取并集，即得所求． 【详解】
解：不等||x x x <，即()||10x x -<，
∴①010x x >⎧⎨-<⎩或 ②0
10x x <⎧⎨->⎩
．
解①可得01x <<，解②可得1x <-．
把①②的解集取并集，即得原不等式的解集为{|01x x <<或1}x <-， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题．
17．已知三个正实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，给出以下几个结论：
①2
2
2
13a b c ++≤；②13ab bc ca ++≤；③222
1b c a a b c
++≥；
≥.
则正确的结论个数为( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
利用基本不等式及柯西不等式计算可得； 【详解】
解：①：Q 2222
22222a b ab b c bc a c ac ⎧+⎪+⎨⎪+⎩
……
…，222a b c ab bc ac ∴++++…
2222222()2223()a b c a b c ab ac bc a b c ∴++=+++++++„．
2221
3
a b c ∴++…，故①不正确．
②：由2222()2()3()a b c a b c ab bc ac ab bc ac ++=+++++++…，1
3
ab bc ca ∴++„，故②正确．
③：Q 2
22
222b a b a
c b c b a c c c ⎧+⎪⎪⎪+⎨⎪⎪+⎪⎩
…
……，∴222
1b c a
a b c a b c ++++=… ∴222
1b c a a b c
++…，故③正确． ④
：由柯西不等式得2()(111)a b c ++++，
∴≤．则④错误．
故选：B ． 【点睛】
本题考查利用基本不等式即柯西不等式证明不等式，属于中档题．
18．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，数列{}n b 满足()1
log 01n n a
n
a b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11
log 2
n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（ ） A ．n n T M ≥ B ．n n T M >
C ．n n T M <
D ．n n T M ≤
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出2462log ()13521
n a n
T n =⨯⨯⨯-L
，log n a M =
，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈即得解. 【详解】
因为2
n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.
所以2log 21
n a n
b n =-， 所以24622462log log log log log ()1352113521
n a
a a a a n n T n n =+++=⨯⨯⨯--L
111log =log (21)log 22
n a n a a M a n +=+= 下面利用数学归纳法证明不等式*1321)
242n n N n -⨯⨯⋯⨯∈ （1）当1n =时，左边1
2=，右边=<右边，不等式成立， （2）22414n n -<Q ，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即
212221n n n n -<+，
∴
<，
∴
< 假设当n k =时，原式成立，即1121
232k k -⨯⨯⋯⨯<，
那么当1n k =+时，即11212121
2322(1)2(1)k k k k k k -++⨯⨯⋯⨯⨯<=<++g ， 即1n k =+时结论成立．
根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以
2462
13521
n n ⨯⨯⨯>-L
因为0＜a ＜1，所以2462log ()log 13521
a a n n ⨯⨯⨯<-L
所以n n T M <.
故选：C
【点睛】
本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．集合{}|12A x x =-<，1393x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭
，则A B I 为( ) A ．()1,2
B ．()1,2-
C ．()1,3
D ．()1,3- 【答案】B
【解析】
【分析】 计算得到{}13A x x =-<<，{}
12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案.
【详解】
18{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭
， 故()1,2A B =-I .
故选：B .
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.
20．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛
⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭的最小值为（ ） A ．9-
B ．9
C ．10
D ．0 【答案】B
【解析】
【分析】 利用柯西不等式得出最小值．
【详解】
（x 224y +）（y 221x
+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝9．
当且仅当xy 2xy
=
即xy= 时取等号． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．。