天津市南开区2019届九年级上期中数学试卷含答案解析

2018-2019学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共36分）
1．方程x（x+）=0的根是( )
A．x1=0，x2=B．x1=0，x2=﹣ C．x1=0，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2
2．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0
4．设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )
A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）
5．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=( )
A．80°B．90°C．100°D．无法确定
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=( )
A．30°B．35°C．45°D．60°
7．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( )
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2﹣2
8．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2；
④使y≤3成立的x的取值范围是﹣3≤x≤1．
其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1），将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为( )
A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）
10．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是( )
A．B．C．D．
11．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为( )
A．B．C．D．
12．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为( )
A．3 B．4﹣C．4 D．6﹣2
二.填空题：共18分.
13．坐标平面内的点P（m，2）与点Q（3，﹣2）关于原点对称，则m=__________．14．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为__________
15．请写出一个二次函数，使其满足以下条件：①图象过点（2，﹣2）；②当x＜0时，y 随x增大而增大；它的解析式可以是__________
16．若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm、深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为__________cm．
17．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程：__________．
18．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m ＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A （﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是__________．（只填写序号）
三．解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 19．（1）x（x﹣2）+x﹣2=0（适当方法）
（2）2x2+1=3x（配方法）
20．二次函数中y=ax2+bx﹣3的x、y满足表：
x …﹣1 0 1 2 3 …y …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …（1）求该二次函数的解析式；
（2）求m的值并直接写出对称轴及顶点坐标．
21．如图，在圆O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，AB=12cm，∠CFD=60°．
（1）求∠COB的度数；
（2）求CD的长．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD=OA，OC=2．求证：CD是⊙O的切线．
23．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，求建成的饲养室总面积的最大值（墙体厚度忽略不计）．
24．在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE 绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于__________，线段CE1的长等于__________；（直接填写结果）
（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；
（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）
25．如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在求出P的坐标，不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB面积为S，求S的最大（小）值．
2018-2019学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共36分）
1．方程x（x+）=0的根是( )
A．x1=0，x2=B．x1=0，x2=﹣ C．x1=0，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程利用两数之积等于0，两数至少有一个为0求出解即可．
【解答】解：方程x（x+）=0，
可得x=0或x+=0，
解得：x1=0，x2=﹣．
故选B
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：第一个图形是中心对称图形，
第二个图形不是中心对称图形，
第三个图形是中心对称图形，
第四个图形不是中心对称图形，
所以，中心对称图有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足△=b2﹣4ac＞0
【解答】解：依题意列方程组
，
解得k＜1且k≠0．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
4．设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )
A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x=3，点M在直线l上则点M的横坐标一定为3，从而选出答案．
【解答】解：∵二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线x=3，
∴直线l上所有点的横坐标都是3，
∵点M在直线l上，
∴点M的横坐标为3，
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴是x=h．
5．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=( )
A．80°B．90°C．100°D．无法确定
【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．
【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得
∠ACB=∠AOB=90°．
【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，
∴∠AOB=∠ACB，
∵∠AOB=90°，
∴∠ACB=90°．
故选B．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=( )
A．30°B．35°C．45°D．60°
【考点】切线的性质；正多边形和圆．
【分析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB．
【解答】解：连接OB，AD，BD，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴AD为外接圆的直径，
∠AOB==60°，
∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．
∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAB=∠ADB=30°，
故选A．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．
7．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( )
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】几何变换．
【分析】先利用顶点式得到抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），再利用点平移的规律得到点（0，1）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），把点（0，1）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的对应点的坐标为（﹣2，﹣2），所以所得抛物线的函数关系式y=（x+2）2﹣2．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2；
④使y≤3成立的x的取值范围是﹣3≤x≤1．
其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．
【分析】直接根据二次函数的图象与x轴的交点及顶点坐标即可得出结论．
【解答】解：①∵二次函数的顶点坐标为（﹣1，4），
∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，故①正确；
②∵当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，故②正确；
③∵抛物线与x轴的交点分别是（﹣3，0），（1，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之和=﹣3+1=﹣2，故③正确；
④由函数图象可知，当y≤3时，x≥0或x≤2，故④错误．
故选C．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能利用函数图象求出不等式的解集是解答此题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1），将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为( )
A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】根据旋转方向、旋转中心及旋转角，找到B'，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．【解答】解：如图所示：
结合图形可得点B′的坐标为（2，1）．
故选A．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化，解答本题的关键是找到旋转的三要素，找到点B'的位置．
10．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是( )
A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象；正比例函数的图象．
【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，
根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行
判断．
【解答】解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，
∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，
∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，
∵﹣＞0，a＞0
∴﹣=﹣+＞0
∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，
∵a＞0，开口向上，
∴A符合条件，
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为( )
A．B．C．D．
【考点】三角形的内切圆与内心．
【分析】由于△ABC、△A1B1C1都是正三角形，因此它们的外心与内心重合；可过O分别作AB、A1B1的垂线，连接OA、OA1；在构建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半径分别表示出AB、A1B1的长，进而可求出它们的比例关系，进而得出△A1B1C1与△ABC的面积的比值．
【解答】解：设圆心为O，AB与圆相切于点D，连接AO，DO，
∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，
∴它们的内心与外心重合；
如图：设圆的半径为R；
Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R；
AO=OD•=R，
即AB=2R；
同理可求得：A1B1=R，
∴==，
则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为：（）2=．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质以及正多边形的内外心重合等知识，得出=是解题关键．
12．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为( )
A．3 B．4﹣C．4 D．6﹣2
【考点】正多边形和圆；坐标与图形性质；等边三角形的性质．
【分析】首先得到当点E旋转至y轴上时DE最小，然后分别求得AD、OE′的长，最后求得DE′的长即可．
【解答】解：如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；
∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC
∵AB=BC=2
∴AD=AB•sin∠B=，
∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，
∴OE=OE′=2
∵点A的坐标为（0，6）
∴OA=6
∴DE′=OA﹣AD﹣OE′=4﹣
故选B．
【点评】本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形．
二.填空题：共18分.
13．坐标平面内的点P（m，2）与点Q（3，﹣2）关于原点对称，则m=﹣3．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），所以m=﹣3．
【点评】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，是需要识记的基本问题．
14．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为m＞0
【考点】二次函数的性质．
【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式组解答即可．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣m）2+（m+1），
∴顶点坐标为（m，m+1），
∵顶点在第一象限，
∴m＞0，m+1＞0，
∴m的取值范围为m＞0．
故答案为：m＞0．
【点评】此题考查二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），以及各个象限点的坐标特征．
15．请写出一个二次函数，使其满足以下条件：①图象过点（2，﹣2）；②当x＜0时，y 随x增大而增大；它的解析式可以是y=﹣2x2+6
【考点】二次函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】根据该函数的增减性确定其比例系数的取值，然后代入已知点后即可求得其解析式．【解答】解：∵当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴设解析式为：y=﹣2x2+b，
∵图象经过点（2，﹣2），
∴﹣2=﹣2×22+b，
解得：b=6．
∴解析式为：y=﹣2x2+6（答案不唯一）．
故答案为：y=﹣2x2+6（答案不唯一）．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握性质，设出二次函数的顶点式是解决问题的关键．
16．若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm、深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为14.5cm．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】应用题．
【分析】根据题意，把实际问题抽象成几何问题，即圆中与弦有关的问题，根据垂径定理，构造直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，设出未知数，列出方程，即可求出铅球的直径．
【解答】解：根据题意，画出图形如图所示，
由题意知，AB=10，CD=2，OD是半径，且OC⊥AB，
∴AC=CB=5，
设铅球的半径为r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，根据勾股定理，OC2+AC2=OA2，
即（r﹣2）2+52=r2，
解得：r=7.25，
所以铅球的直径为：2×7.25=14.5 cm．
【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三
角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，
知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
17．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程：2（1+x）+2（1+x）2=8．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】关键描述语是：“预计今明两年的投资总额为8万元”，等量关系为：今年的投资的总额+明年的投资总额=8，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵去年对实验器材的投资为2万元，该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，
∴今年的投资总额为2（1+x）；明年的投资总额为2（1+x）2；
∵预计今明两年的投资总额为8万元，
∴2（1+x）+2（1+x）2=8．
【点评】解决本题的关键是找到相关量的等量关系，注意预计明年的投资总额是在今年的投资总额的基础上增加的．
18．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m ＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A （﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是③⑤．（只填写序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得
到0＜﹣＜，变形可得a+b＞0，则可对②进行判断；利用点A（﹣3，y1）和点B（3，
y2）到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，两式相减得am2﹣a+bm+b=0，然后把等式左边分解后即可得到a（m﹣1）+b=0，
则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到＜c≤﹣1，
变形得到b2﹣4ac＞4a，则可对⑤进行判断．
【解答】解：如图，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①的结论正确；
∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，
∴0＜﹣＜，
∴+=＞0，∴a+b＞0，所以②的结论正确；
∵点A（﹣3，y1）到对称轴的距离比点B（3，y2）到对称轴的距离远，
∴y1＞y2，所以③的结论错误；
∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），
∴a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，
∴am2﹣a+bm+b=0，
a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）=0，
∴a（m﹣1）+b=0，所以④的结论正确；
∵＜c，
而c≤﹣1，
∴＜﹣1，
∴b2﹣4ac＞4a，所以⑤的结论错误．
故答案为③⑤．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab
＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三．解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 19．（1）x（x﹣2）+x﹣2=0（适当方法）
（2）2x2+1=3x（配方法）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）分解因式得：（x﹣2）（x+1）=0，
可得x﹣2=0或x+1=0，
解得：x1=2，x2=﹣1；
（2）方程整理得：x2﹣x=﹣，
配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，
开方得：x﹣=±，
解得：x1=1，x2=．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．二次函数中y=ax2+bx﹣3的x、y满足表：
x …﹣1 0 1 2 3 …y …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …（1）求该二次函数的解析式；
（2）求m的值并直接写出对称轴及顶点坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）设一般式y=ax2+bx+c，再取三组对应值代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把（﹣1，0），（0，﹣3），（1，﹣4）代入得，解得a=1，b=﹣2，c=﹣3，
所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
所以抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
21．如图，在圆O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，AB=12cm，∠CFD=60°．
（1）求∠COB的度数；
（2）求CD的长．
【考点】圆周角定理；解直角三角形．
【分析】（1）连接OD，由垂径定理可得∠COB=∠DOB=∠COD，进而可求出∠COB的
度数；
（2）若∠CFD=60°，则∠COB=60°，通过解直角三角形即可求得CD的长．
【解答】解：（1）连接OD，
∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，
∴，
∴∠COB=∠DOB=∠COD，
∴∠CFD=∠COB=60°；
（2）Rt△COE中，OC=6cm，∠COE=∠CFD=60°；
∴CE=OC•sin60°=3cm；
∴CD=2CE=6cm．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及特殊角的锐角三角函数值得运用，连接OD，得到△COD是解直角三角形是解题的关键．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD=OA，OC=2．求证：CD是⊙O的切线．
【考点】切线的判定．
【专题】证明题．
【分析】连接OD，先通过计算得到OD2+CD2=OC2，则根据勾股定理的逆定理得∠ODC=90°，然后根据切线的判定定理得CD是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD，如图，
CD=OD=OA=AB=2，OC=2，
∵22+22=（2）2，
∴OD2+CD2=OC2，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，
∴OD⊥CD，
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理的逆定理．
23．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，求建成的饲养室总面积的最大值（墙体厚度忽略不计）．
【考点】二次函数的应用．
【分析】设中间隔开的墙EF的长为x米，建成的饲养室总面积为S平方米，根据题意可知AD的长度等于BC的长度，列出式子AD﹣2+3x=28，得出用x的代数式表示AD的长，再根据矩形的面积=AD•AB得出S关于x的解析式，再利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：设中间隔开的墙EF的长为x米，建成的饲养室总面积为S平方米，根据题意得
AD﹣2+3x=28，解得AD=30﹣3x，
则S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75，
故当中间隔开的墙长为5米时，饲养室有最大面积75平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用，配方法，矩形的面积，有一定难度，解答本题的关键是得到建成的饲养室总面积的解析式．
24．在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE 绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于2，线段CE1的长等于2；（直接填写结果）
（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；
（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）
【考点】几何变换综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；（2）根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案；
（3）首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．
【解答】（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，
∴AE=AD=2，
∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，
∴BD1==2，E1C==2；
故答案为：2，2；
（2）证明：当α=135°时，如图2，
∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，
∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，
在△D1AB和△E1AC中
∵，
∴△D1AB≌△E1AC（SAS），
∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，
记直线BD1与AC交于点F，
∴∠BFA=∠CFP，
∴∠CPF=∠FAB=90°，
∴BD1⊥CE1；
（3）解：如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，
∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，
当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1==2，
故∠ABP=30°，
则PB=2+2，
故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+．
【点评】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键．
25．如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在求出P的坐标，不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB面积为S，求S的最大（小）值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式．因为已知A（3，0），所以需要求得B点坐标．如答图1，连接OB，利用勾股定理求解；
（2）由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上．如答图2，OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解；
（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB面积的表达式，这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值．
【解答】解：（1）如答图1，连接CB．
∵BC=2，OC=1
∴OB===
∴B（0，）
将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式得：，解得：，
∴y=﹣x2+x+；
（2）存在．
如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P1，P2．
∵B（0，），O（0，0），
∴直线l的表达式为y=，
代入抛物线的表达式，得﹣x2+x+=，
解得x1=1+或x2=1﹣，
∴P1（1﹣，）或P2（1+，）；
（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，
设M（x m，y m），
+S△MHA﹣S△OAB
则S△MAB=S
梯形MBOH
=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB
=（y m+）x m+（3﹣x m）y m﹣×3×
=x m+y m﹣，
∵y m=﹣x m2+x m+，
∴S△MAB=x m+（﹣x m2+x m+）﹣
=﹣x m2+x m
=﹣（x m﹣）2+，
∴当x m=时，S△MAB取得最大值，最大值为．
【点评】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数相关性质、圆的性质、垂直平分线、勾股定理、面积求法等知识点．其中第（2）问中注意垂直平分线与抛物线的交点有两个，不要漏解；第（3）问中，重点关注图形面积的求法以及求极值的方法．。