裕民县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

裕民县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm ），则此几何体的表面积是（ ）
A ．8cm 2
B ． cm 2
C ．12 cm 2
D ．
cm 2
2． 垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．以上都有可能
3． 已知等差数列的公差且成等比数列，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=1相切，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
6． 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可
知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，
则r=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 与函数 y=x 有相同的图象的函数是（ ）
A．B．C．D．
8．定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f（7）=6，则f（x）（）A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6
B．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6
C．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6
D．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6
9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1，且a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m等于（）A．38 B．20 C．10 D．9
10．已知函数f（x）=xe x﹣mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（）
A．B． C．D．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）
A．四棱柱B．四棱锥C．三棱台D．三棱柱
12．直线l将圆x2+y2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是（）
A．x﹣y+1=0，2x﹣y=0 B．x﹣y﹣1=0，x﹣2y=0
C．x+y+1=0，2x+y=0 D．x﹣y+1=0，x+2y=0
二、填空题
13．设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，
则f（）=．
14．设m是实数，若x∈R时，不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，则m的取值范围是．
15．若函数f（x），g（x）满足：∀x∈（0，+∞），均有f（x）＞x，g（x）＜x成立，则称“f（x）与g（x）关于y=x分离”．已知函数f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）关于y=x分离，则a的取值范围是．
16．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，则椭圆的短轴长为．
17．i是虚数单位，化简：=．
18．记等比数列{a n}的前n项积为Πn，若a4•a5=2，则Π8=．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]
CP=.
如图，点C为圆O上一点，CP为圆的切线，CE为圆的直径，3
（1）若PE交圆O于点F，16
EF=，求CE的长；
5
⊥于D，求CD的长.
（2）若连接OP并延长交圆O于,A B两点，CD OP
20．已知p：﹣x2+2x﹣m＜0对x∈R恒成立；q：x2+mx+1=0有两个正根．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．
21．已知m≥0，函数f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|的最大值为3．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若实数a，b，c满足a﹣2b+c=m，求a2+b2+c2的最小值．
22．定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），则
（1）求f（0）；
（2）证明：f（x）为奇函数；
（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
23．（本小题满分12分）
如图长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，
BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝4，D1F＝8，过点E，F，C的平面α与长方体的面相交，交线围成一个四边形．
（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）； （2）求平面α将长方体分成的两部分体积之比．
24．（本题满分12分）如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别是棱DD 1 、C 1D 1的中点. （1）求直线BE 和平面ABB 1A 1所成角 的正弦值； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．
A 1
B 1
C 1
D
D 1 C B
A E F
裕民县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由已知可得：该几何体是一个四棱锥，
侧高和底面的棱长均为2，
故此几何体的表面积S=2×2+4××2×2=12cm2，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积，空间几何体的三视图，根据已知判断几何体的形状是解答的关键．
2．【答案】D
【解析】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．
故选D
【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．
3．【答案】A
【解析】
由已知，，成等比数列，所以，即
所以，故选A
答案：A
4．【答案】D
【解析】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，即x±y=0．
根据圆（x﹣2）2+y2=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，
可得，1=，∴=，
，可得e=．
故此双曲线的离心率为：．
故选D．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．
5．【答案】A
【解析】
考点：得出数列的性质及前项和．
【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推
理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“
10
a>，0
d<”判断前项和的符号问题是解答的关键．6．【答案】C
【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
∴R=
故选C．
【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
7．【答案】D
【解析】解：A：y=的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误
B：与y=x的对应法则不一样，故B错误
C：=x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误
D：，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确
故选D
【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题
8．【答案】D
【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）在x=7时，函数取得最大值f（7）=6，
∵函数f（x）是偶函数，
∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6，
故选：D
9．【答案】C
【解析】解：根据等差数列的性质可得：a m﹣1+a m+1=2a m，
则a m﹣1+a m+1﹣a m2=a m（2﹣a m）=0，
解得：a m=0或a m=2，
若a m等于0，显然S2m﹣1=
=（2m﹣1）a m=38不成立，故有a m=2，
∴S2m﹣1=（2m﹣1）a m=4m﹣2=38，
解得m=10．
故选C
10．【答案】C
【解析】解：设g（x）=xe x，y=mx﹣m，
由题设原不等式有唯一整数解，
即g（x）=xe x在直线y=mx﹣m下方，
g′（x）=（x+1）e x，
g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0），
结合函数图象得K PA≤m＜K PB，
即≤m＜，
，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
11．【答案】A
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，直角梯形的上下底分别为3和4，直角腰为1，棱柱的侧棱长为1，故选A.
考点：三视图
【方法点睛】本题考查了三视图的问题，属于基础题型，三视图主要还是来自简单几何体，所以需掌握三棱锥，四棱锥的三视图，尤其是四棱锥的放置方法，比如正常放置，底面就是底面，或是以其中一个侧面当底面的放置方法，还有棱柱，包含三棱柱，四棱柱，比如各种角度，以及以底面当底面，或是以侧面当底面的放置方法，还包含旋转体的三视图，以及一些组合体的三视图，只有先掌握这些，再做题时才能做到胸有成竹. 12．【答案】C
【解析】解：圆x2
+y2﹣2x+4y=0化为：圆（x﹣1）2+（y+2）2=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为，直线l将圆
x2+y2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线的斜率为﹣1，
∴直线l的方程是：y+2=﹣（x﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题．
二、填空题
13．【答案】1．
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
∴=1．
故答案为：1．
【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．
14．【答案】[0，2]．
【解析】解：∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|（x﹣m）﹣（x﹣1）|=|m﹣1|，
故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，可得|m﹣1|≤1，∴﹣1≤m﹣1≤1，
求得0≤m≤2，
故答案为：[0，2]．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．
15．【答案】（，+∞）．
【解析】解：由题意，a＞1．
故问题等价于a x＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立．
构造函数f（x）=a x﹣x，则f′（x）=a x lna﹣1，
由f′（x）=0，得x=log a（log a e），
x＞log a（log a e）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
0＜x＜log a（log a e），f′（x）＜0，f（x）递减．
则x=log a（log a e）时，函数f（x）取到最小值，
故有﹣log a（log a e）＞0，解得a＞．
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．
16．【答案】 ．
【解析】解：椭圆C ：
+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，
可得c=2，2a=
=8，可得a=4，
b 2=a 2﹣
c 2=12，可得b=2
， 椭圆的短轴长为：4
．
故答案为：4．
【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．
17．【答案】 ﹣1+2i ．
【解析】解： =
故答案为：﹣1+2i ．
18．【答案】 16 ．
【解析】解：∵等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，
∴Π8=a 1•a 2a 3•a 4•a 5a 6•a 7•a 8=（a 4•a 5）4=24=16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查等比数列的计算，利用等比数列的性质是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】（1）4CE =；（2）CD =
. 【解析】
试题分析：（1）由切线的性质可知ECP ∆∽EFC ∆，由相似三角形性质知::EF CE CE EP =,可得4CE =；
（2）由切割线定理可得2
(4)CP BP BP =+，求出,BP OP ,再由CD OP OC CP ⋅=⋅,求出CD 的值. 1 试题解析：
（1）因为CP 是圆O 的切线，CE 是圆O 的直径，所以CP CE ⊥，090CFE ∠=，所以ECP ∆∽EFC ∆,
设CE x =，EP =，又因为ECP ∆∽EFC ∆，所以::EF CE CE EP =，
所以2x=4
x=.
考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质.
20．【答案】
【解析】解：若p为真，则△=4﹣4m＜0，即m＞1 …
若q为真，则，即m≤﹣2 …
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p，q一真一假
若p真q假，则，解得：m＞1 …
若p假q真，则，解得：m≤﹣2 …
综上所述：m≤﹣2，或m＞1 …
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|=|2x﹣2|﹣|2x+m|≤|（2x﹣2）﹣（2x+m）|=|m+2| ∵m≥0，∴f（x）≤|m+2|=m+2，当x=1时取等号，
∴f（x）max=m+2，又f（x）的最大值为3，∴m+2=3，即m=1．
（Ⅱ）根据柯西不等式得：（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+12]≥（a﹣2b+c）2，
∵a﹣2b+c=m=1，∴，
当，即时取等号，∴a2+b2+c2的最小值为．
【点评】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．【答案】
【解析】解：（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），
则f（0）=0，
（2）令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x），
即可证得f（x）为奇函数；
（3）因为f（x）在R上是增函数，又由（2）知f（x）是奇函数，
f（k•3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），
即有k•3x＜﹣3x+9x+2，得，
又有，即有最小值2﹣1，
所以要使f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0恒成立，只要使即可，
故k的取值范围是（﹣∞，2﹣1）．
23．【答案】
【解析】解：
（1）交线围成的四边形EFCG（如图所示）．
（2）∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，
平面A1B1C1D1∩α＝EF，
平面ABCD∩α＝GC，
∴EF∥GC，同理EG∥FC.
∴四边形EFCG为平行四边形，
过E作EM⊥D1F，垂足为M，
∴EM＝BC＝10，
∵A1E＝4，D1F＝8，∴MF＝4.
∴GC＝EF＝EM2＋MF2＝102＋42＝116，
∴GB＝GC2－BC2＝116－100＝4（事实上Rt△EFM≌Rt△CGB）．
过C1作C1H∥FE交EB1于H，连接GH，则四边形EHC1F为平行四边形，由题意知，B1H＝EB1－EH＝12－8＝4＝GB.
∴平面α将长方体分成的右边部分由三棱柱EHG-FC1C与三棱柱HB1C1­GBC两部分组成．
其体积为V 2＝V 三棱柱EHG -FC 1C ＋V 三棱柱HB 1C 1­GBC ＝S △FC 1C ·B 1C 1＋S △GBC ·BB 1
＝12×8×8×10＋12
×4×10×8＝480， ∴平面α将长方体分成的左边部分的体积V 1＝V 长方体－V 2＝16×10×8－480＝800. ∴V 1V 2＝800480＝53
， ∴其体积比为53（35
也可以）． 24．【答案】解：（1）设G 是AA 1的中点，连接GE ，BG ．∵E 为DD 1的中点，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴GE ∥AD ，又∵AD ⊥平面ABB 1A 1，∴GE ⊥平面ABB 1A 1，且斜线BE 在平面ABB 1A 1内的射影为BG ，∴Rt △BEG 中的∠EBG 是直线BE 和平面ABB 1A 1所成角，即∠EBG =θ．设正方体的棱长为a ，∴a GE =，a BG 25=，a GE BG BE 2
322=+=， ∴直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值为：=
θsin 32=BE GE ；……6分 （2）证明：连接EF 、AB 1、C 1D ，记AB 1与A 1B 的交点为H ，连接EH ． ∵H 为AB 1的中点，且B 1H =21C 1D ，B 1H ∥C 1D ，而EF =21C 1D ，EF ∥C 1D ， ∴B 1H ∥EF 且B 1H =EF ，四边形B 1FEH 为平行四边形，即B 1F ∥EH ， 又∵B 1F ⊄平面A 1BE 且EH ⊆平面A 1BE ，∴B 1F ∥平面A 1BE ． ……12分。