一元二次方程的解法(公开课)
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2
试一试:用配方法解下列方程
1 2 x 6 x 1 0 2 2 3x 4 x 3 0 2 3 3x 8 x 3 0
2
把二次项系数“化为1”再配方是关键.
完善“配方法”解方程的基本步骤：
把二次项系数化为1(方程的两边同时
除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解. ★一除、二移、三配、四化、五解.
一元二次方程的解法
知识回顾 ： 一元二次方程的一般形式：
ax bx c 0 (a 0)
2
ax 二次项， a 二次项系数
bx 一次项， b
一次项系数
常数项
2
c
开平方法解一元二次方程
一般地，对于形如： ①
② m x+n
(
) = b 其中 a,b 是非负数,
2
x =a
2
这样的一元二次方程，可用开平方法
★一除、二移、三配、四化、五解.
2
2
补充例题
解下列方程： 2 2 (1) x - 4x - 2 = 0 3 2 (2) 3x - 3x - 6 3 = 0
★一除、二移、三配、四化、五解.
课内练习
2. 用配方法解下列方程： n (n - 1) - 3n = 1 (1) 2 3 2 1 1 (2) x x= 0 4 2 8
练一练:用配方法解下列方程
(1) 2x - 4x + 1 = 0 (2) 3x + 12x - 9 = 0 (3) 2x - 6x - 1 = 0
★一除、二移、三配、四化、五解.
2 2
2
课内练习
1. 用配方法解下列方程：
(1) 2x + 6x + 3 = 0
(2) 2x - 7x + 5 = 0
比一比：看谁做得快
用配方法解下列方程：
(1) 2x - 5x + 2 = 0
1 2 5 (2) 2 x = x 3 3
2
做一做：解下列方程
(1) (2x - 3) = 8 (2) (2x - 4) = 8 (3) (4x - 2) = 8
2 2
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
x2 4、写出方程的解： x1、
用公式法解下列方程:
(1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝-8；
(3). (2x-1)(x-2) =-1;
直接得出它的两个解或者将它转化为
两个一元一次方程进行求解.
配方法解一元二次方程的基本步骤:
把常数项移到方程的右边;
把方程的左边配成一个完全平方式;
利用开平方法求出方程的两个解.
配方法 解一元二次方程,实质上是为 开平方法搭桥铺路,使原方程转化为 可用开平方法来求解.
选择适当的方法解下列方程：
例4.设关于x的方程, 2 x 2mx 2m 4 0 证明:不论m为何值,这个方程总有 两个不相等的实数根
解: 4m 4 2m 4 2 4m 2m 1 12 2 4m 1 12 0
2
所以,不论m为何值,这个方程总有两 个不相等的实数根
解：∵b ² -4ac=（2k+1）² -4k· k=4k+1，
而方程有两个不相等的根
∴4k+1≥0，即k≥1 4
1 4
若有两个相等根∴ 4k+1= 0 即k = 若没有实数根则4k+1＜0即k＜ 1 4
一元二方程根的判别式 : b 2 4ac
当. 0时 方程有两个不相等的实 数根 当. 0时 方程有两个相等的实数 根 当. 0时 方程没有实数根
4.3 y
2
1 2 3 y.
思考： 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根相 等？
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当
a，b，c 满足什么条件时，方程无实数根？
由此可见b² -4ac的值决定一元二次方程
主要应用: 1.不解方程，判断一元二次方程 根的情况 2.已知方程根的情况确定字母的 取值范围
例3.在一元二次方程
若a与c异号, 则方程 (
2
ax bx c 0(a 0)中
2
)
b 4ac A.有两个不相等的实数根
2
b 4ac 0 B.有两个相等判断
(1) 4 (1 - x ) - 25 = 0 (2) 2x = 50 (3) x = 4 3x - 11 (4) - x + 5x - 6 = 0
2 2 2
2
探索下列方程的求解方法：
1 y 2 y 1 0 2 2 x 2 x 6 2 3 3x 6 x 3 0
(1)3x 4x 7 0
2
1 2 (2) x x 1 4
(3)2x2 1 6x
（1）解：∵a
=3，b =-4，c =7，
b²-4ac=16-4方程要先化 ×3×7 ＜0
为一般形式 ∴原方程没有实数根 再求判别式
• 例2：当K为何值时，方程kx ²+（2k+1）x+k=0（k≠0） • （1）有两个不相等的根（2）有两个相等的根 • （3）没有实数根
1. 若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则 m的取值范围是 (D ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0
2. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则 A k的取值范围是 ( ) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1
3.若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0 有两个相等的实数根，则k= .
的根的情况，所以把它叫一元二次方程
ax² +bx+c=0 （a ≠0）的根的判别式。
记作“△”读作“delta”
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
b 4ac
2
△ ＞0
△＝0 △＜0
有两个不相等的实根
有两个相等的实根 没有实数根
二、例1，不解方程判别下列方程的根的情况
试一试:用配方法解下列方程
1 2 x 6 x 1 0 2 2 3x 4 x 3 0 2 3 3x 8 x 3 0
2
把二次项系数“化为1”再配方是关键.
完善“配方法”解方程的基本步骤：
把二次项系数化为1(方程的两边同时
除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解. ★一除、二移、三配、四化、五解.
一元二次方程的解法
知识回顾 ： 一元二次方程的一般形式：
ax bx c 0 (a 0)
2
ax 二次项， a 二次项系数
bx 一次项， b
一次项系数
常数项
2
c
开平方法解一元二次方程
一般地，对于形如： ①
② m x+n
(
) = b 其中 a,b 是非负数,
2
x =a
2
这样的一元二次方程，可用开平方法
★一除、二移、三配、四化、五解.
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补充例题
解下列方程： 2 2 (1) x - 4x - 2 = 0 3 2 (2) 3x - 3x - 6 3 = 0
★一除、二移、三配、四化、五解.
课内练习
2. 用配方法解下列方程： n (n - 1) - 3n = 1 (1) 2 3 2 1 1 (2) x x= 0 4 2 8
练一练:用配方法解下列方程
(1) 2x - 4x + 1 = 0 (2) 3x + 12x - 9 = 0 (3) 2x - 6x - 1 = 0
★一除、二移、三配、四化、五解.
2 2
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课内练习
1. 用配方法解下列方程：
(1) 2x + 6x + 3 = 0
(2) 2x - 7x + 5 = 0
比一比：看谁做得快
用配方法解下列方程：
(1) 2x - 5x + 2 = 0
1 2 5 (2) 2 x = x 3 3
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做一做：解下列方程
(1) (2x - 3) = 8 (2) (2x - 4) = 8 (3) (4x - 2) = 8
2 2
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用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
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特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
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x2 4、写出方程的解： x1、
用公式法解下列方程:
(1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝-8；
(3). (2x-1)(x-2) =-1;
直接得出它的两个解或者将它转化为
两个一元一次方程进行求解.
配方法解一元二次方程的基本步骤:
把常数项移到方程的右边;
把方程的左边配成一个完全平方式;
利用开平方法求出方程的两个解.
配方法 解一元二次方程,实质上是为 开平方法搭桥铺路,使原方程转化为 可用开平方法来求解.
选择适当的方法解下列方程：
例4.设关于x的方程, 2 x 2mx 2m 4 0 证明:不论m为何值,这个方程总有 两个不相等的实数根
解: 4m 4 2m 4 2 4m 2m 1 12 2 4m 1 12 0
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所以,不论m为何值,这个方程总有两 个不相等的实数根
解：∵b ² -4ac=（2k+1）² -4k· k=4k+1，
而方程有两个不相等的根
∴4k+1≥0，即k≥1 4
1 4
若有两个相等根∴ 4k+1= 0 即k = 若没有实数根则4k+1＜0即k＜ 1 4
一元二方程根的判别式 : b 2 4ac
当. 0时 方程有两个不相等的实 数根 当. 0时 方程有两个相等的实数 根 当. 0时 方程没有实数根
4.3 y
2
1 2 3 y.
思考： 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根相 等？
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当
a，b，c 满足什么条件时，方程无实数根？
由此可见b² -4ac的值决定一元二次方程
主要应用: 1.不解方程，判断一元二次方程 根的情况 2.已知方程根的情况确定字母的 取值范围
例3.在一元二次方程
若a与c异号, 则方程 (
2
ax bx c 0(a 0)中
2
)
b 4ac A.有两个不相等的实数根
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b 4ac 0 B.有两个相等判断
(1) 4 (1 - x ) - 25 = 0 (2) 2x = 50 (3) x = 4 3x - 11 (4) - x + 5x - 6 = 0
2 2 2
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探索下列方程的求解方法：
1 y 2 y 1 0 2 2 x 2 x 6 2 3 3x 6 x 3 0
(1)3x 4x 7 0
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1 2 (2) x x 1 4
(3)2x2 1 6x
（1）解：∵a
=3，b =-4，c =7，
b²-4ac=16-4方程要先化 ×3×7 ＜0
为一般形式 ∴原方程没有实数根 再求判别式
• 例2：当K为何值时，方程kx ²+（2k+1）x+k=0（k≠0） • （1）有两个不相等的根（2）有两个相等的根 • （3）没有实数根
1. 若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则 m的取值范围是 (D ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0
2. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则 A k的取值范围是 ( ) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1
3.若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0 有两个相等的实数根，则k= .
的根的情况，所以把它叫一元二次方程
ax² +bx+c=0 （a ≠0）的根的判别式。
记作“△”读作“delta”
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
b 4ac
2
△ ＞0
△＝0 △＜0
有两个不相等的实根
有两个相等的实根 没有实数根
二、例1，不解方程判别下列方程的根的情况