工程力学习题解答山东大学

《工程力学》习题选解
试画出以下各题中圆柱或圆盘的受力图。

与其它物体接触处的摩擦力均略去。

解：
试画出以下各题中杆的受力图。

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
解：
试画出以下各题中梁的受力图。

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
解：
试画出以下各题中指定物体的受力图。

() 拱；() 半拱部分；() 踏板；() 杠杆；() 方板；() 节点。

解：
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
试画出以下各题中指定物体的受力图。

() 结点，结点；() 圆柱和及整体；() 半拱，半拱及整体；() 杠杆，切刀及整体；() 秤杆，秤盘架及整体。

解：()
()
()
()
()
()
()
()
()
() () ()
杆、在处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示，和作用在销钉上， ， ，不计杆重，试
求两杆所受的力。

解：() 取节点为研究对象，画受力图，注意、都为二力杆，
() 列平衡方程：
1
214
0 sin 600530 cos6005
207 164 o y AC o
x BC AC
AC BC F F F F F F F F F N F N
=⨯+-==⨯--=∴==∑∑ 与两杆均受拉。

水平力作用在刚架的点，如图所示。

如不计刚架重量，试求支座和 处的约束力。

解：() 取整体为研究对象，受力分析如图，画封闭的力三角形：
()
211 1.1222
D A D D A F F F
F F BC AB AC F F F F F =====∴=
==
在简支梁的中点作用一个倾斜的力，力的大小等于，如图所示。

若梁的自重不计，试求两
支座的约束力。

解：() 研究，受力分析并画受力图：
() 画封闭的力三角形：
相似关系：
B A F F F
CDE cde CD CE ED
∆≈∆∴
== 几何尺寸：
11 222
CE BD CD ED =
====求出约束反力：
1
2010 22010.4 45arctan 18.4B A o o
CE F F kN
CD
ED F F kN CD
CE
CD α=
⨯=⨯==⨯===-=
如图所示结构由两弯杆和构成。

构件重量不计，图中的长度单位为。

已知 ，试求支座和的
约束力。

解：() 取为研究对象，为二力杆；
() 取为研究对象，受力分析并画受力图；画封闭的力三角形：
'15
166.7 23
A D E F F F F N ===
⨯= 在四连杆机构的铰链和上分别作用有力和，机构在图示位置平衡。

试求平衡时力和的大小
之间的关系。

解：（）取铰链为研究对象，、均为二力杆，画受力图和封闭力三角形；
1BC F =
() 取铰链为研究对象，、均为二力杆，画受力图和封闭力三角形；
22cos30o CB F F F ==
由前二式可得：
12122212
0.61 1.634
BC CB F F F F F F or F F ==∴=
==
三根不计重量的杆，，在点用铰链连接，各杆与水平面的夹角分别为，
，和，如图所示。

试
求在与平行的力作用下，各杆所受的力。

已知 。

解：() 取整体为研究对象，受力分析，、、均为二力杆，画受力图，得到一个空间汇交力系；
() 列平衡方程：
0 cos 45 cos 4500 cos 600
0 sin 60sin 45sin 450
o o x AC AB o y
AD o o o z
AD AC AB F F F F F F F
F F F =⨯-⨯==-==--=∑∑∑
解得：
2 1.2 0.735 4
AD AC AB AD F F kN F F F kN ====
= 、杆受拉，杆受压。

已知梁上作用一力偶，力偶矩为，梁长为，梁重不计。

求在图，，三种情况下，支座和的约
束力
解：() 受力分析，画受力图；、处的约束力组成一个力偶；
列平衡方程：
0 0 B B A B M M F l M F l
M
F F l
=⨯-==
∴==
∑
() 受力分析，画受力图；、处的约束力组成一个力偶；
列平衡方程：
0 0 B B A B M M F l M F l
M F F l
=⨯-==
∴==
∑
() 受力分析，画受力图；、处的约束力组成一个力偶；
()
()
()
列平衡方程：
0 cos 0 cos cos B B A B M M F l M F l M
F F l θθ
θ
=⨯⨯-==
∴==
∑
在题图所示结构中二曲杆自重不计，曲杆上作用有主动力偶，其力偶矩为，试求和点处的
约束力。

解：() 取为研究对象，受力分析，为二力杆，画受力图；
B C F F =
() 取为研究对象，受力分析，、的约束力组成一个力偶，画受力图；
(
)''
30 0.35420.354
B B A
C M M F a a M F a M
F F a
=⨯+-===∴==∑ 齿轮箱的两个轴上作用的力偶如题图所示，它们的力偶矩的大小分别为 ， 。

求两螺栓处
的铅垂约束力。

图中长度单位为。

解：() 取整体为研究对象，受力分析，、的约束力组成一个力偶，画受力图；
() 列平衡方程：
1212500125
0 0 750 50
750 B B A B M M M F l M M F N
l F F N
--=⨯-+==
==∴==∑ 四连杆机构在图示位置平衡。

已知60cm ，40cm ，作用上的力偶的力偶矩大小为，试求作
用在上力偶的力偶矩大小和所受的力所受的力。

各杆重量不计。

解：() 研究杆，受力分析，画受力图：
列平衡方程：
220 sin 300
1
5 0.4sin 30sin 30
o B
B o o
M F
BC M M F N BC =⨯-====⨯∑ () 研究（二力杆），受力如图：
可知：
''
5 A B B F F F N ===
() 研究杆，受力分析，画受力图：
列平衡方程：
110 0
50.6 3 A
A M F
OA M M F OA Nm
=-⨯+=∴=⨯=⨯=∑
和 圆盘与水平轴固连，盘垂直轴，盘垂直轴，盘面上分别作用力偶（，’），（，’）如题图
所示。

如两半径为20 cm, , 80 cm,不计构件自重，试计算轴承和的约束力。

解：() 取整体为研究对象，受力分析，、处方向和方向的约束力分别组成力偶，画受力图。

() 列平衡方程：
22110 20
22205
2.5 2.5 800 2022203
1.5 1.5 80x
Bz Bz Az Bz z Bx Bx Ax Bx M
F AB F r rF F N F F N
AB M F AB F r rF F N F F N
AB
=-⨯+⨯=⨯⨯=
=====-⨯+⨯=⨯⨯=
====∑∑
的约束力：
8.5 8.5 A B A F N
F F N
=
=
===
在图示结构中，各构件的自重都不计，在构件上作用一力偶矩为的力偶，各尺寸如图。

求
支座的约束力。

解：() 取为研究对象，受力分析，画受力图；
0 0 C C M M F l M F l
=-⨯+==
∑ () 取为研究对象，受力分析，画受力图；
画封闭的力三角形；
解得
'cos 45C A o
F F ==
’
试求题图所示各梁支座的约束力。

设力的单位为，力偶矩的单位为，长度单位为，分布
载荷集度为。

(提示：计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分)。

解：
()：() 整体受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 选坐标系，列出平衡方程；
0: 0.40
0.4 kN
x
Ax Ax F
F F =-+==∑
()0: 20.80.5 1.60.40.720
0.26 kN
A
B B M
F F F =-⨯+⨯+⨯+⨯==∑
0: 20.50
1.24 kN
y
Ay B Ay F
F F F =-++==∑
约束力的方向如图所示。

()
()
()：() 研究杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 选坐标系，列出平衡方程；
2
()0: 3320
0.33 kN
B
Ay Ay M
F F dx x F =-⨯-+⨯⨯==∑⎰
2
0: 2cos300
4.24 kN
o y
Ay B B F
F dx F F =-⨯+==∑⎰
0: sin 300
2.12 kN
o x
Ax B Ax F
F F F =-==∑
约束力的方向如图所示。

()：() 研究杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 选坐标系，列出平衡方程；
0: 0x
Ax F
F ==∑
0.8
()0: 208 1.620 2.40
21 kN
A
B B M
F dx x F F =⨯⨯++⨯-⨯==∑⎰
0.8
0: 20200
15 kN
y Ay B Ay F dx F F F =-⨯++-==∑⎰
约束力的方向如图所示。

梁一端砌在墙内，在自由端装有滑轮用以匀速吊起重物，设重物的重量为，又长为，斜绳
与铅垂线成角，求固定端的约束力。

解：() 研究杆(带滑轮)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 选坐标系，列出平衡方程；
0: -sin 0
sin x
Ax Ax F
F G F G αα
=+==∑
0: cos 0
(1cos )
y
Ay Ay F
F G G F G αα=--==+∑
()0: 0
(1cos )B
A Ay A M
F M F b
G R G R M G b
α=-⨯+⨯-⨯==+∑
约束力的方向如图所示。

练钢炉的送料机由跑车和可移动的桥组成。

跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为 ，跑
车与操作架、平臂以及料斗相连，料斗每次装载物料重 ，平臂长 。

设跑车，操作架和所有附件总重为。

作用于操作架的轴线，问至少应多大才能使料斗在满载时跑车不致翻倒？
解：() 研究跑车与操作架、平臂以及料斗，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；
() 选点为矩心，列出平衡方程；
()0: -2140
22
F
E E M
F F P W P
F W
=⨯+⨯-⨯==-∑
() 不翻倒的条件；
0460 kN
E F P W ≥∴≥=
活动梯子置于光滑水平面上，并在铅垂面内，梯子两部分和各重为，重心在点，彼此用铰
链和绳子连接。

一人重为立于处，试求绳子的拉力和、两点的约束力。

解：()：研究整体，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；
() 选坐标系，列出平衡方程；
()3()0: -cos cos 2cos 2cos 022
12B
C C l l
M F Q Q P l a F l a F Q P
l αααα=⨯-⨯-⨯-+⨯=⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭
∑
0: 20
2y
B C B F
F F Q P a
F Q P
l
=+--==+∑
() 研究，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 选点为矩心，列出平衡方程；
()0: -cos cos 02
cos 2A B
D D l
M F F l Q F h a l F Q P l h ααα=⨯+⨯+⨯=⎛⎫
=+ ⎪
⎝
⎭∑
在齿条送料机构中杠杆 ， ，齿条受到水平阻力的作用。

已知 ，各零件自重不计，试求移
动齿条时在点的作用力是多少？
解：() 研究齿条和插瓜(二力杆)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 选轴为投影轴，列出平衡方程；
0: -cos300
5773.5 N
o x
A Q A F
F F F =+==∑
() 研究杠杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 选点为矩心，列出平衡方程；
'
()0: sin150
373.6 N
o C
A M
F F AC F BC F =⨯⨯-⨯==∑
由和构成的复合梁通过铰链连接，它的支承和受力如题图所示。

已知均布载荷集度 ，力偶
， ，不计梁重，试求支座、、的约束力和铰链所受的力。

解：()
() 选坐标系，列出平衡方程；
()0: -20
5 kN
a
C
D D M
F q dx x M F a F =⨯⨯+-⨯==∑⎰
0: 0
25 kN
a
y C D C F F q dx F F =-⨯-==∑⎰
() 研究杆，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；
() 选坐标系，列出平衡方程；
'0
()0: 0
35 kN
a
B A
C A M F F a q dx x F a F =⨯-⨯⨯-⨯==∑⎰
'0
0: 0
80 kN
a
y
A B C B F
F q dx F F F =--⨯+-==∑⎰
约束力的方向如图所示。

刚架和刚架通过铰链连接，并与地面通过铰链、、连接，如题图所示，载荷如图，试求刚架
的支座约束力(尺寸单位为，力的单位为 ，载荷集度单位为 )。

解：
()：() 研究杆，它是二力杆，又根据点的约束性质，可知：；
() 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 选坐标系，列出平衡方程；
()
()
0: 1000
100 kN
x
Ax Ax F
F F =-+==∑
5
1
()0: 100660
120 kN
A
B B M
F q dx x F F =-⨯-⨯⨯+⨯==∑⎰
5
1
0: 0
80 kN
y Ay B Ay F F q dx F F =--⨯+==∑⎰
约束力的方向如图所示。

()：() 研究杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 选点为矩心，列出平衡方程；
3
()0: 30
15 kN
C D D M F q dx x F F =-⨯⨯+⨯==∑⎰
() 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 选坐标系，列出平衡方程；
0: 500
50 kN
x
Ax Ax F
F F =-==∑
3
()0: 635030
25 kN
B Ay D Ay M F F q dx x F F =-⨯-⨯⨯+⨯+⨯==∑⎰
3
0: 0
10 kN
y Ay B D B F F q dx F F F =-⨯-+==∑⎰
约束力的方向如图所示。

由杆、和组成的支架和滑轮支持着物体。

物体重 。

处亦为铰链连接，尺寸如题图所示。

试
求固定铰链支座和滚动铰链支座的约束力以及杆所受的力。

解：() 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 选坐标系，列出平衡方程；
0: 0
12 kN
x
Ax Ax F
F W F =-==∑
()()()0: 4 1.520
10.5 kN
A
B B M
F F W r W r F =⨯-⨯-+⨯+==∑
0: 0
1.5 kN
y
Ay B Ay F
F F W F =+-==∑
() 研究杆(带滑轮)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 选点为矩心，列出平衡方程；
()()0: sin 1.5 1.50
15 kN
D
CB CB M
F F W r W r F α=⨯-⨯-+⨯==∑
约束力的方向如图所示。

起重构架如题图所示，尺寸单位为。

滑轮直径 ，钢丝绳的倾斜部分平行于杆。

吊起的载荷 ，
其它重量不计，求固定铰链支座、的约束力。

解：()
() 选坐标系，列出平衡方程；
()0: 60012000
20 kN
B
Ax Ax M
F F W F =⨯-⨯==∑
0: 0
20 kN
x
Ax Bx Bx F
F F F =-+==∑
0: 0y
Ay By F
F F W =-+-=∑
() 研究杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 选点为矩心，列出平衡方程；
()0: 8001000
1.25 kN
D
Ay C Ay M
F F F F =⨯-⨯==∑
() 将代入到前面的平衡方程；
11.25 kN By Ay F F W =+=
约束力的方向如图所示。

、、三杆连接如题图所示。

杆上有一插销套在杆的导槽内。

求在水平杆的端有一铅垂力作用
时，杆上所受的力。

设，，，所有杆重均不计。

解：() () 研究杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 分别选点和点为矩心，列出平衡方程；
()0: 0
F
Dy Dy M F F EF F DE F F
=-⨯+⨯==∑
()0: 0
2B
Dx Dx M
F F ED F DB F F
=-⨯+⨯==∑
() 研究杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；
() 选坐标系，列出平衡方程；
'
()0: 0
A Dx
B B M F F AD F AB F F
=⨯-⨯==∑
'
0: 0
x
Ax B Dx Ax F
F F F F F
=--+==∑
'
0: 0
y
Ay Dy Ay F
F F F F
=-+==∑
约束力的方向如图所示。

一重量 的匀质薄板用止推轴承、径向轴承和绳索支持在水平面上，可以绕水平轴转动，今
在板上作用一力偶，其力偶矩为，并设薄板平衡。

已知 ， ， ， ，试求绳子的拉力和轴承、约束力。

解：() 研究匀质薄板，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；
() 选坐标系，列出平衡方程；
()0: 40
500 N
z
By
By M F M F
F =-⨯==∑
()0: 022
707 N
x C
C a M F W F a F =-⨯+⨯==∑
()0: 02 0
y Bz C
Bz b M F F b W F F =-⨯-⨯-==∑
0: 02
500 N
z Bz Az C Az F F F W F F =+-+⨯
==∑
40: 0
25
400 N
x Ax C Ax F F F F =-⨯
⨯==∑
30: 0
25
800 N
y By Ay C Ay F F F F F =-+-⨯
⨯==∑ 约束力的方向如图所示。

作用于半径为 的齿轮上的啮合力推动皮带绕水平轴作匀速转动。

已知皮带紧边拉力为 ，
松边拉力为 ，尺寸如题图所示。

试求力的大小以及轴承、的约束力。

(尺寸单位)。

解: () 研究整体，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；
() 选坐标系，列出平衡方程；
()()0: cos20
120200100800
70.9 N
o
z
M F F F =-⨯+-⨯==∑
()()0: sin 201002001002503500 207 N
o
x
By By M
F F F F =-⨯++⨯-⨯==∑
()0: cos201003500
19 N
o y
Bx Bx M
F F F F =-⨯+⨯==∑
0: cos200
47.6 N
o x
Ax Bx Ax F
F F F F =-+-==∑
()0: sin 201002000
68.8 N
o y
Ay By Ay F
F F F F =---++==∑
约束力的方向如图所示。

某传动轴以、两轴承支承，圆柱直齿轮的节圆直径 ，压力角。

在法兰盘上作用一力偶矩
的力偶，如轮轴自重和摩擦不计，求传动轴匀速转动时的啮合力及、轴承的约束力(图中尺寸单位为)。

解: () 研究整体，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；
() 选坐标系，列出平衡方程；
()0: cos200
2
12.67 kN
o y d
M F F M F =⨯
-==∑ ()0: sin 202233.20 2.87 kN
o
x
Bz Bz M
F F F F =⨯-⨯==∑
()0: cos20
2233.20
7.89 kN
o
z
Bx Bx M F F F F =⨯-⨯==∑
0: cos200
4.02 kN
o x
Ax Bx Ax F F F F F =-+==∑
0: sin 200
1.46 kN
o z
Az Bz Az F
F F F F =-+-==∑
约束力的方向如图所示。

已知物体重 ，斜面倾角为(题图，)，物块与斜面间摩擦因数为，’，求物块与斜面间的摩擦
力？并问物体在斜面上是静止、下滑还是上滑？如果使物块沿斜面向上运动，求施加于物块并与斜面平行的力至少应为多大？
解：() 确定摩擦角，并和主动力合力作用线与接触面法向夹角相比较；
0.38
300.577
20.8
o f s o
f t
g f tg tg ϕαϕα
====∴=
() 判断物体的状态，求摩擦力：物体下滑，物体与斜面的动滑动摩擦力为
''cos 32 N s F f W α=⨯=
() 物体有向上滑动趋势，且静滑动摩擦力达到最大时，全约束力与接触面法向夹角等于摩擦角；
() 画封闭的力三角形，求力；
()()()
()sin sin 90sin 82.9 N
sin 90o f f f o f W F
F W αϕϕαϕϕ=
+-+=
=-
重 的物体置于重 的物体上，又置于水平面上如题图所示。

已知，，今在上作用一与水平面
成的力。

问当力逐渐加大时，是先动呢？还是、一起滑动？如果物体重为 ，情况又如何？
解：() 确定、和、间的摩擦角：
()
()
12arctg 16.7arctg 11.3
o f AB o
f BC f f ϕϕ====
() 当、间的静滑动摩擦力达到最大时，画物体的受力图和封闭力三角形；
()()
1111
11sin sin 1809030sin 209 N
sin 60A
o o o f f f A o
f F W F W ϕϕϕϕ=
---∴=
⨯=-
() 当、间的静滑动摩擦力达到最大时，画物体与的受力图和封闭力三角形；
()()
2222
22sin sin 1809030sin 234 N
sin 60A B
o o o f f f A B o
f F W F W ϕϕϕϕ++=
---∴=
⨯=-
() 比较和；
1
2F F
物体先滑动；
() 如果 ，则 ，再求；
()
2
2212
sin 183 N
sin 60f A B o
f F W F F ϕϕ+=
⨯=-
物体和一起滑动；
均质梯长为，重为，端靠在光滑铅直墙上，如图所示，已知梯与地面的静摩擦因数，求平
衡时？
解：() 研究杆，当点静滑动摩擦力达到最大时，画受力图(点约束力用全约束力表示)；
由三力平衡汇交定理可知，、、三力汇交在点； () 找出和 的几何关系；
min min min
min sin tan cos 211tan 2tan 21arctan
2f f sA
sA l
l f f θϕθθϕθ⨯=⨯==∴= () 得出角的范围；
190arctan
2o sA
f θ≥≥ 如图所示，欲转动一置于槽型中的棒料，需作用一力偶，力偶矩
，已知棒料重 ，直径 。

试求棒料与型槽之间的摩擦因数。

解：() 研究棒料，当静滑动摩擦力达到最大时，画受力图(用全约束力表示)；
() 画封闭的力三角形，求全约束力；
)
12cos sin 4
4
R f R f F G F G ππϕϕ⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
() 取为矩心，列平衡方程；
12()0: sin sin 022
O R f R f D D
M F F F M ϕϕ=⨯⨯
+⨯⨯-=∑
sin 20.4243f ϕ=
= 12.55o f ϕ=
() 求摩擦因数；
tan 0.223s f f ϕ==
砖夹的宽度为 ，曲杆与在点铰接。

砖的重量为，提砖的合力作用在砖对称中心线上，尺寸
如图所示。

如砖夹与砖之间的摩擦因数，试问应为多大才能把砖夹起(是点到砖块上所受正压力作用线的垂直距离)。

解：() 砖夹与砖之间的摩擦角：
arctan arctan0.525.6o f s f ϕ===
() 由整体受力分析得：
() 研究砖，受力分析，画受力图；
() 列方向投影的平衡方程；
0: 2sin 0
1.157y
R f R F
F W F W
ϕ=⨯-==∑
() 研究杆，受力分析，画受力图；
() 取为矩心，列平衡方程；
''
()0: sin 3cos 9.50
10.5 cm
G R f R f M
F F F b F b ϕϕ=⨯⨯-⨯⨯+⨯==∑
试求图示两平面图形形心的位置。

图中尺寸单位为。

解:() () 将形分成上、下二个矩形、，形心为、；
() 在图示坐标系中，轴是图形对称轴，则有： () 二个矩形的面积和形心；
2112
22501507500 mm 225 mm 5020010000 mm 100 mm
C C S y S y =⨯===⨯==
() 形的形心；
0750022510000100
153.6 mm
750010000
C i i
C
i x S y y S
=⨯+⨯=
==+∑∑
()
()
() () 将形分成左、右二个矩形、，形心为、；
() 二个矩形的面积和形心；
21112
222101201200 mm 5 mm 60 mm 7010700 mm 45 mm 5 mm
C C C C S x y S x y =⨯====⨯===
() 形的形心；
1200570045
19.74 mm
12007001200607005
39.74 mm
1200700
i i
C i i i
C
i
S x
x S S y y S
⨯+⨯===+⨯+⨯=
=
=+∑∑∑∑
试求图示平面图形形心位置。

尺寸单位为。

解：() () 将图形看成大圆减去小圆，形心为和；
() 在图示坐标系中，轴是图形对称轴，则有： () 二个图形的面积和形心；
()
()
22112
2
2220040000 mm 0806400 mm 100 mm
C C S x S x ππππ=⨯===⨯==
() 图形的形心；
6400100
19.05 mm
4000064000
i i
C i
C S x x S
y πππ-⨯=
=
=--=∑∑
() () 将图形看成大矩形减去小矩形，形心为和；
() 在图示坐标系中，轴是图形对称轴，则有：
() 二个图形的面积和形心；
2112
2216012019200 mm 60100606000 mm 50 mm
C C S y S y =⨯===⨯==
() 图形的形心；
01920060600050
64.55 mm
192006000
C i i
C i
x S y y S
=⨯-⨯=
=
=-∑∑
试求图示各杆的轴力，并指出轴力的最大值。

解：()
() 用截面法求内力，取、截面；
() 取截面的左段； 110 0 x
N N F
F F F F =-==∑
() 取截面的右段；
220 0 0x
N N F
F F =-==∑
() 轴力最大值：
max N F F =
()
() 求固定端的约束反力；
0 20 x
R R F
F F F F F =-+-==∑
() 取截面的左段；
110 0 x
N N F
F F F F =-==∑
()
()
()
220 0 x
N R N R F
F F F F F =--==-=-∑
() 轴力最大值：
max N F F =
()
() 用截面法求内力，取、、截面；
() 取截面的左段；
110 20 2 x
N N F
F F kN =+==-∑
() 取截面的左段；
220 230 1 x
N N F
F F kN =-+==∑
() 取截面的右段；
330 30 3 x
N N F
F F kN =-==∑
() 轴力最大值：
max 3 N F kN =
()
() 用截面法求内力，取、截面；
110 210 1 x
N N F
F F kN =--==∑
() 取截面的右段；
220 10 1 x
N N F
F F kN =--==-∑
() 轴力最大值：
max 1 N F kN =
试画出所示各杆的轴力图。

解：()
() ()
()
图示阶梯形圆截面杆，承受轴向载荷 与作用，与段的直径分别为20 mm 和30 mm ，如欲
使与段横截面上的正应力相同，试求载荷之值。

解：() 用截面法求出、截面的轴力；
11212 N N F F F F F ==+
() 求、截面的正应力，利用正应力相同；
3
11215010159.210.024N F MPa A σπ⨯===⨯⨯
322
2122
5010159.210.034
N F F MPa A σσπ⨯+====⨯⨯
262.5F kN ∴=
题图所示圆截面杆，已知载荷 ， ，段的直径40 mm ，如欲使与段横截面上的正应力相同，
试求段的直径。

解：() 用截面法求出、截面的轴力；
11212 N N F F F F F ==+
() 求、截面的正应力，利用正应力相同；
3
1121
20010159.210.044N F MPa A σπ⨯===⨯⨯
3
221222(200100)10159.214
N F MPa A d σσπ+⨯====⨯⨯
249.0 d mm ∴=
图示木杆，承受轴向载荷 作用，杆的横截面面积1000 mm ，粘接面的方位角θ ，试计算
该截面上的正应力与切应力，并画出应力的方向。

解：() 斜截面的应力：
粘接面
22cos cos 5 sin cos sin 2 5 2F
MPa A
F
MPa
A
θθσσθθτσθθθ==
====
() 画出斜截面上的应力
图示桁架，杆与杆的横截面均为圆形，直径分别为30 mm 与20 mm ，两杆材料相同，许
用应力[σ] 。

该桁架在节点处承受铅直方向的载荷 作用，试校核桁架的强度。

解：() 对节点受力分析，求出和两杆所受的力；
() 列平衡方程
000
0 sin 30sin 4500 cos30cos 450
x AB AC y
AB AC F F F F
F F F =-+==+-=∑∑
解得：
41.4 58.6AC AB F kN F kN =
=== () 分别对两杆进行强度计算；
[]
[]
1
2
82.9131.8AB
AB AC AC
F MPa A F
MPa A σσσσ====
所以桁架的强度足够。

图示桁架，杆为圆截面钢杆，杆为方截面木杆，在节点处承受铅直方向的载荷作用，试确
σθ
定钢杆的直径与木杆截面的边宽。

已知载荷 ，钢的许用应力[σ] ，木的许用应力[σ] 。

解：() 对节点受力分析，求出和两杆所受的力；
70.7 50AC AB F kN F F kN ====
() 运用强度条件，分别对两杆进行强度计算；
[][]321
32
25010160 20.01470.71010 84.1AB AB
S AC AC
W F MPa d mm
A d F MPa b mm A b σσπσσ⨯==≤=≥⨯==≤=≥
所以可以确定钢杆的直径为20 mm ，木杆的边宽为84 mm 。

题所述桁架，试定载荷的许用值[]。

解：() 由得到、两杆所受的力与载荷的关系；
AC AB F F =
= () 运用强度条件，分别对两杆进行强度计算；
[]21
1160 154.54
AB
AB F MPa F kN A d σσπ=
=≤=≤
[]22
2160 97.14
AC
AC F MPa F kN A d σσπ=
=≤=≤
取[] 。

图示阶梯形杆， ， 400 mm ，2A 100 mm ，，试计算杆的轴向变形△。

解：() 用截面法求、段的轴力；
12 N N F F F F ==-
() 分段计算个杆的轴向变形；
33112212331210104001010400
200101002001050 02 N N F l F l l l l EA EA .mm
⨯⨯⨯⨯∆=∆+∆=+=-
⨯⨯⨯⨯=-
杆缩短。

图示桁架，杆与杆的横截面面积与材料均相同，在节点处承受载荷作用。

从试验中测得杆
与杆的纵向正应变分别为ε×与ε×，试确定载荷及其方位角θ之值。

已知：200 mm ， 。

解：() 对节点受力分析，求出和两杆所受的力与θ的关系；
00000 sin 30sin 30sin 00 cos30cos30cos 0
x AB AC y
AB AC AB AC F
F F F F
F F F F F F θθ=-++==+-==
=∑∑
() 由胡克定律：
1111222216 8 AB AC F A E A kN F A E A kN σεσε======
代入前式得：
o 21.2 10.9F kN θ==
题所述桁架，若杆与的横截面面积分别为400 mm 与8000 mm ，杆的长度1.5 m ，钢与木的
弹性模量分别为 、 。

试计算节点的水平与铅直位移。

解：() 计算两杆的变形；
31313
23
2501015000.938 2001040070.7101500
1.875 10108000
AB S AC W F l l mm
E A
F l mm E A ⨯⨯∆===⨯⨯⨯∆=
==⨯⨯
杆伸长，杆缩短。

() 画出节点的协调位置并计算其位移；
水平位移：
10.938 A l mm ∆=∆=
铅直位移：
0001221'sin 45(cos 45)45 3.58 A f A A l l l tg mm ==∆+∆+∆=
图示两端固定等截面直杆，横截面的面积为，承受轴向载荷作用，试计算杆内横截面上的
最大拉应力与最大压应力。

解：()
列平衡方程：
0 0x
A B F
F F F F =-+-=∑
()
’
△
() 用截面法求出、、段的轴力；
123 N A N A N B F F F F F F F =-=-+=-
() 用变形协调条件，列出补充方程；
0AB BC CD l l l ∆+∆+∆=
代入胡克定律；
231 /3()/3/3 0N BC N CD
N AB
AB BC CD A A B F l F l F l l l l EA EA EA F l F F l F l EA EA EA
∆=
∆=∆=-+-+-= 求出约束反力：
/3A B F F F ==
() 最大拉应力和最大压应力；
21,max ,max 2 33N N l y F F F F
A A A A
σσ=
===-
图示结构，梁为刚体，杆与杆用同一种材料制成，横截面面积均为300 mm ，许用应力[σ] ，
载荷 ，试校核杆的强度。

解：()
120 220B
N N m
F a F
a F a =⨯+⨯-⨯=∑
() 由变形协调关系，列补充方程；
212 l l ∆=∆
代之胡克定理，可得；
21212 2N N N N F l F l
F F EA EA
== 解联立方程得：
1224 55
N N F F F F =
= () 强度计算；
[][]3
113
222501066.7 160 5300
45010133.3 160 5300
N N F MPa MPa
A F MPa MPa
A σσσσ⨯⨯====⨯⨯⨯====⨯ 所以杆的强度足够。

图示桁架，杆、杆与个杆分别用铸铁、铜与钢制成，许用应力分别为[σ] ，[σ] ，[σ] ，
弹性模量分别为 ， ， 。

若载荷 ， 2A ，试确定各杆的横截面面积。

解：() 对节点进行受力分析，假设三杆均受拉； 画受力图；
列平衡方程；
0120
320 cos3000 sin 300
x N N y
N N F F F F
F F F =--==+-=∑∑
() 根据胡克定律，列出各杆的绝对变形；
01112221211220
333333cos30
16021002sin 30
200N N N N N N F l F l F l F l l l E A A E A A F l F l l E A A
∆==∆==⨯⨯∆=
=
() 由变形协调关系，列补充方程；
△
000
3221sin 30(cos30)30l l l l ctg ∆=∆+∆-∆
简化后得：
123153280N N N F F F -+=
联立平衡方程可得：
12322.63 26.13 146.94N N N F kN F kN F kN =-==
杆实际受压，杆和杆受拉。

() 强度计算；
[]
[]
[]
3
1
2
123123283 436 1225 N N N F F F A mm A mm A mm σσσ≥
=≥
=≥
=
综合以上条件，可得
12322450 A A A mm ==≥
图示木榫接头， ，试求接头的剪切与挤压应力。

解：() 剪切实用计算公式：
3
5010 5 100100
Q
s F MPa A τ⨯===⨯
() 挤压实用计算公式：
3
501012.5 40100
b bs b F MPa A σ⨯===⨯
图示摇臂，承受载荷与作用，试确定轴销的直径。

已知载荷 ， ，许用切应力[τ] ，许用
挤压应力[σ] 。

解：() 对摇臂进行受力分析，由三力平衡汇交定理可求固定铰支座的约束反力；
35.4 B F kN ==
() 考虑轴销的剪切强度；
[]2
2 15.0 14
B
Q S F F
d mm A d ττπ==≤≥
考虑轴销的挤压强度；
[] 14.8 10
b B
bs bs b F F d mm A d σσ=
=≤≥⨯ () 综合轴销的剪切和挤压强度，取
15 d mm ≥
图示接头，承受轴向载荷作用，试校核接头的强度。

已知：载荷 ，板宽80 mm ，板厚δ10
mm ，铆钉直径16 mm ，许用应力[σ] ，许用切应力[τ] ，许用挤压应力[σ] 。

板件与铆钉的材料相等。

解：() 校核铆钉的剪切强度；
[]21499.5 120 14
Q
S
F F MPa MPa A d ττπ===≤=
() 校核铆钉的挤压强度；
[]14125 340 b bs bs b F
F MPa MPa A d σσδ
===≤=
() 考虑板件的拉伸强度；
对板件受力分析，画板件的轴力图；
校核截面的拉伸强度
[]11134125 160 MPa (2)N F
F MPa A b d σσδ
===≤=- 校核截面的拉伸强度
[]111125 160 MPa ()N F F
MPa A b d σσδ
=
==≤=- 所以，接头的强度足够。