浙江省杭州市高桥中学九年级数学下学期期初试题(含解

浙江省杭州市高桥中学2016届九年级数学下学期期初试题
一．仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.
1．是一个（）
A．整数 B．分数 C．有理数D．无理数
2．化简：（﹣3x2）2x3的结果是（）
A．﹣3x5B．18x5C．﹣6x5D．﹣18x5
3．已知一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数是5，则另一组新数组x1+1、x2+2、x3+3、x4+4、x5+5的平均数是（）
A．6 B．8 C．10 D．无法计算
4．一次函数y=（k﹣3）x+2，若y随x的增大而增大，则k的值可以是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）
A．50° B．55° C．60° D．65°
6．如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（）
A．60° B．150°C．180°D．240°
7．如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（）
A．B．1 C．D．
8．若不等式组（x为未知数）无解，则二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的
交点（）
A．没有交点 B．一个交点 C．两个交点 D．不能确定
9．已知w关于t的函数：，则下列有关此函数图象的描述正确的是（）A．该函数图象与坐标轴有两个交点
B．该函数图象经过第一象限
C．该函数图象关于原点中心对称
D．该函数图象在第四象限
10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（）
A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．一组数据5，9，8，8，10的中位数是，方差是．
12．分解因式：a3﹣4a（a﹣1）= ．
13．已知a+b=2，b≤2，y﹣a2﹣2a+2=0．则y的取值范围是．
14．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8．⊙O经过B、C两点，且AO=4，则⊙O的半径长是．
15．正方形ABCD的边长为acm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2．
16．如图，O为原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连结CD，某抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D、点E（1，1）．
（1）若该抛物线过原点O，则a= ；
（2）若点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，要使得符合条件的Q点的个数是4个，则a的取值范围是．
三、全面答一答（本题有7小题，共66分，）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x满足x（x2﹣4）=0．
18．在一只不透明的盒子里有背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片，小马从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；在另一只不透明的盒子里将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小虎从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；
（2）小马与小虎做游戏，规则是：若这两数的差为非正数，则小马赢；否则小虎赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．
19．某政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元．销售过程中发现，月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+n．
（1）当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润为w为1250元，则n= ；（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润为多少元．
20．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，BC在x轴上，一次函数y=kx﹣2的图象经过点A、C，
并与y轴交于点E，反比例函数y=的图象经过点A．
（1）点E的坐标是；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）求当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．
21．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若： =1：2，求AE：EB：BD的值（请你直接写出结果）；
（3）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．
22．如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D．（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似；
（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由；
（3）连结BC．当S△AMC=S△BOC时，求AC的长．
23．已知抛物线y=a（x﹣m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．
（1）如图1，求抛物线y=（x﹣2）2+1的伴随直线的解析式．
（2）如图2，若抛物线y=a（x﹣m）2+n（m＞0）的伴随直线是y=x﹣3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．
（3）如图3，若抛物线y=a（x﹣m）2+n的伴随直线是y=﹣2x+b（b＞0），且伴随四边形ABCD 是矩形．
①用含b的代数式表示m、n的值；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示）；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年浙江省杭州市高桥中学九年级（下）期初数学试卷
参考答案与试题解析
一．仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.
1．是一个（）
A．整数 B．分数 C．有理数D．无理数
【考点】无理数．
【分析】根据无理数的定义即可作答．
【解答】解：∵是一个无限不循环小数，
∴是一个无理数．
故选D．
2．化简：（﹣3x2）2x3的结果是（）
A．﹣3x5B．18x5C．﹣6x5D．﹣18x5
【考点】单项式乘单项式．
【分析】利用单项式的乘法法则，同底数幂的乘法的性质，计算后直接选取答案．
【解答】解：（﹣3x2）2x3=[2×（﹣3）]（x3•x2）=﹣6x5．
故选C．
3．已知一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数是5，则另一组新数组x1+1、x2+2、x3+3、x4+4、x5+5的平均数是（）
A．6 B．8 C．10 D．无法计算
【考点】算术平均数．
【分析】根据平均数的性质知，要求x1+1，x2+2，x3+3，x4+4，、x5+5的平均数，只要把数x1、x2、x3、x4、x5的和表示出即可．
【解答】解：∵数x1、x2、x3、x4、x5的平均数为5
∴数x1+x2+x3+x4+x5=5×5
∴x1+1、x2+2、x3+3、x4+4、x5+5的平均数
=（x1+1+x2+2+x3+3+x4+4+x5+5）÷5
=（5×5+15）÷5
=8．
故选：B．
4．一次函数y=（k﹣3）x+2，若y随x的增大而增大，则k的值可以是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一次函数的性质．
【分析】根据一次函数的性质，当y随x的增大而增大时，求得k的范围，在选项中找到范围内的值即可．
【解答】解：根据一次函数的性质，对于y=（k﹣3）x+2，
当（k﹣3）＞0时，即k＞3时，y随x的增大而增大，
分析选项可得D选项正确．
答案为D．
5．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠FED=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EFB=∠FED=65°，
由折叠的性质知，∠FED=∠FED′=65°，
∴∠AED′=180°﹣2∠FED=50°．
故∠AED′等于50°．
故选：A．
6．如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（）
A．60° B．150°C．180°D．240°
【考点】旋转对称图形．
【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．【解答】解：O为圆心，连接三角形的三个顶点，
即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，
所以旋转120°或240°后与原图形重合．
故选：D．
7．如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（）
A．B．1 C．D．
【考点】锐角三角函数的定义；三角形中位线定理．
【分析】若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．
【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AB=BD，
∴E是CD中点，
∴AC=2BE，
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°．
∴BE∥AC．
∵AB=BD，
∴AC=2BE．
又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，
∴tanA===，故选A．
8．若不等式组（x为未知数）无解，则二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的交点（）
A．没有交点 B．一个交点 C．两个交点 D．不能确定
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】首先根据不等式组的解集确定方法得出a的值，进而利用b2﹣4ac的符号得出二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的交点个数．
【解答】解：∵不等式组（x为未知数）无解，
∴由﹣2x+4≥0，
解得：x≤2，
则x＞a时，即x＞2时此不等式组无解，
∴a=2，
∵y=ax2﹣2x+1中，
b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4a=4﹣4×2=﹣4＜0，
∴二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的没有交点．
故选：A．
9．已知w关于t的函数：，则下列有关此函数图象的描述正确的是（）A．该函数图象与坐标轴有两个交点
B．该函数图象经过第一象限
C．该函数图象关于原点中心对称
D．该函数图象在第四象限
【考点】函数的图象；二次根式有意义的条件．
【分析】在w关于t的函数式中，根据二次根式有意义的条件解答本题．【解答】解：函数式中含二次根式，分母中含t，故当t＞0时，函数式有意义，
此时w＜0，函数图象在第四象限．
故选D．
10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（）
A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤
【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；
判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF
的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．
【解答】解：连接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形（故①正确）．
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，（故④正确）．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4．
∴DE=DF=4（故③错误）．
当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．
此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8（故⑤正确）．
故选：B．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．一组数据5，9，8，8，10的中位数是8 ，方差是 2.8 ．
【考点】方差；中位数．
【分析】根据中位数的定义，将这组数据从小到大重新排列，求出最中间的数，求出平均数，再根据方差公式进行计算即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列为5，8，8，9，10，
最中间的数是8，则中位数是8；
平均数是：（5+8+8+9+10）÷5=8，
方差是==2.8，故答案为：8，2.8
12．分解因式：a3﹣4a（a﹣1）= a（a﹣2）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先利用整式的乘法把式子整理成a3﹣4a2+4a，再提取公因式a，然后再利用完全平方公式进行二次分解即可．
【解答】解：原式=a3﹣4a2+4a=a（a2﹣4a+4）=a（a﹣2）2，
故答案为：a（a﹣2）2．
13．已知a+b=2，b≤2，y﹣a2﹣2a+2=0．则y的取值范围是y≥﹣2 ．
【考点】二次函数的最值．
【分析】根据a+b=2、b≤2求出a的取值范围，由y﹣a2﹣2a+2=0得y=a2+2a﹣2=（a+1）2﹣3，结合自变量a的取值范围可知y的范围．
【解答】解：由a+b=2，得：b=2﹣a，
∵b≤2，得：2﹣a≤2，
解得：a≥0，
∵y﹣a2﹣2a+2=0，
∴y=a2+2a﹣2=（a+1）2﹣3，
∵当a＞﹣1时，y随a的增大而增大，
∴当a≥0时，y≥﹣2，
故答案为：y≥﹣2．
14．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8．⊙O经过B、C两点，且AO=4，则⊙O的半径长是．
【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．
【分析】由于⊙O经过B、C两点，可知点O在线段BC的垂直平分线上，分为点O在A点上和A点下两种情况，分别求解．
【解答】解：如图，过A点作BC的垂直平分线，垂足为D，
∵AB=AC=5，BC=8，∴BD=4，
∴在Rt△ABD中，AD==3，
当点O在A点上方时，OD=AO+AD=4+3=7，
在Rt△OBD中，半径OB===，
当点O在A点下方时，O′D=AO′﹣AD=4﹣3=1，
在Rt△O′BD中，半径O′B===．
故答案为：，．
15．正方形ABCD的边长为acm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部
分的面积是 cm2．
【考点】正方形的性质．
【分析】连接BD，可看出阴影部分的面积等于正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可证．
【解答】解：连接BD，EF．
∵阴影部分的面积=△ABD的面积+△BDG的面积（G为BF与DE的交点），
∴△ABD的面积=正方形ABCD的面积=a2．
∵△BCD中EF为中位线，
∴EF∥BD，EF=BD，
∴△GEF∽△GBD，
∴DG=2GE，
∴△BDE的面积=△BCD的面积．
∴△BDG的面积=△BDE的面积=△BCD的面积=•a2=a2．
∴阴影部分的面积=a2+a2=a2．
故答案为： a2．
16．如图，O为原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连结CD，某抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D、点E（1，1）．
（1）若该抛物线过原点O，则a= ﹣；
（2）若点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，要使得符合条件的Q点的个数是4
个，则a的取值范围是a＜﹣或a＞．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D、E的坐标和c=0代入y=ax2+bx+c，根据待定系数法即可求得；
（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0
时，抛物线与直线OQ：y=﹣x有两个交点，得到方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x，根据根与系数的关系得出不等式，解不等式即可求得．
【解答】解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
在△AOB和△BFD中，
，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF=BO=1，BF=AO=2，
∴D的坐标是（3，1），
把D（3，1），E（1，1），O（0，0）代入y=ax2+bx+c，
得，
解得a=﹣，
故答案为﹣；
（2）如图2，∵D（3，1），E（1，1），
抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．
分两种情况：
①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．
（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；
（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1
＜0，解得a＜﹣；
②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q 有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此时直线OQ的斜率为﹣，则直线OQ的解析式为y=﹣x，
要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有两个不相
等的实数根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+＞0，解得a＞（a ＜舍去）
综上所示，a的取值范围为a＜﹣或a＞．
故答案为a＜﹣或a＞．
三、全面答一答（本题有7小题，共66分，）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x满足x（x2﹣4）=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先把括号内通分和把除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分得到原
式，接着解x（x2﹣4）=0，然后利用分式有意义的条件确定x的值，再把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式=÷
=•
=
=，
解x（x2﹣4）=0得x=0或x=2或x=﹣2，
因为x≠0且x≠2，
所以x=﹣2，
当x=﹣2时，原式==﹣．
18．在一只不透明的盒子里有背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片，小马从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；在另一只不透明的盒子里将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小虎从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；
（2）小马与小虎做游戏，规则是：若这两数的差为非正数，则小马赢；否则小虎赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两数差为0的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）先找出这两数的差为非正数的结果数和这两数的差为正数的结果数，再根据概率公式计算出小马赢的概率和小虎赢的概率，然后通过比较概率的大小判断该游戏是否公平．【解答】解：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两数差为0的结果数为3，
所以 P（两数差为0）==；
（2）该游戏公平．理由如下：
因为这两数的差为非正数的结果数为6，这两数的差为正数的结果数为6，
小马赢的概率==，小虎赢的概率==，
所以游戏公平．
19．某政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元．销售过程中发现，月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+n．
（1）当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润为w为1250元，则n= 500 ；
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润为多少元．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据已知得出w=（x﹣20）•y进而代入x=25，W=1250进而求出n的值即可；（2）利用w=（x﹣20）•y得出W与x之间的函数关系式，令：函数关系式的关系式﹣10x2+700x ﹣10000=2000，进而求出即可；
（3）利用公式法求出x=35时二次函数取到最值，再利用这种护眼台灯的销售单价不得高于32元得出答案即可．
【解答】解：（1）∵y=﹣10x+n，当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润为w为1250元，
∴则W=（25﹣20）×（﹣10×25+n）=1250，
解得：n=500；
故答案为：500．
（2）由题意，得：w=（x﹣20）•y，
=（x﹣20）•（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，
令：﹣10x2+700x﹣10000=2000，
解这个方程得：x1=30，x2=40（舍）．
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元．
（3）由（2）知：w=﹣10x2+700x﹣10000，∴．
∵﹣10＜0，∴抛物线开口向下．
∵x≤32∴w随x的增大而增大．
∴当x=32时，w最大=2160．
答：销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润为2160元．
20．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，BC在x轴上，一次函数y=kx﹣2的图象经过点A、C，
并与y轴交于点E，反比例函数y=的图象经过点A．
（1）点E的坐标是（0，﹣2）；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）求当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）一次函数y=kx﹣2中代入x=0求得y的值，即可求得点E的坐标；
（2）利用△ACD∽△C EO求得点A的坐标后代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式；
（3）首先确定两个函数的交点坐标，然后结合图象确定x的取值范围即可．
【解答】解：（1）一次函数y=kx﹣2中令x=0得y=﹣2，
所以E（0，﹣2）；
（2）∵∠OCE=∠ACB，
∴Rt△OCE∽Rt△BCA，
∴=，
即=，
解得OC=4，
∴C点坐标为（4，0）；
（2）把C（4，0）代入y=kx﹣2得4k﹣2=0，解得k=，
∴一次函数解析式为y=x﹣2；
∵OC=4，
∴A点坐标为（6，1），
把A（6，1）代入y=得m=6×1=6，
∴反比例函数解析式为y=；
（3）令
解得，
∴另一个交点（﹣2，﹣3），
∴观察图象得：当x＜﹣2或 0＜x＜6时次函数的值小于反比例函数的值．
21．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若： =1：2，求AE：EB：BD的值（请你直接写出结果）；
（3）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连OP，根据圆周角定理得到∠AOP=2∠ACP=120°，则∠PAO=∠APO=30°，利用PA=PD得到∠D=∠PAD=30°，则∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°，于是得到∠OPD=120°﹣30°=90°，根据切线的判定定理即可得到PD是⊙O的切线；
（2）连BC，由AB为直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，利用： =1：
2，则∠ABC=2∠BAC，所以有∠BAC=30°，∠ABC=60°，而∠PAE=30°，得到AE垂直平分PC，设BE=x，然后利用含30°的直角三角形三边的关系可求出AE：EB：BD的值；
（3）根据圆周角定理由弧AC=弧BC，得到∠CAB=∠APC，OC⊥AB，根据相似三角形的判定方
法易得△ACE∽△PCA，则，即AC2=PC•CE，利用勾股定理有A02+OC2=AC2=8，即可得到CE•CP的值．
【解答】解：（1）PD与⊙O相切．理由如下：
连接OP，
∵∠ACP=60°，
∴∠AOP=120°，
而OA=OP，
∴∠PAO=∠APO=30°，
∵PA=PD，
∴∠D=∠PAD=30°，
∴∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°，
∴∠OPD=120°﹣30°=90°，
∵OP为半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）连BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵： =1：2，
∴∠ABC=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
而∠PAE=30°，
∴∠APE=∠DPE=60°，
∴AE垂直平分PC，如图，
设BE=x，在Rt△BCE中，∠BCE=30°，则BC=2BE=2x，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=2BC=4x，
∴AE=AB﹣BE=3x，
∵PA=PD，PE⊥AD，
∴AE=DE，
∴DB=3x﹣x=2x，
∴AE：EB：BD的值为3：1：2；
（3）如图，连接OC，
∵弧AC=弧BC，CO⊥AD，
∴∠CAB=∠APC，OC⊥AB，
而∠ACE=∠PCA，
∴△ACE∽△PCA，
∴，即AC2=PC•CE，
∵A02+OC2=AC2=8，
∴PC•CE=AC2=8．
22．如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D．（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似；
（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由；
（3）连结BC．当S△AMC=S△BOC时，求AC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由于∠MCA=∠BDO=Rt∠，所以△AMC和△BOD相似时分两种情况：①△AMC∽△BOD；②△AMC∽△OBD．则两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等及tan∠EOF=2列出关于AC的方程，解方程即可求出AC的长度；
（2）先由MC∥B D，得出△AMC∽△ABD，根据相似三角形对应边的比相等及三角形中位线的性质求出BD=2MC=8，OD=4，CD=8，AC=CD=8，再利用SAS证明△AMC≌△BOD，得到∠CAM=∠DBO，根据平行线的性质及三角形内角和定理求出∠ABO=90°，进而得出△ABO为直角三角形；（3）设OD=a，根据tan∠EOF=2得出BD=2a，由三角形的面积公式求出S△AMC=2AC，S△BOC=12a，根据S△AMC=S△BOC，得到AC=6a．由△AMC∽△ABD，根据相似三角形对应边的比相等列出关于a 的方程，解方程求出a的值，进而得出AC的长．
【解答】解：（1）∵∠MCA=∠BDO=Rt∠，
∴△AMC和△BOD中，C与D是对应点，
∴△AMC和△BOD相似时分两种情况：
①当△AMC∽△BOD时，=tan∠EOF=2，
∵MC=4，
∴=2，
解得AC=8；
②当△AMC∽△OBD时，=tan∠EOF=2，
∵MC=4，
∴=2，
解得AC=2．
故当AC的长度为2或8时，△AMC和△BOD相似；
（2）△ABO为直角三角形．理由如下：
∵MC∥BD，
∴△AMC∽△ABD，
∴，∠AMC=∠ABD，
∵M为AB中点，
∴C为AD中点，BD=2MC=8．
∵tan∠EOF=2，
∴OD=4，
∴CD=OC﹣OD=8，
∴AC=CD=8．
在△AMC与△BOD中，
，
∴△AMC≌△BOD（SAS），
∴∠CAM=∠DBO，
∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°，
∴△ABO为直角三角形；
（3）连结BC，设OD=a，则BD=2a．
∵S△AMC=S△BOC，S△AMC=•AC•MC=2AC，S△BOC=•OC•BD=12a，∴2AC=12a，
∴AC=6a．
∵△AMC∽△ABD，
∴，即，
解得a1=3，a2=﹣（舍去），
∴AC=6×3=18．
23．已知抛物线y=a（x﹣m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．
（1）如图1，求抛物线y=（x﹣2）2+1的伴随直线的解析式．
（2）如图2，若抛物线y=a（x﹣m）2+n（m＞0）的伴随直线是y=x﹣3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．
（3）如图3，若抛物线y=a（x﹣m）2+n的伴随直线是y=﹣2x+b（b＞0），且伴随四边形ABCD 是矩形．
①用含b的代数式表示m、n的值；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示）；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用抛物线y=（x﹣2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1），求出直线解析式即可；
（2）首先得出点A的坐标为（0，﹣3），以及点C的坐标为（0，3），进而求出BE=2，得出顶点B的坐标求出解析式即可；
（3）①由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，﹣b），以及n=﹣2m+b，即点B点的坐标为（m，﹣2m+b），利用勾股定理求出；
②利用①中B点坐标，以及BD的长度即可得出P点的坐标．
【解答】解：（1）由抛物线y=a（x﹣m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，
∴抛物线y=（x﹣2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1），
设所求直线解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴所求直线解析式为y=﹣2x+5；
（2）如图，作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（0，﹣3），
点C的坐标为（0，3），
可得：AC=6，
∵平行四边形ABCD的面积为12，
∴S△ABC=6即S△ABC=AC•BE=6，
∴BE=2，
∵m＞0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y=x﹣3上，
∴顶点B的坐标为（2，﹣1），
又抛物线经过点A（0，﹣3），
∴a=﹣，
∴y=﹣（x﹣2）2﹣1；
（3）①如图，作BF⊥x轴于点F，
由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，﹣b），
∵顶点B（m，n）在直线y=﹣2x+b（b＞0）上，
∴n=﹣2m+b，即点B点的坐标为（m，﹣2m+b），
在矩形ABCD中，CO=BO．
∴b=，
∴b2=m2+4m2﹣4mb+b2，
∴m=b，
n=﹣2×b+b=﹣b，
②∵B点坐标为（m，n），即（b，﹣ b），
∴BO==b，
∴BD=2b，
当BD=BP，
∴PF=2b﹣b=b，
∴P点的坐标为（b， b）；
如图3，当DP=PB时，
过点D作DE⊥PB，于点E，
∵B点坐标为（b，﹣ b），
∴D点坐标为（﹣b， b），
∴DE=b，BE=b，设PE=x，
∴DP=PB=b+x，
∴DE2+PE2=DP2，
∴+x2=（b+x）2，
解得：x=b，
∴PF=PE+EF=b+b=b，
∴此时P点坐标为：（ b， b）；
同理P可以为（b，﹣ b）；（b， b），
故P点坐标为：（ b， b）；（b， b）；（b，﹣ b）；（b， b）．。