人教版初中数学中考考点系统复习 第22讲 锐角三角函数 (2)

对点训练
解：过点C作CD⊥AB于点D. 根据题意可知AB＝7，∠ACD＝45°， ∠CBD＝90°－68°＝22°， ∴AD＝CD，∴BD＝AB－AD＝7－CD.
∴AD＝CD＝2，BD＝7－2＝5，
∴AC＋BC≈2.82＋5.41≈8.2. 答：新建管道的总长度约为8.2 km.
5.（鄂州中考）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶 部新建了一块大型宣传牌，如图.小明同学为测量宣传牌的高度AB，站在距离教 学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教 学楼窗户D处的仰角为30°（点A，B，D，E在同一条直线上）.然后，小明沿 坡度i＝1∶1.5的斜坡从C处走到F处，此时DF正好与地面CE平行.
∴此时下水道内水的深度约为29.5 cm.
10.（2022·绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节 气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为表）和一把呈南北方向水平固定 摆放的与标杆垂直的长尺（称为圭）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投 影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天 定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直于 圭BC.已知该市冬至正午太阳高度角（即∠B）为37°，夏至正午太阳高度角 （即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4 m.
（1）sin2A1＋cos2A1＝ 1 ⁠；sin2A2＋cos2A2＝ 1 ⁠；sin2A3＋cos2A3 ＝1；
⁠
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A ＋cos2A ＝1；
⁠
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）中的猜想；
命题点2 解直角三角形的应用 6.（2020·黔西南州）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到
（1）求∠BAD的度数；
解：（1）∵∠ADC＝84°，∠B＝37°，∴∠BAD＝∠ADC－∠B＝47°. 答：表AC的长约为3.3 m.
30°方向，点B位于点O的南偏东⑧ 60° 方向，点C位于点O的 ⁠
北偏西⑨ 45° 方向（或西北方向） ⁠
考点1 直角三角形的边角关系 考点精讲 1.（1） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝6，CD
＝5，则∠ACD的正切值是（ ）
第（1）题图
（2）（2022·沈阳）如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与 河岸PQ垂直），测得P，Q两点间距离为m m，∠PQT＝α，则河宽PT为（ ）
解直角三角形与实际问题 运用解直角三角形解决实际问题时，要读懂题意，由实物图抽象出数学图 形，把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题，具体方法如下： （1）根据题干中的信息准确识别示意图，弄明白图中哪些是已知量，哪些 是未知量； （2）寻找直角三角形，将已知条件转化为示意图中的边角关系，将所求线 段通过等量代换转化在直角三角形中.若找不到直角三角形，则作辅助线构造直角 三角形，常见添加辅助线的方法有两种： ①三角形作高法；②梯形作高法.
解：延长BC交AD于点E， 则AE＝AD－DE＝2.2－1.6＝0.6（m）.
∴BC＝BE－CE＝1.875－0.347＝1.528≈1.5（m）， ∴MN＝BC＝1.5 m. 答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为1.5 m.
9.（2019·贵阳）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理 图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门，平时阀门被 管道中排出的水冲开，可排出城市污水.当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关 闭，以防河水倒灌入城中，若阀门的直径OB＝OP＝100 cm，OA为检修时阀门 开启的位置，且OA ＝OB.
A.m sinα m C.m tanα m
B.m cosα m
第（2）题图
（1）D （2）C
解直角三角形的技巧 1.若在一般三角形中，通常需作高来构造直角三角形. 2.若已知三角函数值为特殊角的三角函数值，通常先将该特殊角求出. 3.当一个角存在于两个不同的直角三角形中时，通常将该角的相同的三角函 数在不同的直角三角形中表示出来，利用两个三角函数值相等可求相应线段的长.
自主解答： 解：过点C作CD⊥AB，垂足为D. 根据题意可知∠BAC＝90°－60°＝30°， ∠DBC＝90°－30°＝60°. ∵∠DBC＝∠ACB＋∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ACB， ∴BC＝AB＝60 km. 在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝60°，
∴这艘船继续向东航行安全.
（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；
解：（1）阀门OB被下水道的水冲开与被河水压迫关闭过程中， 0°≤∠POB≤90°.
（2）∵OA⊥AC，∠CAB＝67.5°，∴∠BAO＝22.5°. ∵OA＝OB，∴∠ABO＝22.5°，∴∠BOP＝45°. 过点B作BD⊥OP于点D. 在Rt△BOD中，∵OB ＝OP＝100 cm，
知识点3 解直角三角形 图示
已知条件
a，b
a，c
解题步骤
图示
已知条件 b，∠A a，∠A c，∠A
解题步骤
知识点4 解直角三角形的应用
仰角、 俯角
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角， 视线在水平线下方的角叫俯角
坡度 （坡比）、
坡角
方位角
一般指以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方 向，旋转到目标方向所成的角（一般指锐角），通常表达成北 （南）偏东（西）多少度.如图，点A位于点O的北偏东
第一轮 中考考点系统复习
第四章 图形初步与三角形 第22讲 锐角三角函数
知识点1 锐角三角函数 1.定义：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.
2.特殊角的三角函数值：
α
30°
sinα
cosα
tanα
45°
⑥1
⁠
60°
知识点2 直角三角形的边角关系 1.角的关系：两锐角互余. 2.三边关系：满足勾股定理. 3.边角关系：满足锐角三角函数.
A'B'的位置，已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的 高度为（ B ）
B.4sinα米 D.4cosα米
第6题图
A
A.10 m C.5 m
第7题图
8.（2020·遵义）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号 测温门.如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部 A处距地面高为2.2 m，为了解自己的有效测温区间.身高1.6 m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示 额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M 处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的 仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN的长度.（额头 到地面的距离以身高计，计算精确到0.1 m，sin18°≈0.31， cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
对点训练
D 第1题图
2.（2022·通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格 点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（ B ）
第2题图
考点2 解直角三角形的应用 考点精讲 2.（2020·铜仁）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北
偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60 km到达 B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C 的周围47 km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 【思路分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质得出 ∠BCA＝∠BAC＝30°，∠ACD＝60°，从而根据等角对等边得出BC＝AB＝60 km，然后解Rt△BCD，求出CD的长即可.
（1）求点F到直线CE的距离；（结果保留根号）
解：（1）过点F作FG⊥EC于点G. 依题意，知FG∥DE，DF∥GE，∠FDE＝90°， ∴四边形DEGF是矩形，∴FG＝DE.
答：宣传牌的高度AB约为4.3米.
命题点1 直角三角形中的边角关系 1.（2016·安顺）如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都
在格点上，则∠ABC的正切值是（ D ） A.2
第Hale Waihona Puke 题图2.（2018·贵阳）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则tan∠BAC的值为（ B ） B.1
第2题图
B 第3题图
第4题图
5.（2017·黔西南州）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2解答下列问题：