山东省龙口市诸由观镇诸由中学七年级数学上册 4.3 立方根教案2 (新版)鲁教版五四制
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立方根
教学 目标 (一)教学知识点 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根. 2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算. 3.了解立方根的性质. 4.区分立方根与平方根的不同. (二)能力训练要求 1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领 会类比思想. 2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非. 重点 立方根的概念.
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x 等于三次根号 a.
开立方的定义 ［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义. ［生］求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方， 其中 a 叫做被开方数. (2)立方根的性质 ［师］2 的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是 8？ ［生］2 的立方等于 8，(－2) =－8，所以没有其他的数的立方等于 8. ［师］－3 的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？ ［生］－3 的立方等于－27，3 =27，所以没有其他的数的立方等于－27. ［师］0 的立方等于多少？0 有几个立方根？ ［生］0 的立方等于 0，0 有 1 个立方根是 0. ［师］ 从刚才的讨论中， 大家总结一下正数有几个立方根？0 有几个立方根？负数有几个立方根？ ［生］正数有一个立方根，0 有一个立方根是 0，负数有一个立方根. ［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0 的立方根有一个，是 0. (3)平方根与立方根的区别与联系. ［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说 说它们的联系与区别. ［生］从定义来看，若一个数 x 的平方等于 a，即 x =a，则 x 叫 a 的平方根；若一个数 x 的立方 等于 a，即 x =a，则 x 叫 a 的立方根，都是一个数 x 的乘方等于 a，但一个是平方，另一个是立方. ［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立 方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零. ［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数 a 的平方根表示为± a ，立方根表示为 3 a . 下面我再系统地总结一下：
解：设正方体的棱长是 x 厘米，得 (二)补充练习 1.求下列各数的立方根： 0，1，－
27 125 ，6，－ ，0.001 81 1000
2.求下列各式的值：
3
0.027; 3 1;3
1 3 63 8 ; 1; 3 (2) 3 ; (3 2 ) 3 ; 3 ( ).正确理解立方根的概念. 2.会求一个数的立方根. 3.区分立方根与平方根的不同之处.
教学过程(包括课程导入、新课解析、例题精讲、课堂练习、作业设计等)
Ⅰ.新课导入 上节课我们学习了平方根的定义，若 x =a，则 x 叫 a 的平方根，即 x=± a .
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若正方体的棱长为 a，体积为 8，根据正方体体积的公式得 a =8，那 a 叫 8 的什么呢？本节课请 大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若 x =a，则 x 叫 a 的什么呢？Ⅱ.新课讲解 1.请大家先回忆平方根的定义.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？ .若 x 的平方等于 a，则 x 叫 a 的平方根，记作 x=± 2 a ，读作 x 等于正、负二次根号 a，简称为
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平方根与立方根的联系与区别. 联系： (1)0 的平方根、立方根都有一个是 0. (2)平方根、立方根都是开方的结果. 区别： (1)定义不同： “如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根” ； “如果一个数的立方 等于 a，这个数就叫做 a 的立方根.” (2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个 负数有一个立方根. (3)表示法不同 正数 a 的平方根表示为± a ，a 的立方根表示为 3 a . (4)被开方数的取值范围不同 ± a 中的被开方数 a 是非负数； 2.例题讲解 ［例 1］求下列各数的立方根： (1)－27；(2)
3
a 中的被开方数可以是任何数.
8 ；(3)0.216；(4)－5. 125
［师］请大家思考下列问题.
3
a 表示 a 的立方根，则( 3 a )3 等于什么？ 3 a 3 等于什么？
3
大家可以先举例后找规律.： ( 3 a ) =a. 又∵a 是 a 的立方,所以 a 的立方根就是 a，所以 3 a =a.下面就这两个式子进行练习.
3 3
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［例 2］求下列各式的值： (1) 3 8 ；(2) 3 0.064 ；(3)－ 3 Ⅲ.课堂练习 (一)随堂练习 1.求下列各式的值：
3
8 3 ；(4)( 3 9 ) 125
0.125; 3 64; 3 53 ; (3 16)3
2.一个正方体，它的体积是棱长为 3 厘米的正方体体积的 8 倍，这个正方体的棱长是多少？
3
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x 等于正，负根号 a.若 x 的立方等于 a，则 x 叫 a 的立方根，记作 x=± 3 a ，读作 x 等于正、负三次
根号 a，简称 x 等于正、负根号 a. ［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言. ［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果 x =a，则 x=± a ，x =a 时，x=± a 也成立的话，
3.下列说法对不对？ －4 没有立方根；1 的立方根是±1； Ⅳ.议一议 1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来 的 8 倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？ 2.一个正方体的体积变为原来的 n 倍，它的棱长变为原来的多少倍？ 解：设原正方体的棱长为 a，后来的正方体的棱长为 b，得
2 3
那如何区分平方根与立方根呢？
［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如 x =8，因为 2 =8， 所以 x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确. ［师］ 大家的分析非常有道理， 请认真看书第 13、 14 页可知， 若一个数 x 的立方等于 a， 即 x =a， 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(cube root；也叫三次方根)如 2 是 8 的立方根，记为 x= 3 a ，读作
教学 目标 (一)教学知识点 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根. 2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算. 3.了解立方根的性质. 4.区分立方根与平方根的不同. (二)能力训练要求 1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领 会类比思想. 2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非. 重点 立方根的概念.
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x 等于三次根号 a.
开立方的定义 ［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义. ［生］求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方， 其中 a 叫做被开方数. (2)立方根的性质 ［师］2 的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是 8？ ［生］2 的立方等于 8，(－2) =－8，所以没有其他的数的立方等于 8. ［师］－3 的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？ ［生］－3 的立方等于－27，3 =27，所以没有其他的数的立方等于－27. ［师］0 的立方等于多少？0 有几个立方根？ ［生］0 的立方等于 0，0 有 1 个立方根是 0. ［师］ 从刚才的讨论中， 大家总结一下正数有几个立方根？0 有几个立方根？负数有几个立方根？ ［生］正数有一个立方根，0 有一个立方根是 0，负数有一个立方根. ［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0 的立方根有一个，是 0. (3)平方根与立方根的区别与联系. ［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说 说它们的联系与区别. ［生］从定义来看，若一个数 x 的平方等于 a，即 x =a，则 x 叫 a 的平方根；若一个数 x 的立方 等于 a，即 x =a，则 x 叫 a 的立方根，都是一个数 x 的乘方等于 a，但一个是平方，另一个是立方. ［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立 方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零. ［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数 a 的平方根表示为± a ，立方根表示为 3 a . 下面我再系统地总结一下：
解：设正方体的棱长是 x 厘米，得 (二)补充练习 1.求下列各数的立方根： 0，1，－
27 125 ，6，－ ，0.001 81 1000
2.求下列各式的值：
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0.027; 3 1;3
1 3 63 8 ; 1; 3 (2) 3 ; (3 2 ) 3 ; 3 ( ).正确理解立方根的概念. 2.会求一个数的立方根. 3.区分立方根与平方根的不同之处.
教学过程(包括课程导入、新课解析、例题精讲、课堂练习、作业设计等)
Ⅰ.新课导入 上节课我们学习了平方根的定义，若 x =a，则 x 叫 a 的平方根，即 x=± a .
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若正方体的棱长为 a，体积为 8，根据正方体体积的公式得 a =8，那 a 叫 8 的什么呢？本节课请 大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若 x =a，则 x 叫 a 的什么呢？Ⅱ.新课讲解 1.请大家先回忆平方根的定义.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？ .若 x 的平方等于 a，则 x 叫 a 的平方根，记作 x=± 2 a ，读作 x 等于正、负二次根号 a，简称为
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平方根与立方根的联系与区别. 联系： (1)0 的平方根、立方根都有一个是 0. (2)平方根、立方根都是开方的结果. 区别： (1)定义不同： “如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根” ； “如果一个数的立方 等于 a，这个数就叫做 a 的立方根.” (2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个 负数有一个立方根. (3)表示法不同 正数 a 的平方根表示为± a ，a 的立方根表示为 3 a . (4)被开方数的取值范围不同 ± a 中的被开方数 a 是非负数； 2.例题讲解 ［例 1］求下列各数的立方根： (1)－27；(2)
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a 中的被开方数可以是任何数.
8 ；(3)0.216；(4)－5. 125
［师］请大家思考下列问题.
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a 表示 a 的立方根，则( 3 a )3 等于什么？ 3 a 3 等于什么？
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大家可以先举例后找规律.： ( 3 a ) =a. 又∵a 是 a 的立方,所以 a 的立方根就是 a，所以 3 a =a.下面就这两个式子进行练习.
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［例 2］求下列各式的值： (1) 3 8 ；(2) 3 0.064 ；(3)－ 3 Ⅲ.课堂练习 (一)随堂练习 1.求下列各式的值：
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8 3 ；(4)( 3 9 ) 125
0.125; 3 64; 3 53 ; (3 16)3
2.一个正方体，它的体积是棱长为 3 厘米的正方体体积的 8 倍，这个正方体的棱长是多少？
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x 等于正，负根号 a.若 x 的立方等于 a，则 x 叫 a 的立方根，记作 x=± 3 a ，读作 x 等于正、负三次
根号 a，简称 x 等于正、负根号 a. ［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言. ［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果 x =a，则 x=± a ，x =a 时，x=± a 也成立的话，
3.下列说法对不对？ －4 没有立方根；1 的立方根是±1； Ⅳ.议一议 1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来 的 8 倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？ 2.一个正方体的体积变为原来的 n 倍，它的棱长变为原来的多少倍？ 解：设原正方体的棱长为 a，后来的正方体的棱长为 b，得
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那如何区分平方根与立方根呢？
［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如 x =8，因为 2 =8， 所以 x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确. ［师］ 大家的分析非常有道理， 请认真看书第 13、 14 页可知， 若一个数 x 的立方等于 a， 即 x =a， 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(cube root；也叫三次方根)如 2 是 8 的立方根，记为 x= 3 a ，读作