高二理科数学下册期末考试(8)

高二理科数学下册期末考试
高二数学（理工类）试题
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120
分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，条形码粘贴在相应位置； （2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整，字迹清楚，如需做图，可先用铅笔做图，待确定后，再用黑色字迹的签字笔做图；
（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，写
在草稿纸、试题卷上答案无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．
1．用二分法研究函数13)(3
-+=x x x f 的零点时，第一次经计算0)0(<f ，0)5.0(>f 可得其中
一个零点∈0x ___________，第二次应计算___________．以上横线应填的内容为（ ） （A ）)5.0,0(,)25.0(f （B ）)1,0(,)25.0(f （C ）)1,5.0(,)75.0(f （D ）)5.0,0(,)125.0(f 2．设集合}1|1
1
||
{>+-=x x x M ，}11|{<<-=x x N ，则“M a ∈”是“N a ∈”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3．幂函数)(x f 的图象过点)3,9(，则)4(f 的值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）2
1
（D ）4 4．函数x
x x f 2
23ln
)(-=的零点一定位于区间（ ） （A ）)2,1( （B ）)3,2( （C ）)4,3( （D ）)5,4(
5．函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0
,)1(0
,1)(22x e a x ax x f ax 在),(+∞-∞上单调，则a 的取值范围是（ ）
（A ）
]2,1( （B ）),2[)1,2[+∞⋃-- （C ）]2,1(]2,(⋃--∞ （D ）),2[+∞ 6．若定义⎩⎨
⎧≥<=⊗b
a b b a a b a ,,，则函数x
x x f -⊗=33)(的值域为（ ）
（A ）),(+∞-∞ （B ）),1[+∞ （C ）),0(+∞ （D ）]1,0(
7．已知+∈R z y x ,,，且2=++z y x ，则2
22z y x ++的最小值是（ ）
（A ）1 （B ）
31 （C ）3
2
（D ）2 8．某商店出售A 、B 两种价格不同的商品，由于A 连续两次提价20%，同时B 连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况相比，商店盈利情况是（ ）
（A ）多赚约6元 （B ）少赚约6元 （C ）多赚约2元 （D ）盈利相同
9．函数)3(log )(ax a x f a x
-+=-在]2,1[上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
（A ）)1,0( （B ）),1(+∞ （C ）)2
3
,1( （D ）)3,1(
10．已知函数)(x f 满足）x f x f -=+ππ()(，且当),0(π∈x 时，x x x f cos )(+=，则)2(f ，)3(f ，）
（4f 的大小关系是（ ） （A ）)4()3()2(f f f << （B ）)3()4()2(f f f << （C ）)2()3()4(f f f << （D ）
)2()4()3(f f f <<
11．已知)(x f 的导数))(1()('
a x x a x f --=，若)(x f 在1=x 处取得极小值，则a 的取值范围是
（ ）
（A ）)1,0( （B ）),1()0,(+∞⋃-∞ （C ）)0,(-∞ （D ）),1(+∞ 12．定义B A *，C B *，D C *，B D *分别对应图甲中的图形，
那么在图形乙中，可以表示D A *，C A *的分别是（ ）
（图甲）
（图乙）
（A ）①② （B ）②③ （C ）①④ （D ）②④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．直线1 =y 与曲线22
+-=x y 所围图形的面积____________
14．不等式22||ln ->x e x 的解集是
15．若关于x 的方程m x x +=+13有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为 16．已知两个实数00>>y x ，，满足04=--y x xy ，则y x +的取值范围为_____________
①
②
③
④
①
②
③
④
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）已知二次函数)(x f 满足：①在1=x 时有极值；②图象过点)3,0(-，且在该点处的切线与直线02=+y x 平行． （1）求)(x f 的解析式；
（2）若曲线)(x e f y =上任意两点的连线的斜率恒大于a
a 1
+，求a 的取值范围．
18．（本小题12分）已知实数x 满足03log 7log 2112
≤++x x a
a
，求函数x a a x y a
a 2
log log ⋅=的最大值和最小值．
19．（本小题12分）已知函数),()2()1()(23R b a b x a a x a x x f ∈++--+=．
（1）若函数)(x f 的图象过原点，且在原点处的切线的斜率是3-，求b a ,的值； （2）若函数)(x f 在区间)1,1(-上不单调，求a 的取值范围．
20．（本小题12分）已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润5.3万元，为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗员工人数x 不超过原有员工的1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润（x
10081
1-
）万元；当待岗员工人数x 超过原有员工的1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润0.9595万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？
21．（本小题12分）若存在实常数k 和b ，使得函数)(x f 和)(x g 对其定义域上的任意实数x 分别满足：b kx x f +≥)(和b kx x g +≤)(，则称直线b kx y +=为函数)(x f 和)(x g 的“隔离直线”．已
知2
)(x x h =，x e x ln 2)(=ϕ．
（1）求)()()(x x h x F ϕ-=的极值； （2）函数)(),(x x h ϕ是否存在隔离直线．
22．（本小题12分）若函数)(x g A 的定义域为),[b a A =，且22)1()1(
)(-+-=x
b
a x x g A ，),0(,+∞∈
b a 且b a <．
（1）求)(x g A 的最小值； （2）求)(x g A 的单调区间；
（3）若))1(,[221+=∈k k I x k ，))2(,)1[(2
212++=∈+k k I x k ，*N k ∈，求证：
)
1(4
)()(211+>
++k k x g x g k k I I ．
高二下学期期末考试理科数学参考答案
一选择题
1.A
2.D
3.B
4.A
5. C
6. D
7.C
8.B
9.C 10.B 11 A 12 D 二填空题 13.
34 14.），（20 15.)12
13,31[ 16.),9[+∞ 三解答题
17.（1）设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，33)0(-=⇒-=c f ，22)0('
-=⇒-=b f ，
020)1('=+⇒=b a f ，1=∴a ，32)(2--=∴x x x f — — — — — — — — 5分
（2）设32)()(2--==x
x x e e e f x h ，2
121)21(2)(2'-≥-
-==∴x e x h k ， 由题意得a
a k 1
21min +>-
=，0<∴a — — — — — — — 10分 18. 由题意得0)3)(log 1log 2(11≤++x
a
x a
，
21log 31-≤≤-∴x a
3log 2
1≤≤∴x
a ，
— — — — — — 4分
又)log )(log 1(log )(2
x a a a x a x f --= ，4
1
)23
(log )(2+
--=∴x
a x f ， — — — — — — — 8分
23log =
∴x
a 时，4
1)(max =x f ；3log =∴x
a 时，2)(min -=x f — — — — — — — 12分 19. (1)由题意得0=
b ，又)2()1(23)(2
'+--+=a a x a x x f ，)(x f 在原点处的切线斜率是3-，
3)2(-=+-∴a a ，3-=∴a 或1=a .— — — — — — 5分
(2)由0)('
=x f ，得3
2
,21+-
==a x a x .由)(x f 在)1,1(-上不单调， 即⎪⎩⎪⎨⎧+-≠<<-3211a a a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+-≠<+-<-3213
21a a a — — — — — — 10分 解a 的范围为)1,2
1
()21,5(-⋃--— — — — — — 12分
20.设利润为y 万元，,20%12000=⨯ 200≤<∴x 且N x ∈时，
x x x y 5.0)1008115.3)(2000(--
+-=81.9000)324
(5++-=x
x ；— — — — — — 3分
由100%52000=⨯≤x 得，当10020≤<x 且N x ∈时，
89199595.45.0)9595.05.3)(2000(+-=-+-=x x x y ，— — — — — — 6分 ⎪⎩⎪
⎨⎧
∈≤<+-∈≤<++-=∴)
10020(89199595.4),200(81.9000)324(5N x x x N x x x
x y ， — — — — — — 7分 当200≤<x 时，有81.882081.90003242581.9000)324
(5=+⨯-≤++
-=x
x y ， 当18=x 时取等，81.8820max =y ，— — — — — — 10分
又由89199595.4+-=x y 为减函数，81.88198919209595.4=+⨯-<∴y ，— — — — — — 12分
综上，81.8820,18max ==y x 万元 21． (1)
()()()F x h x x ϕ=-=22ln (0)x e x x ->，
2()2e F x x x '∴=-
= — — — — — —1分
当x =
()0F x '=．
当0x <<()0F x '<，此时函数()F x 递减；
当x >()0F x '>，此时函数()F x 递增；— — — — — —3分
∴当x =
()F x 取极小值，其极小值为0． — — — — — —5分
(2)由（1）可知函数)(x h 和)(x ϕ的图象在e x =
处有公共点，因此若存在)(x h 和)(x ϕ的隔离
直线，则该直线过这个公共点． — — — — — —6分 设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为)(e x k e y -
=-，即
e k e kx y -+=． — — — — — —7分
由)()(R x e k e kx x h ∈-+≥，可得02
≥+--e k e kx x 当R x ∈时恒成立．
2)2(e k -=∆ ，
∴由0≤∆，得e k 2=． — — — — — —8分
下面证明e x e x -≤2)(ϕ当0>x
时恒成立．
令()()G x x e ϕ=-+e x e x e +-=2ln 2，则
2
()e G x x '=
-=， — — — — — —9分
当x =
()0G x '=．
当0x <<()0G x '>，此时函数()G x 递增；
当x >()0G x '<，此时函数()G x 递减；
∴当x =
()G x 取极大值，其极大值为0．
从而()2ln 0G x e x e =-+≤，即)0(2)(>-≤x e x e x ϕ恒成立．— — — — — —11分
∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的隔离直线y e =-．— — — — — —12分
22.（1）a b
x b a x x b a x x b x
b x a a x x g A 22)(2)()12()12()(22222-++-+=+-++-=— — — — —
—6分 令
22>≥=+a b t x b a x ，则)2(2222a
b
t a b t t y ≥-+-=单调增， a b t 2
=∴时，2min )1(
2)]([-=a
b
x g A — — — — — —4分 （2）
02222)
(2322'>+--=x
b
x b a a x x g A ⇔022234>+--bx a b a ax x ⇔
0))()((2>+--+ab ax x ab x ab x ，⇒单调增区间为),(b ab ，单调减区间为),(ab a
在ab x =时取得最小值. — — — — — —8分
（3）)1(,)1(,2
2+=+==k k ab k b k a ,由上一问得当）1(1+=k k x 时，)(1x g K I 最小，同理，当
)2)(1(2++=k k x 时，)(21x g K I +最小.
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=++≥=
+≥+=222
1)1(2))2)(1((2
))1(()(11
k k k g x g k k k g x g K K K K I I I I ）（⇒
)1(4
)
1(22)]()([2
2min 211+>++=
++k k k k x g x g K K I I 得证. — — — — — —12分。