云南省曲靖市宣威市第六中学2025届高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

云南省曲靖市宣威市第六中学2025届高考全国统考预测密卷数学试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ）
A ．12π
B ．3π
C ．2π
D ．1π 2．已知抛物线2()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，
，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝
上，则直线AF 被C 截得的弦长为（ ） A ．919 B ．1009 C ．1189 D ．1279
3．已知i 是虚数单位，则复数2
4(1)i =-（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-
4．过椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34
FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）
A B C ．12 D ．2 5．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ）
A ．6
B ．1
C ．32
D ．32
- 6．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则
V v =（ ） A ．4 B ．8 C ．9 D ．27
7．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则12n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80 C ．90 D ．120
8．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2018
D ．2017
9．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）
A ．-1
B ．1
C ．0
D ．2
10．若实数x 、y 满足2
1y x y y x
≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）
A ．6
B ．5
C ．2
D ．3
2
11．要得到函数32sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 232y x x =的图像（
） A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π
个单位
C ．向右平移12π个单位
D ．向右平移3π
个单位
12．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ）
A ．13
B ．23
C ．1
D ．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的x 的值__________．
14．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，三角形PAC 为等边三角形，二面角P AC B --的余弦值为63-
，当三棱锥P ABC -的体积最大值为
13时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为______. 15．已知3sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭_____。

16．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2px q =中，p 为“隅”，q 为“实”．即若ABC 的大斜、中斜、小斜分别为a ，b ，c ，则
2222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
.已知点D 是ABC 边AB 上一点，3AC =，2BC =，45︒∠=ACD ，815tan BCD +∠=，则ABC 的面积为________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()2
123sin cos 2cos f x x x x m =--+在R 上的最大值为3. （1）求m 的值及函数()f x 的单调递增区间;
（2）若锐角ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且()0f A =，求
b c 的取值范围. 18．（12分）已知正实数a b ，满足4a b += .
（1）求14a b
+ 的最小值.
（2）证明：2211252
a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 19．（12分）车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行统计，结果如下：
以加工这100个零件用时的频率代替概率.
（1）求X 的分布列与数学期望EX ；
（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的的参数方程为4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.
（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）过点)P 作直线l 的垂线交曲线C 于,D E 两点(D 在x 轴上方)，求11PD PE
-的值. 21．（12分）已知ABC 中，2BC =，45B =︒，D 是AB 上一点．
（1）若1BCD S =△，求CD 的长；
（2）若30A =︒，3BD AD =，求sin sin ACD DCB
∠∠的值． 22．（10分）已知a ，b ，c 为正数，且1abc =，证明：
（1）()()()21212127a b c +++≥；
（2）()()()22211134
a b c b a c c a b ++≤+++.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D
【解析】
根据统计数据，求出频率，用以估计概率.
【详解】 70412212π≈. 故选:D.
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.
2、B
【解析】
由焦点得抛物线方程，设A 点的坐标为2
()14m m ，，根据对称可求出点A 的坐标，写出直线AF 方程，联立抛物线求交点，计算弦长即可.
【详解】 抛物线2
()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，， 则
12
p ＝，即2p ＝， 设A 点的坐标为2()14m m ，，B 点的坐标为()113n n ≤，，， 如图：
∴2211114211142222m n m m m n ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪++⎪=⨯+⎪⎩
， 解得62m n =⎧⎨=⎩，或343359m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(舍去)， ∴9(6)A ，
∴直线AF 的方程为413
y x +＝， 设直线AF 与抛物线的另一个交点为D ， 由24134y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得69x y =⎧⎨=⎩或2319x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴21,39D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
∴100||9AD ==， 故直线AF 被C 截得的弦长为
1009
． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.
3、A
【解析】
根据复数的基本运算求解即可.
【详解】 224422(1)2i i i i i
===---. 故选：A
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.
4、D
【解析】
求得点B 的坐标，由34
FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.
【详解】
由题意可得()0,B b 、(),0F c -. 由34FO AA ='，得34BF BA =，则31
BF FA =，即3BF FA =. 而(),BF c b =--，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,3
3b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b +=上，则22
224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==
，所以2
e =. 即椭圆C
的离心率为
2 故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.
5、A
【解析】
根据向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】
()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→
， 432x ∴⨯=，
即6x =，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.
6、D
【解析】
设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt AMN ∆中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.
【详解】
设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，
作正四面体的高为PM ，
则323233
AD AM AD ===， 2263PM PA AM ∴=-=
， 1362312
P ABC V -∴==， 设内切球的半径为r ，内切球的球心为O ， 则1
3443P ABC O ABC V V --==⨯， 解得：6r =； 设外接球的半径为R ，外接球的球心为N ， 则MN PM R =-或R PM -，AN R =，
在Rt AMN ∆中，由勾股定理得：
222AM MN AN +=，
2
2133R R ⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得R =， 3R r ∴=， 3
327V R v r
∴== 故选：D
【点睛】
本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.
7、B
【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
32z x y =-+，即322
z y x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.
52x
⎛ ⎝展开式的通项为：()()35552155221r
r r r r r r r T C x C x ---+⎛=⋅=⋅⋅-⋅ ⎝， 取2r 得到2x 项的系数为：()2
25252180C -⋅⋅-=. 故选：B .
【点睛】
本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 8、D
【解析】
依次运行程序框图给出的程序可得 第一次：2017sin 2018,32S i π=+==，不满足条件； 第二次：32018sin 201812017,52S
i π=+=-==，不满足条件； 第三次：52017sin 2018,72S
i π=+==，不满足条件； 第四次：72018sin 201812017,92S
i π=+=-==，不满足条件； 第五次：92017sin 2018,112S
i π=+==，不满足条件； 第六次：112018sin 201812017,132S
i π=+=-==，满足条件，退出循环．输出1．选D ． 9、B
【解析】
化简得到
，根据纯虚数概念计算得到答案. 【详解】
为纯虚数，故
且，即. 故选：.
【点睛】
本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.
10、D
【解析】
根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案
【详解】
作出不等式组21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩
所表示的可行域如下图所示：
联立1
y x x y =⎧⎨+=⎩，得12x y ==，可得点11,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由2z x y =+得12y x z =-
+，平移直线12
y x z =-+， 当该直线经过可行域的顶点A 时，该直线在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即min 1132222
z =
+⨯=. 故选：D.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
11、A
【解析】 运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,按四个选项分别对
2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭对比，从而可选出正确答案. 【详解】
解：
1
sin 22cos2sin 22sin 22sin 22233y x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
sin 222sin 222sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
===-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
. 故选:A.
【点睛】
本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.
12、A
【解析】
利用平面向量平行的坐标条件得到参数x 的值.
【详解】
由题意得，()22,5b a x x -=+-， ()2//b a a -，
()2250x x ∴++-=， 解得13
x =
. 故选A.
【点睛】
本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3
【解析】
由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，
如图所示，1,2,,//,AD BC SB x AD BC SB ===⊥平面,ABCD AD AB ⊥，
所以底面积为1(12)232
S =
⨯+⨯=， 几何体的高为x ，所以其体积为13333V x x =⨯⨯=⇒=．
点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
14、8π
【解析】
根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角P AC B --的平面角,再设出,AB BC 的长,
即可求出三棱锥P ABC -的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥P ABC -的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.
【详解】
如图所示：
过点P 作PE ⊥面ABC ,垂足为E ,过点E 作DE AC ⊥交AC 于点D ,连接PD .
则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角的补角,即有6cos PDE ∠=.
∵易证AC ⊥面PDE ,∴AC PD ⊥,而三角形PAC 为等边三角形, ∴D 为AC 的中点.
设,AB a BC b ==, AC c ==.
∴sin 2
c PE PD PDE c =⋅∠==. 故三棱锥P ABC -的体积为
223
111322*********
c c c a b c V ab abc ab +=⨯⨯==⨯≤⨯=
当且仅当2
a b ==时,3max 1243c V ==,即2a b c ===. ∴,,B D E 三点共线.
设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ,半径为R .
过点O 作OF PE ⊥于F ,∴四边形ODEF 为矩形.
则OD EF ==cos 3DE OF PD PDE ==∠==1PE =,
在Rt PFO 中,(2221R =+,解得22R =.
三棱锥P ABC -的外接球的表面积为248S R ππ==.
故答案为：8π．
【点睛】
本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.
15、17
【解析】
由已知求tan α，再利用和角正切公式，求得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭， 【详解】 因为3
52sin πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
，，，所以cos 43α54tan α=-=-，，
因此3
1π114tan α3417
14tan tan αα-
+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭+. 【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。

16
. 【解析】
利用正切的和角公式求得tan ACB ∠,再求得cos ACB ∠,利用余弦定理求得AB ,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.
【详解】
tan tan tan tan()1tan tan ACD BCD ACB ACD BCD ACD BCD ∠+∠∠=∠+∠==-∠∠1cos 4
ACB ∠=-，由余弦定理可知2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得4AB =.根据“三斜求积术”可得
22222221423135424216S ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
，所以4S =. 【点睛】
本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1m =,函数()f x 的单调递增区间为263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣
⎦，，；（2）122b c <<. 【解析】
（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出m 的值，再结合正弦型函数的性质求出函数()f x 的单调递增区间;
（2）由（1）结合已知()0f A =，可以求出角A 的值，通过正弦定理把问题b
c 的取值范围转化为两边对角的正弦值
的比值的取值范围，结合已知ABC ∆是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出
b c 的取值范围.
【详解】
解：（1）(
)21cos 2cos f x x x x m =--+
)
2cos22sin2
6
x x m x m
π
⎛⎫
=-++=-++
⎪
⎝⎭
由已知23
m
+=，所以1
m=
因此()2sin21
6
f x x
π
⎛⎫
=-++
⎪
⎝⎭
令
3
222
262
k x k k Z
πππ
ππ
+≤+≤+∈
，
得
2
63
k x k k Z
ππ
ππ
+≤≤+∈
，
因此函数()
f x的单调递增区间为
2
63
k k k Z
ππ
ππ
⎡⎤
++∈
⎢⎥
⎣⎦
，，
（2）由已知2sin210
6
A
π
⎛⎫
-++=
⎪
⎝⎭
，∴
1
sin2=
62
A
π
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
由0
2
A
π
<<得
7
2
666
A
πππ
<+<，因此
5
2
66
A
ππ
+=
所以
3
A
π
=
1
sin sin
sin1
32
sin sin sin2tan2
C C C
b B
c C C C C
π⎛⎫
++
⎪
⎝⎭
====+
因为为锐角三角形ABC
∆，所以
2
2
32
C
B C
π
ππ
⎧
<<
⎪⎪
⎨
⎪<=-<
⎪⎩
，解得
62
C
ππ
<<
因此tan C>，那么
1
2
2
b
c
<<
【点睛】
本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.
18、（1）
9
4
；（2）见解析
【解析】
（1）利用乘“1”法，结合基本不等式求得结果.
（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，证明即可.
【详解】
（1）因为4a b += ，所以141414544a b b a a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因为00a b >>， ，所以44b a a b + （当且仅当4b a a b = ，即48,33
a b == 时等号成立）， 所以14195(54)444b a a b ⎛⎫++⨯+= ⎪⎝⎭ （2）证明：2222111141122
a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝
⎭+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为4a b += ，所以
1111111()2(22)1444a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故2211252
a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ （当且仅当2a b == 时，等号成立） 【点睛】 本题考查了基本不等式的应用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理论证能力，属于中档题.
19、（1）分布列见解析，27.75EX =；（2）0.8575
【解析】
（1）根据题目所给数据求得分布列，并计算出数学期望.
（2）根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式，计算出刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.
【详解】
（1）X 的分布列如下：
200.15250.30300.40350.1527.75EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.
（2）设1X ，2X 分别表示讲座前、讲座后加工该零件所需时间，事件A 表示“留师傅讲座及加工两个零件示范的总时间不超过100分钟”，
则()()()111260160P A P X X P X X =+≤=-+>
()()()121212130,3535,3035,35P X X P X X P X X ⎡⎤=-==+==+==⎣⎦
()210.40.150.40.150.150.8575=-⨯+⨯+=.
【点睛】
本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查对立事件概率计算，考查相互独立事件概率计算，属于中档题.
20、（1
）2y =
-，24y x =；（2）12 【解析】
(1)利用代入法消去参数可得到直线l 的普通方程，利用公式cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩可得到曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线DE
的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，（t 为参数）， 代入24y x =
得20t +-=，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.
【详解】
（1）由题意得点A
的直角坐标为
)，将点A
代入4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，
得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩， 则直线l
的普通方程为2y =
-. 由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =.
故曲线C 的直角坐标方程为2
4y x =. （2）设直线DE
的参数方程为212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，（t 为参数）， 代入2
4y x =
得20t +-=．
设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t
．则12t t +=-
12t t =-120,0t t ><. 1212121211111112
t t PD PE t t t t t t +∴-=-=+==． 【点睛】
参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相
应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222
tan x y y x
ρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
21、（1
）CD =
（2
）6
【解析】
（1）运用三角形面积公式求出BD 的长度，然后再运用余弦定理求出CD 的长.
（2）运用正弦定理分别表示出sin ACD ∠和sin DCB ∠，结合已知条件计算出结果.
【详解】
（1
）由1sin 4512BCD S BC BD BD =⋅⋅︒==⇒=△在BDC 中，由余弦定理可得
2222cos454242CD BC BD BC BD CD =+-⋅⋅︒=+-=⇒=（2）由已知得3BD AD =
在ADC 中，由正弦定理可知
sin sin sin sin 2CD AD A AD AD ACD A ACD CD CD ⋅=⇒∠==∠ 在BDC
中，由正弦定理可知sin sin sin sin CD BD B BD BCD B BCD CD ⋅=⇒∠==∠
故sin sin AD
ACD BCD ∠====∠ 【点睛】
本题考查了正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理，结合三角形熟练运用各公式是解题关键，此类题目是常考题型，能够运用公式进行边角互化，需要掌握解题方法.
22、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1
）利用均值不等式a b c ++≥即可求证；
（2）利用
()214
ab a b ≤+，结合1abc =，即可证明. 【详解】
（1
）∵211a a a +=++≥
21b +≥
21c +≥
∴()()()21212127a b c +++≥=.
（2）∵()22224a b a ab b ab +=++≥，∴()214
ab
a b ≤+. 同理有()
214ac a c ≤+，()214bc b c ≤+. ∴()
()()2221
11a b c b a c c a b +++++ ()
()()222abc
abc abc a b c b a c c a b =+++++ ()()()222bc
ac ab b c a c a b =
+++++ 11134444
≤++=. 【点睛】
本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及1的妙用，属综合性中档题.。