2019届高考数学(理)人教B版 一轮复习考点探究课件：第一章 第二节 命题与量词、基本逻辑联结词

1．注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的 含义显现量词，再进行否定； 2．注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且” 的否定为“或”．
[小题纠偏] 1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________． 答案：存在两个全等三角形的面积不相等
2．命题“若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0”，其否定为________． 答案：若 ab＝0，则 a≠0 且 b≠0
(2)∵“p∧q”为真命题，∴p、q 都为真命题， ∴a1≤ ≤2a， ≤5 ⇒1≤a≤2. ∵a2－2m＋12a＋mm＋12＞0， ∴(a－m)a－m＋12＞0， ∴a＜m 或 a＞m＋12，
解析：由 x30＜x20，得 x20(x0－1)＜0，解得 x0＜0 或 0＜x0＜1，在
这个范围内没有自然数，∴命题 p 为假命题；∵对任意的 a∈
(0,1)∪(1，＋∞)，均有 f(2)＝loga1＝0，∴命题 q 为真命题．
5．下列四个命题：
p1：对任意 x∈R，都有 2x＞0； p2：存在 x∈R，使得 x2＋x＋1＜0； p3：对任意 x∈R，都有 sin x＜2x； p4：存在 x∈R，使得 cos x＞x2＋x＋1. 其中的真命题是( )
即时应用
设 p：实数 a 满足不等式 3a≤9，q：函数 f(x)＝13x3＋33－ 2 ax2 ＋9x 无极值点． (1)若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数 a 的取值 范围； (2)已知“p∧q”为真命题，并记为 r，且 t：a2－2m＋12a＋ mm＋12＞0，若 r 是綈 t 的必要不充分条件，求正整数 m 的值．
A．p1，p2 C．p3，p4
B．p2，p3 D．p1，p4
解析：由指数函数的性质可知 p1 为真命题；∵x2＋x＋1＝ x＋122＋34＞0 恒成立，∴p2 为假命题； ∵sin－32π＝1＞2－32π，∴p3 为假命题；∵当 x＝－12时， cos x＞cosπ6＝ 23＞－122＋－12＋1， ∴p4 为真命题．故选 D.
第一章 集合与常用逻辑用语 第二节 命题与量词、基本逻辑联结词
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高考·导航
1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
主干知识 自主排查
答案：D
6．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，则 k 的取 值范围是__(－__4,_0]___． 解析：“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，当 k＝0 时， 则有－1＜0；当 k≠0 时，则有 k＜0 且 Δ＝(－k)2－4×k×(－ 1)＝k2＋4k＜0，解得－4＜k＜0，综上所述，实数 k 的取值范 围是(－4,0]．
2．基本逻辑联结词 (1)命题中的 且 、 或 、 非 叫做逻辑联结词． (2)命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断
p q p且q p或q 非p
真真 真
真假
真假 假
真假
假真 假
真
真
假假 假 假
真
[必记结论] 1．真值表中“p 且 q”全真才真，“p 或 q”全假才假． 2．“或”“且”联结词的否定形式：“p 或 q”的否定是“非 p 且非 q”；“p 且 q”的否定是“非 p 或非 q”．
为真命题，故选 C. 答案：C
[典例] (2018·济南模拟)给定命题 p：对任意实数 x，都有 ax2
＋ax＋1＞0 成立；命题 q：关于 x 的方程 x2－x＋a＝0 有实数 根，若 p∧q 为真，则 a 的取值范围是__[_0_，__14_]_． 当 p 为真命题时，对任意实数 x 都有 ax2＋ax＋1＞0 成立⇔a
解析：(1)若 p 为真，则 3a≤9，得 a≤2. 若 q 为真，则函数 f(x)无极值点，∴f′(x)＝x2＋3(3－a)x＋9≥0 恒成立， 得 Δ＝9(3－a)2－4×9≤0，解得 1≤a≤5. ∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题， ∴p 与 q 只有一个命题是真命题． 若 p 为真命题，q 为假命题，则aa≤ ＜21， 或a＞5 ⇒a＜1； 若 q 为真命题，p 为假命题，则a1＞ ≤2a， ≤5 ⇒2＜a≤5. 综上，实数 a 的取值范围为{a|a＜1 或 2＜a≤5}．
3．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈 p(x0)
∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，綈 p(x)
[必记结论] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成 含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错．
[小题诊断]
1．命题“∃x0≤0，x20≥0”的否定是( A )
∴14＜a＜4；若
p
假
q
a＜0或a≥4， 真，则有a≤14，
∴a＜0.
故实数 a 的取值范围为(－∞，0)∪14，4. 答案：(－∞，0)∪14，4
思维升华
根据复合命题的真假求参数范围的步骤： (1)先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围； (2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时 不一定只有一种情况)； (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围．
＝0 或aΔ＞＜00，，
∴0≤a＜4.
当 q 为真命题时，关于 x 的方程 x2－x＋a＝0 有实数根⇔Δ＝1
－4a≥0，∴a≤14. p∧q 为真时，0≤a≤14.
[变式探究 1] 若 p∨q 为真，问题不变．
由本例中知 p∨q 为真，分三种情况： ①p 真 q 假；②p 假 q 真；③p、q 均为真，
断时，都可先判断其否定的真假．
[典例] (1)(2017·高考山东卷)已知命题 p：∀x＞0，ln(x＋1) ＞0；命题 q：若 a＞b，则 a2＞b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．p∧綈 q
C．綈 p∧q
D．綈 p∧綈 q
(2)已知命题 p：若 a＜b，则 ac2＜bc2；命题 q：∃x0＞0，使得 x0－1－ln x0＝0，则下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．p∨(綈 q)
核心考点 互动探究
题组练通
1．(2018·西安质检)已知命题 p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( B ) A．p 是假命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 B．p 是假命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0 C．p 是真命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 D．p 是真命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0 ∵3x＞0，∴3x＋1＞1，则 log2(3x＋1)＞0，∴p 是假命题：綈 p：
C．(綈 p)∧q
D．(綈 p)∧(綈 q)
解析：(1)∵∀x＞0，x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞0，∴命题 p 为真 命题；当 b＜a＜0 时，a2＜b2，故命题 q 为假命题，由真值表 可知 B 正确，故选 B.
(2)依题意，对于 p，注意到当 c＝0 时，ac2＝bc2，因此命题 p 是假命题；对于 q，注意到当 x0＝1 时，x0－1－ln x0＝0，因此 命题 q 是真命题，命题綈 q 是假命题，p∧q 是假命题，p∨(綈
A．p∧(綈 q)
B．(綈 p)∧q
C．p∧q
D．(綈 p)∨q
解析：对于命题 p，当 x0＝4 时，x0＋x10＝147＞3，故命题 p 为 真命题；对于命题 q，当 x＝4 时，24＝42＝16，即∃x0∈(2， ＋∞)，使得 2x0＝x20成立，故命题 q 为假命题，所以 p∧(綈 q)
为真命题，故选 A. 答案：A
2．已知函数 f(x)＝2mx－，xx2＜，0x，≥0， 给出下列两个命题： 命题 p：若 m＝14，则 f[f(－1)]＝0； 命题 q：∃m∈(－∞，0)，方程 f(x)＝0 有解． 那么，下列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．(綈 p)∧q
C．p∧(綈 q)
D．(綈 p)∧(綈 q)
1．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词，用“ ∀ ”表示；含有全称量词的命题叫做全称 命题． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常 叫做存在量词，用“ ∃ ”表示；含有存在量词的命题叫做 特称命题．
[必记结论] 1．判定全称命题为真，需证明对任意 x∈M，p(x)恒成立；判 定全称命题为假，我们只需找到一个 x∈M，使 p(x)不成立即 可． 2．判定特称命题为真，只需找到一个 x∈M，使 p(x)成立即可； 判定特称命题为假，需证明对任意 x∈M，p(x)均不成立．
0≤a＜4， 即a＞14
a＜0或a≥4， 或a≤14
∴a＜4.
答案：(－∞，4)
0≤a＜4， 或a≤14.
[变式探究 2]
若 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，问题不变．
∵p∨q 为真命题，p∧q 为假命题， ∴p，q 一真一假．
∴若 p 真 q 假，则有 0≤a＜4，且 a＞14，
可得綈 p：∃x0＞0，使得(x0＋1)eex0≤1.故选 B.
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全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称 真假
判断方法一
判断方法二
全称 真 所有对象使命题真 否定为假
命题 假 存在一个对象使命题假 否定为真
特称 真 存在一个对象使命题真 否定为假
命题 假 所有对象使命题假 否定为真
注意 无论是全称命题还是特称命题，若其真假不容易正面判
A．∀x≤0，x2＜0
B．∀x≤ห้องสมุดไป่ตู้，x2≥0
C．∃x0＞0，x20＞0
D．∃x0＜0，x20≤0
2．已知命题 p：对任意 x∈R，总有|x|≥0； q：x＝1 是方程 x＋2＝0 的根． 则下列命题为真命题的是( )
A．p∧綈 q
B．綈 p∧q
C．綈 p∧綈 q D．p∧q
解析：由题意知命题 p 是真命题，命题 q 是假命题，故綈 p 是
成立，故命题 q 是假命题．所以 p∨q 为假．
4．(2018·唐山模拟)已知命题 p：∃x0∈N，x30＜x20；命题 q：
∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数 f(x)＝loga(x－1)的图象过点(2,0)， 则( A )
A．p 假 q 真
B．p 真 q 假
C．p 假 q 假
D．p 真 q 真
∀x∈R，log2(3x＋1)＞0.故应选 B.
2．已知命题 p：∀x＞0，总有(x＋1)ex＞1，则綈 p 为( B ) A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1 B．∃x0＞0，使得(x0＋1) ex0≤1 C．∀x＞0，使得(x＋1)ex≤1 D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤1 由全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈 p(x0)”，
假命题，綈 q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可
知 p∧綈 q 是真命题． 答案：A
3．已知命题 p：“x＞3”是“x2＞9”的充要条件，命题 q：“a2 ＞b2”是“a＞b”的充要条件，则( D )
A．p∨q 为真
B．p∧q 为真
C．p 真 q 假
D．p∨q 为假
解析：由 x＞3 能够得出 x2＞9，反之不成立，故命题 p 是假命 题；由 a2＞b2 可得|a|＞|b|，但 a 不一定大于 b，反之也不一定
解析：若 m＝14，则 f[f(－1)]＝f 12＝0，故命题 p 为真命题．当 x＜0 时，f(x)＝2x＞0；当 x≥0 时，若 m＜0，则 f(x)＝m－x2 ＜0.故∀m∈(－∞，0)，方程 f(x)＝0 无解，所以命题 q 为假命 题．所以 p∧q，(綈 p)∧q，(綈 p)∧(綈 q)为假命题，p∧(綈 q)
q)是假命题，(綈 p)∧q 是真命题，(綈 p)∧(綈 q)是假命题，综
上所述，选 C. 答案：(1)B (2)C
思维升华
判断含有逻辑联结词命题真假的 2 个步骤 (1)先判断简单命题 p，q 的真假． (2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.
即时应用
1．(2018·安庆模拟)设命题 p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋x10＞3；命 题 q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，则下列命题为真的是( )