解三角形-2017年高考数学(文)母题题源系列(新课标1专版)含解析

专题五解三角形
【母题来源一】【2017全国卷1文数11】
【母题原题】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin sin(sin cos)0
B A
C C
+-=，a=2，c=2，则C=
A．π
12B．π
6
C．π
4
D．π
3
【答案】B
【考点】解三角形
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的
一次式时，则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到．
【母题来源二】【2016全国卷1文数4】
【母题原题】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、
c.已知
a =
2c =，2
cos 3
A =
，则b=
（
（B
（C ）2 （D ）
3
【答案】D 【解析】
试题分析：由余弦定理得3222452
⨯
⨯⨯-+=b b ，解得3=b （3
1
-=b 舍去），选D.
【考点】余弦定理
【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一，根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程，再通过解方程求b .运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记! 【母题来源三】【2015全国卷1文数17】
【母题原题】已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，
2sin 2sin sin B A C =。

(I)若a b =，求cos ;B (II ）若
90B =,且a =
求ABC ∆的面积。

【答案】(I ）14
（II)1
试题解析:（I ）由题设及正弦定理可得2
2b ac .
又a
b ,可得2b
c ,2a
c ,
由余弦定理可得222
1
cos 24
a c
b B ac。

（II)由(1）知2
2b ac .
因为B 90°，由勾股定理得2
2
2a
c b 。

故2
2
2a
c ac ，得2c
a
.
所以ABC 的面积为1.
【考点定位】正弦定理;余弦定理；运算求解能力
【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题.
【命题意图】考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，考查三角函数中同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差三角函数公式、二倍角公式在恒等变形中的应用，考查化简变形能力、数形结合思想、等价转换思想。

【命题规律】解三角形是高考的必考内容,重点是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，考题灵活多样，选择题、填空题和解答题都有考到，难度中低中档题均有。

以求边长、求角（三角函数值）或研究三角形的面积为目标,往往是利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式进行有效的边角转换,利用和差倍半的三角函数公式，对等式进行恒等变形，有时会结合角的范围，研究三角函数式的取值范围等.
【答题模板】
（1）通过正弦定理实施边角转换；
（2)通过余弦定理实施边角转换;
(3)通过三角变换找出角之间的关系；
(4）通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；
（5）若涉及两个（或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理,有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解。

【方法总结】
1。

三角形中判断边、角关系的具体方法：
（1）通过正弦定理实施边角转换；
(2）通过余弦定理实施边角转换;
(3）通过三角变换找出角之间的关系;
（4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论;
(5）若涉及两个（或两个以上）三角形,这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组）求解。

2。

三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B)＝sin C，sin错误!＝cos 错误!等，利用“大边对大角"可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数。

3。

如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的,其解是唯一的；已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性.
4. 在解决三角形的问题中，面积公式
B ac A bc
C ab S sin 2
1
sin 21sin 21===
最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来。

1．【2017甘肃二诊】已知ABC ∆的三角形,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的是（ ）
①1,2,a b c Z ==∈；②150A =，
sin sin 2sin sin a A c C a C b B ++=；③5a =，
2b =, 30
A =；④60C =， ()cos sin cos cos cos cos 0A
B
C B C B C ++=．
A 。

①③ B. ①②③ C. ①② D。

②③④ 【答案】A
2．【2017湖南娄底二模】在ABC 中，角A ， B , C 的对边分
别是,,，已知45b =， 5c =，且2B C =，点D 为边BC 上一点,且
3CD =，则ADC 的面积为__________．
【答案】6
【解析】由正弦定理得
54545
sin sin 2sin cos C B C C ==
,可得2cos 5
C =，从而
11
345625
ABC S ∆=⨯⨯⨯=
3.【2017重庆二诊】设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,
若ABC ∆的面积为
222
43
a b c +-，则C =__________．
【答案】30︒
4。

【2017安徽马鞍山三模】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ，
C
的对边分别为，，，且()()()sin sin sin sin c b C B a A B +-=-．若23c =，则22a b +的取值范围是___．
【答案】(]20,24
【解析】根据正弦定理,边角互化后可得
()()()2
2
2c b c b a a b c
b a ab +-=-⇒-=-
，
2221cos 22a b c C ab +-==,解得3C π
=
，
又根据正弦定理，
4
2sin sin sin 3a
b c
A
C A π===⎛⎫- ⎪⎝⎭
，所以
24sin ,4sin 3a A b A π⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
，所以
2222216sin 16sin 3a b A A π⎛⎫
+=+- ⎪⎝⎭
41cos 21cos21331616168cos2sin2168cos 222223A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪=+⨯=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
，因为ABC ∆是锐角三角形，所以24,,2,623
33A A πππππ⎛⎫⎛⎫
∈∴+∈ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以1cos 21,32A π⎛⎫⎡⎫+∈-- ⎪⎪⎢⎝
⎭⎣
⎭
，那么(]168cos 220,243A π⎛⎫-+∈ ⎪⎝
⎭
，
故填： (]20,24 . 5.【2017四川南充三诊】已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知
2cos cos .c c A a C -=
（Ⅰ）求b c
的值 （Ⅱ）若21,3b c α+=
+=，求ABC ∆的面积.S
【答案】（Ⅰ）2
b c
=
;（Ⅱ）
2
2。

【解析】试题分析:（Ⅰ）根据正弦定理化简已知等式,利用两角和与差的展开式以及内角和为π即可求出;（Ⅱ）分别求出,b c ，可得ABC ∆为直角三角形，进而求出三角形的面积。

（Ⅱ)由(Ⅰ）可得2b c =
，联立21
{2b c b c
+==,解得2,1b c ==.由
222213b c a +=+==，得ABC ∆为直角三角形，所以112
21222
S bc =
==
6. 【2017福建漳州5月质检】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中b c ≠，且cos cos b B c C =，延长线段BC 到点D ,使得
4430BC CD CAD ==∠=︒，。

（Ⅰ)求证: BAC ∠是直角;
（Ⅱ)求tan D ∠的值。

【答案】(1）详见解析；(2)32
【解析】 证明：
（Ⅰ）因为cos cos b B c C =
由正弦定理，得sin cos sin cos B B C C =， 所以sin2sin2B C =，又b c ≠, 所以22B C π=-， 所以2
B C π+=,
所以90A ∠=︒， 即BAC ∠是直角.
7。

【2017河北唐山三模】在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为，，, cos
-=.
a b b C
（1）求证：sin tan
C B
=；
（2）若1
b=,求.
a=，2
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）7
【解析】
（Ⅰ）由cos
-=，
A B B C
a b b C
-=根据正弦定理得sin sin sin cos
即()
sin sin sin cos
+=+,
B C B B C
=，得sin tan
=．
C B B
C B
+=+，sin cos sin
sin cos cos sin sin sin cos
B C B C B B C
（Ⅱ）由cos
a=, 2
b=，得1
-=，且1
a b b C
C=-，
cos
2
由余弦定理,
22212cos 1421272c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
， 所以7c =． 8.【2017陕西汉中二模】在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,且3bsinA acosB =
（1)求角B 的大小
（2)若b ＝3，sinC=2sinA,求a 、c 的值及△ABC 的面积
【答案】（1)3B π=（2）3
32 9。

【2017新疆乌鲁木齐三模】ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C +++=。

（Ⅰ）求C 的大小；
（Ⅱ）若3c =，求ABC ∆周长的最大值.
【答案】（Ⅰ）23C π=；（Ⅱ） 23
【解析】试题分析:（Ⅰ）由正弦定理可得222a b c ab +-=-，再
根据余弦定理得结果;（Ⅱ）根据正弦定理可得
2sin 2sin 2sin 2sin 3l a b c A B A A π⎛⎫=++=++=+-+ ⎪⎝⎭
的正弦公式化简,根据三角函数的有界性求解。

试题解析：（Ⅰ)由已知，得()()222222a b c a b b a c R R R
+⋅
++⋅=⋅，即222a b c ab +-=-， ∴2221cos 22a b c C ab +-==-,∴23C π=；
（Ⅱ)∵c =
sin sin a b A B ==，∴2sin ,2sin a A b B ==。

设周长为,
则2sin 2sin 2sin 2sin 3l a b c A B A A π⎛⎫=++=++
=+-+ ⎪⎝⎭
2sin 2sin cos 2cos sin sin 33A A A A A π
π
=++=+
2sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭∵03A π<<
,∴2sin 3A π⎛⎫<+ ⎪⎝
⎭, ∴ABC ∆
周长的最大值为2+
10。

【2017湖南岳阳二模】在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分
别为,,a b c ，且满足2cos 3b C a c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭
. (1)求角B 的大小；
（2
）若b =ac 的取值范围.
【答案】（1)3B π=（2)(]·2,3a c ∈
(2）∵3,3b B π
==，∴由正弦定理有：
2sin sin sin a c b A C B ===, ∴由正弦定理有:
2sin sin sin a c b A C B ===, ∴2sin ,2sin ,?4sin sin a A c C a c A C ===， ∵3B π=，∴23
C A π=-， ∴231·4sin sin 4sin sin 32a c A A A A A π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2232sin 32122216sinAcosA A sin A cos A sin A π=+=+-⎛⎫=-= ⎪⎝
⎭
∵ABC ∆为锐角三角形,∴20,,0,232A C A πππ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴52,666A πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
,
∴(] a c∈。

·2,3。