2020-2021学年四川省绵阳市某校高一上数学周测数学试卷(有答案)

2020-2021学年四川省绵阳市某校高一上数学周测数学试卷
一、选择题
1. 已知集合A={x|−1≤x≤5,x∈N}，B={x|2x≤8}，则A∩B=（）
A.{−1,0,1,2,3}
B.{0,1,2,3}
C.[−1,3]
D.[0,3]
2. 已知函数f(x)=a2x−6+3(a>1)的图象过定点A，且点A在角θ的终边上，则tanθ的值为（）
A.4 3
B.3
4
C.4
5
D.3
5
3. 函数f(x)=ln(x2−4x−21)的单调递减区间为（）
A.(−∞,2)
B.(−∞,−3)
C.(2,+∞)
D.(7,+∞)
4. 若f(x)=(lg m+1)x m−1
2为幂函数，则f(3)=（）
A.9
B.1
9C.√3 D.√3
3
5. 已知函数f(x)=sin(5x+φ)(0≤φ≤π)为偶函数，则函数g(x)=2cos(2x−1
3
φ)
在[0,5π
12
]上的值域为（）
A.[−1,√3]
B.[−1,2]
C.[−2,2]
D.[−√3,2]
6. 在△ABC中，已知cos A=1
2
，则sin A=()
A.1 2
B.±√3
2
C.−√3
2
D.√3
2
7. 已知函数f(x)=2cos2x−1+4sin x，则f(x)的最大值为（）
A.3
B.1
C.3
2
D.−3
8. 已知cos(−π
6+α)=−5
13
，则cos(7π
6
−α)=（）
A.−5
13B.5
13
C.12
13
D.−12
13
9. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=1
2
(弦×矢+矢2)，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所
围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角
为2π
3
，半径等于4米的弧田．下列说法不正确的是（）
A.“弦” AB=4√3米，“矢”CD=2米
B.按照经验公式计算所得弧田面积(4√3+2)平方米
C.按照弓形的面积计算实际面积为(16π
3
−2√3)平方米
D.按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据√3≈
1.73,π≈3.14)
10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)上是增函数．令a=
f(sin2π
7)，b=f(cos5π
7
)，c=f(tan5π
7
)，则（）
A.b<a<c
B.c<b<a
C.b<c<a
D.a<b<c
二、填空题
奇函数f(x)对任意实数x都有f(x+2)=−f(x)成立，且0≤x≤1时，f(x)=2x−1，则f(log
2
11)=________.
三、解答题
已知函数f(x)=2cos(ωx+π
6
)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的单调增区间和对称轴；
(2)若x∈[−π
6,π
3
]，求f(x)的最大值和最小值．
已知函数f(x)=lg(2−x)+√x+1的定义域为A.
(1)求A；
(2)设集合B={x|a2x−7>a4x−a(a>0，且a≠1)}，若A∩B=⌀，求实数a的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市某校高一上数学周测数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
先化简集合A，B，再求A∩B即可 .
【解答】
解：由题可知A={x|−1≤x≤5,x∈N}={0,1,2,3,4,5}，
B={x|2x≤8}={x|x|x≤3}，
故A∩B={0,1,2,3} .
故选B .
2.
【答案】
A
【考点】
指数函数的单调性与特殊点
任意角的三角函数
【解析】
采用整体法和函数图像平移法则即可求解 .
【解答】
解：f(x)=a2x−6+3(a>1)，令2x−6=0⇒x=3，
则此时f(3)=a0+3=4，
则函数过定点A(3,4)，
.
则tan A=4
3
故选A .
3.
【答案】
B
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
先求函数的定义域，再根据复合函数同增异减的性质即可求解 .
【解答】
解：由题可知，x2−4x−21>0⇒(x−7)(x+3)>0⇒x>7或x<−3，
f(x)=ln(x2−4x−21)可看作f(t)=ln t,t=x2−4x−21，则f(t)为增函数，
t=x2−4x−21，当x∈(−∞,−3)时，t单调递减，当x∈(7,+∞)时，t单调递增，根据复合函数的增减性，当x∈(−∞,−3)时，f(x)=ln(x2−4x−21)为减函数，故选B .
4.
【答案】
C
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
由幂函数的性质可求参数Ⅲ和幂函数表达式，将x=3代入即可求解 . 【解答】
解：f(x)=(lg m+1)x m−1
2为幂函数，
则lg m+1=1⇒m=1，
则f(x)=x 1 2，
则f(3)=√3.
故选C .
5.
【答案】
B
【考点】
函数的值域及其求法函数奇偶性的性质
【解析】
由函数为偶函数可得φ=π
2+kπ,k∈Z，可求印值，再采用整体法求出2x−1
3
φ在[0,5π
12
]
的范围．结合函数图像即可求解值域 .
【解答】
解：因为函数f(x)=sin(5x+φ)为偶函数，故φ=π
2
+kπ,k∈Z，
又0≤φ≤π，
故φ=π
2
，
则g(x)=2cos(2x−π
6
)，
当x∈[0,5π
12]时，令t=2x−π
6
∈[−π
6
,2π
3
]，
当t=2π
3时，函数取得最小值．g(x)min=2cos2π
3
=−1，
当t=0时，g(x)max=2cos0=2，故函数的值域为[−1,2] .
故选B .
6.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
由cos A的值，及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin A的值即可．【解答】
解：∵△ABC中，cos A=1
2
，A∈(0,π)，
∴sin A=√1−cos2A=√3
2
，
故选D．
7.
【答案】
A
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
首先把函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步利用三角函数的值域求出结果．【解答】
解：函数f(x)=2cos2x−1+4sin x=2(1−sin2x)−1+4sin x=−2(sin x−1)2+3≤3，
当sin x=1时f(x)有最大值3.
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
首先表示角的变换7
6π−α=π−(−π
6
+α)，然后利用诱导公式求值．
【解答】
解：∵−π
6+α+7
6
π−a=π，
∴7
6π−a=π−(−π
6
+α)，
∴cos(7
6π−α)=cos[π−(−π
6
+α)]=−cos(π
6
+α)=5
13
.
故选B .
9.
【答案】
C
【考点】
弧长公式
在实际问题中建立三角函数模型
扇形面积公式
【解析】
运用解直角三角形可得AB，DO，可得弦、矢的值，以及弧田面积，运用扇形的面积公式和三角形的面积公式，可得实际面积，计算可得结论．
【解答】
解：由题意可得∠AOB =
2π3
,OA =4，
在Rt △AOQ 中，可得∠AOD =π
3，∠DAO =π
6， OD =1
2AO =1
2×4=2， 可得矢=4−2=2，由AD =AO sin π
3=4×√32
=2√3，
可得弦=2AD =4√3，
所以弧田面积=1
2（弦×矢+矢2）=12(4√3×2+22)=4√3+2平方米． 实际面积=12⋅
2π
3⋅42−12⋅4√3⋅2=
16π3
−4√3，
16π3
−8√3−2=0.90≈0.9 .
可得A ，B ，D 正确；C 错误． 故选C ． 10. 【答案】 A
【考点】 三角函数线 诱导公式 【解析】
运用诱导公式对cos
5π7
，tan
5π7
进行化简，再根据单位圆中三角函数线进行大小排序，
通过函数的单调性求解. 【解答】 解：cos
5π7
=−cos
2π7
，tan
5π7
=−tan
2π7
．
f (x )为R 上的偶函数， 所以b =f (cos
2π
7
)，c =f (tan 2π7
)，
由单位圆中三角函数线知cos 2π7
<sin 2π7
<tan
2π7
，
因为f (x )在[0,+∞)上是增函数，
所以b <a <c ． 故选A .
二、填空题 【答案】
−511
【考点】
指数式与对数式的互化 函数的周期性 【解析】
易得函数周期为4，则f(log 211)=f(log 211−4)=f (log 211
16)，结合函数为奇函数，
可得f(log
211
16
)=f(−log
2
16
11
)=−f(log
2
16
11
)，再由0<k<1时，f(x)=2x−1即可求
解 .
【解答】
解：f(x+2)=−f(x)⇒f(x+4)=−f(x+2)=f(x)⇒T=4，
则f(log
211)=f(log
2
11−4)=f(log
2
11
16
)，
由f(log
211
16
)=f(−log
2
16
11
)=−f(log
2
16
11
)，log
2
16
11
∈[0,1]，
则−f(log
216
11
)=−(2log21611−1)=−5
11
.
故答案为：−5
11
.
三、解答题
【答案】
解：(1)由题意知T=π=2π
ω
，解得ω=2，
所以f(x)=2cos(2x+π
6
)，
令−π+2kπ≤2x+π
6
≤2kπ(k∈Z)，
解得−7
12π+kπ≤−π
12
+kπ(k∈Z)，
故函数的单调递增区间为[−7
12π+kπ,−π
12
+kπ](k∈Z)，
令2x+π
6
=kπ(k∈Z)，
解得x=−π
12+kπ
2
,k∈Z，
所以f(x)的对称轴为x=−π
12+kπ
2
(k∈Z) .
(2)因为x∈[−π
6,π
3
]，则2x+π
6
∈[−π
6
,5π
6
]，
所以当2x+π
6
=0时，f(x)max=2 .
当2x+π
6=5π
6
时，f(x)min=−√3，
所以x∈[−π
6,π
3
]时，f(x)max=2,f(x)min=−√3.
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数的单调性及单调区间
正弦函数的对称性
三角函数的最值
【解析】
（1）利用函数的最小正周期求出f(x)，利用余弦函数的单调增区间和对称轴求出答案 .
（2）利用x∈[−π
6,π
3
]，求出2x+π
6
x∈[−π
6
,5π
6
]，可得f(x)的最大值和最小值 .
【解答】
解：(1)由题意知T=π=2π
ω
，解得ω=2，
所以f(x)=2cos(2x+π
6
)，
令−π+2kπ≤2x+π
6
≤2kπ(k∈Z)，
解得−7
12π+kπ≤−π
12
+kπ(k∈Z)，
故函数的单调递增区间为[−7
12π+kπ,−π
12
+kπ](k∈Z)，
令2x+π
6
=kπ(k∈Z)，
解得x=−π
12+kπ
2
,k∈Z，
所以f(x)的对称轴为x=−π
12+kπ
2
(k∈Z) .
(2)因为x∈[−π
6,π
3
]，则2x+π
6
∈[−π
6
,5π
6
]，
所以当2x+π
6
=0时，f(x)max=2 .
当2x+π
6=5π
6
时，f(x)min=−√3，
所以x∈[−π
6,π
3
]时，f(x)max=2,f(x)min=−√3.
【答案】
解：(1)由2−x>0，解得：x<2，
由x+1≥0，解得：x≥−1，
故A={x|x<2}∩{x≥−1}={x|−1≤x<2}.
(2)当a>1时，函数y=a x在R上单调递增，
∵a2x−7>a4x−a，
∴ 2x−7>4x−a，即x<a−7
2
，
故B={x|x<a−7
2
}，
要使A∩B=⌀，则a−7
2
≤−1，解得：a≤5，故1<a≤5；当0<a<1时，函数y=a x在R上单调递减，
∵a2x−7>a4x−a，
∴ 2x −7<4x −a ，即x >a−72
，于是B ={x|x >
a−72
}，
要使 A ∩B =⌀，则
a−72
≥2，解得：a ≥11，与0<a <1矛盾，故a ∈⌀.
综上，实数a 的取值范围是(1,5]. 【考点】 不等式
函数的定义域及其求法 交集及其运算
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)由2−x >0，解得：x <2， 由x +1≥0，解得：x ≥−1，
故A ={x|x <2}∩{x ≥−1}={x|−1≤x <2}. (2)当a >1时，函数y =a x 在R 上单调递增， ∵ a 2x−7>a 4x−a ， ∴ 2x −7>4x −a ，即x <a−72
，
故B ={x|x <
a−72
}，
要使 A ∩B =⌀，则a−72
≤−1，解得：a ≤5，故1<a ≤5；
当0<a <1时，函数 y =a x 在R 上单调递减， ∵ a 2x−7>a 4x−a ， ∴ 2x −7<4x −a ，即x >a−72
，于是B ={x|x >
a−72
}，
要使 A ∩B =⌀，则
a−72
≥2，解得：a ≥11，与0<a <1矛盾，故a ∈⌀.
综上，实数a 的取值范围是(1,5].。