大物第五章

(2) mg T ma
rO
T F
mg

Fr 98 0.2 39.2 rad/s2 J 0.5
Tr J

mgr J mr 2
两者区别
a r
98 0.2 2 21 . 8 rad/s 0.5 10 0.22
例 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分别 系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。 求 滑轮角加速度， m1 和 m2的加速度 解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析 物体 m1：m1 g T1 m1a1 物体 m2： T2 m2 g m2 a2
1 2 1 J 0 J ml 3 2 3gsin 1/ 2 ( ) l
此题也可用机械能守恒定律方便求解
5.4
动量矩和动量矩守恒定律
5.4.1 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律
1. 质点的动量矩(对O点)
LO
LO r P r mv
合外力矩
Fk rk f k rk mk ak rk mk rk rk
k k k k
Fr f r
内力矩之和为0
( mk rk )
2
转动惯量 J
刚体绕定轴转动微分方程（刚体的转动定律）
M J
与牛顿第二定律比较： M F , J m, a
5.1 刚体和刚体的基本运动
5.1.1 刚体的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，所有质点间的距离始终保持不变 5.1.2 刚体的平动和定轴转动 1. 刚体的平动 刚体运动时，若在刚体内 所作的任一条直线都始终 保持和自身平行
5.3.1 绕定轴转动刚体的动能
Δm1 , Δm2 , , Δmk , , ΔmN r1 , r2 , , rk , , rN v1 ,v 2 , ,v k , ,v N Δmk 的动能为 1 1 2 Ek Δmkv k Δmk rk 2 2 2 2
Q:匀质圆盘绕中心轴转动
以下物理量分别为？
1 运动速度
2 运动动能 3 运动动量
第5章 刚体力学基础
本章内容：
5.1 刚体和刚体的基本运动 5.2 力矩
动量矩
刚体绕定轴转动微分方程 动能定理
5.3 绕定轴转动刚体的动能 5.4 动量矩和动量矩守恒定律
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R M L x
M O
O
刚体的总动能
1 1 2 E Ek Δmk rk 2 2 2
1 2 Δmk rk 2 J
2 2
结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其 角速度平方乘积的一半
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5.3.2 力矩的功
2

R
0
2m 3 1 2 r dr MR 2 2 R
匀质盘 圆柱体 环形（可以是非匀质）
O
一般常用的规则物体转动惯量： 匀质杆 球体
组合型——选择题3
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ห้องสมุดไป่ตู้ J r dm
2 V
M
l
r
R
m
M
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5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
2
dx
x
J 与转轴的位置有关 z M O dx
L 2
z
M x
L/2
L
L
O
2
dx
x
J 0
1 2 x dx ML 3
1 J L / 2x dx ML2 12
2
平行轴定理
J z' J z ML
z' L
z M C
J z' ⇒ 刚体绕任意轴的转动惯量 J z ⇒ 刚体绕通过质心的轴
an rM
2
刚体
dv a rM dt
如图，盘上A点的速度为50cm/s,加速度为150cm/s2,B 点速度为10cm/s,已知这两点到轮心的距离差为20cm ，求此时刻轮的角速度，角加速度以及B点的加速度
v rM
B
2
A
an rM
dv a rM dt
2 V
转动惯量主要由刚体相对于 转轴的质量分布决定
例1 匀质细棒绕端点轴转动惯量
J x dx
2 0
L

L
0
M x dx L
2
z M O dl dx L x
1 ML2 3
例2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J R dm R dm mR
2 2
R O m
2
思考： 匀质球壳绕直径轴旋转的转动惯量
_____
刚体转动
z
I
f (t ) (运动学方程) d f ' (t )
dt
d d 2 2 f " (t ) dt dt
P

II
绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度 任意点都绕同一轴作圆周运
动, 且 ， 都相同
z
v
ω,
O
rM M θ
v rM
F
O .
rF
指向由右螺旋法则确定
r

(2). 力 F 对z 轴的力矩
(力F 在垂直于轴的平面内)
z
r
F// F
F
M z ( F ) Fr sin
Fh rFτ
(力不在垂直于轴的平面内)
h
AF
n
F
M z ( F ) F r sin F h rFτ
转动定律的应用举例 例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N
M J
的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg· m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计， (见图)
求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳
端，试计算飞轮的角加速 解 (1) Fr J
5.3.3 转动动能定理 —— 合力矩功的效果
1 2 d dA Md ( J )d Jd d( J ) dEk 2 dt
对于一有限过程
A dA
1
2
2
1
1 2 1 1 2 d( J ) J2 J12 Ek 2 2 2
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在 该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这 就是绕定轴转动刚体的——动能定理
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例3 匀质圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
m 2mr dm ds 2 2πrdr 2 dr πR R
J dJ V
R
dr r
m

R
0
dm r
2

R
0
2m 3 1 2 r dr MR 2 2 R
dl
2 2
O
例2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量
LA d1mv LB d1mv
A
d1
m v
d3 C
d2 B
LC 0
2. 质点的动量矩定理 r F M v mv 0 dL d d(mv ) dr r mv r mv dt dt dt dt dL Mdt dL (质点动量矩定理的微分形式) M dt
其大小 S

P
r
O
LO rpsin mrvsin
特例：质点作圆周运动
惯性参照系
L rp rmv
质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关
例 一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考 点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3 求 此时刻质点对三个参考点的动量矩 解
t
• 根据功的定义
F rd
Md
dA F dr Fcosds
O

d
dr r' . r P
F
（力矩做功的微分形式）
对一段过程：
A Md
1
2
(1) 合力矩的功，等于各力矩作功之和 (2) 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。
刚体绕定轴转动微分方程
例题5.4： 阿特伍德机 1。力矩 2。转动惯量
MO r F
k
M J
F ma
M z ( F ) rFτ
2
J mk rk
J r dm
2 V
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例：细杆、圆环 、圆盘、球壳、 球体
J r dm
m

R
0
dm r
2

R
0
2m 3 1 2 r dr MR 2 2 R
O
J r dm
2 V
M
l
r
R
m
M
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刚体的运动可分解为平动和定轴转动
1。刚体的平动 2。刚体的转动 可看作质心运动
f (t )
f ' (t )
f "(t )
1 2
5.2.3 转动惯量 定义
J mk rk
k
2