2019-2020学年福建省三明市第一中学高二上学期第一次月考数学试题 (Word版)

3 0 0 0 0 1 + = y 2 - = + = - = + = 三明一中 2019-2020 上学年第一次月考
高二数学试题
考试时间：120 分钟
满分：150 分 一、选择题:本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。

其中第 1-8 题为单选题，第 9-10 题为多选题。

1．命题“ ∃x ∈ R ， x 3 - x 2 +1 > 0 ”的否定是 0 0 0 A ． ∀x ∈ R ， x 3 - x 2 +1≤0
B ． ∃x 0 ∈ R ， x 3 - x 2 +1< 0
C ． ∃x 0 ∈ R ， x 3 - x 2 +1≤ 0
D ． ∀x ∈ R ， x 3 - x 2 +1 > 0
2. 抛物线 x 2 = 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的距离为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3. l ，m 为直线，α 为平面，其中l ⊄ α, m ⊂ α 则“ l // α ”是“ l // m ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4. 双曲线mx 2 + y 2
= 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则m 等于
A. -
B. - 4 4 1
C.4
D. 4
2 5. 掷二枚均匀的股子得到的点数分别为m , n ，则“曲线
x y 1表示焦点在 x 轴上的椭圆”的概率为 m
n 1 5 1 7 A ．
B ．
C ．
D ． 3 12 2 12
x 2 6. 已知椭圆 a 2 2
+ = 1 (a > b > 0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，点 B 在椭圆上，且 BF ⊥ x 轴，直线 AB b 2
交 y 轴于点 P ．若 AP = 2PB ，则椭圆的离心率是
A.
B ． 2 2
1 1 C ． D ． 3
2 7．已知两圆C : (x - 4)2
+ y 2 = 169,C : (x + 4)2 + y = 9 ，动圆在圆C 内部且和圆C 相内切，和圆C 相 1 2 2 外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为
1 1 2
x 2 y 2
A. 1 64 48 x 2 y 2
B. 1 48 64 x 2 y 2
C. 1 48 64 x 2 y 2
D. 1 64 48
2
1 1
2 2 8．若 P , Q 分别为抛物线 x 2 = 4 y 与圆 x 2 + ( y - 3)2
= 1的动点，则 PQ 的最小值为
A ． 2 2 -1
B ． 2
C ． 2 3 -1
D ． 3
（第 9、10 题为多选题）
9. 以下几种说法正确的是
A. 平面上到一个定点与到一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线
B. 与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个交点
C. P 为椭圆上 x 2
+ y 3 π = 1一点， F 1.F 2 为椭圆的两焦点，则椭圆上能满足∠F 1PF 2 = 2 的点 P 共有 4 个。

x 2 y 2
D. 若双曲线 - a 2 b 2 = 1(a > 0, b > 0) 右支上存在一点 P ，使 PF 1 3 = 5 PF 2 ， F 1, F 2 分别为左右焦点， 则双曲线离心率e ∈ (1, ] 2
10.
AB 为过抛物线 y 2 = 2x 焦点 F 的一条弦，点 A , B 在抛物线上。

其中 A (x , y ), B (x , y ) ，以下说法
错误的是
A 以线段 A
B 为直径的圆必与抛物线的准线相切
B ．弦 AB 的最短长度为 2
C ． y 1 y 2 = -4
D ．当直线 AB 的斜率为 2 时，弦 AB 的中点坐标为(1,1)
二、填空题:本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. 抛物线 y = 4x 2
的焦点坐标是 *****
12. 分别以椭圆 x 2 y 2 = 12 3
1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为*****
13. 已知命题 p :
为*****
x - 3 < 2 ，命题q :
1 x - a > 0 。

命题⌝p 是⌝q 成立的必要不充分条件，则a 的取值范围
14. 圆 A 的圆心在 y 2 = 4x ( y > 0) 上，且和抛物线的准线及 x 轴都相切，则圆 A 的方程为*****
2
3 y x 15. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上， ∆ABC 三个顶点都在抛物线上，且∆ABC 的重心为抛物线的焦点，若 BC 所在的直线的方程为4x + y - 20 = 0 ，则抛物线方程为*****
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。

解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤.
16．（12 分）命题 p : 2 2 曲线 +
= 1为双曲线 命题 q : x 2 - mx + 1 > 0 的解集为 R , m m + 2 4
(1) 若命题 P 中 m = -1，求此双曲线的渐近线方程。

(2) 若 p ∧ q 为假命题， p ∨ q 为真命题，求m 的取值范围。

17．（12 分）直线l : y = 2x -1与抛物线 y 2
= 2 px ( p > 0) 交于 A , B 两点,且OA ⊥ OB ， O 为坐标原点，
（1） 求抛物线的方程 （2） 求直线l 被抛物线截得的弦长 AB
2
y 2 18．（12 分）椭圆C 与双曲线 x - = 1共焦点，且过点 M (1, 2 2 (1) 求椭圆C 的方程；
（2） 若 P 为椭圆上一点，且满足∠F PF = 600
, F , F 为焦点，求∆F PF 的面积。

1 2 1 2 1 2
19．（13 分）已知函数 f (x ) = 2x ，集合 A = {
x 1 ≤ x ≤ 2} ． （1） 记函数 f (x ) 在 A 上的值域为C ，若函数G (x ) = x 2
+ 2x + t ，x ∈[0,1] 的值域为 B ，且C B = B ， 求实数t 的取值范围；
（2） 若∀x ∈ A ,[ f (log 2x )]2 + 2af (log 2x
) + a > -5 恒成立，求实数a 的取值范围．
3 y x 2 20. （13 分）已知椭圆 a 2 动点， O 为坐标原点.
2 + = 1（ a > b > 0 ）过点 B (0,1) ，离心率为 b 2 2
，P , Q 是椭圆上异于点 B 的 （1） 求椭圆的标准方程；
（2） 若直线QB 与 x 轴交于点 N 且 BQ ∥ OP ，问是否存在实数λ ，使得 | BQ | | BN |= λ | OP |2 恒成立？若存在，求出λ 的值；若不存在，请说明理由.
21．（13 分）如图， A - B - C - D - E - F 是一个滑滑板的轨道截面图，其中 AB , DE , EF 是线段，
B -
C -
D 是一抛物线弧，点C 是抛物线的顶点；直线 D
E 与抛物线在 D 处相切，直线l 是地平线.已知点 B 离地面l 的高度是 9 米，离抛物线的对称轴距离是 6 米，直线 DE 与
l 的夹角是 45°.现以地平线l 为 x 轴，以点C 为原点建立如图的平面直
角坐标系.
（1） 求抛物线方程，并确定 D 点的坐标;
（2） 现将抛物线弧 B - C - D 改造成圆弧，要求圆弧经过点 B , D ，
且与直线 DE 在点 D 处相切，试判断圆弧与地平线l 的位置关系，并求
该圆弧长.。