湖南高二高中数学期中考试带答案解析

湖南高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.设，集合是奇数集，集合是偶数集.若命题：，，则（）
A．：，
B．：，
C．：，
D．：，
2.如果方程表示双曲线，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
3.命题“若，则且”的逆否命题是（）
A．若，则且
B．若，则或
C．若且，则
D．若或，则
4.已知具有线性相关的两个变量，之间的一组数据如表：
且回归线方程是，则（）
A．6.7B．6.6
C．6.5D．6.4
5.在正方体中，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A．B．
C．D．
6.已知为双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线距离为（）A．B．3
C．D．
7.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差（）A．B．3
C．D．
8.双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则（）
A．B．
C．2D．4
9.与圆及圆都外切的圆的圆心在（）
A．一个椭圆上B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上D．一个圆上
10.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为（）
A．B．C．D．
11.若，为实数，则“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12.柜子里有3双不同的鞋，随机取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成对的概率是（）A．B．
C．D．
13.双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，点在第一象限内且在上，若，，则该双曲线的离心率为（）
A．B．
C．D．2
14.椭圆与直线相交于，两点，过中点与坐标原点的直线的斜率为，则
的值为（）
A．B．
C．D．2
15.设集合，，如果命题“”是真命题，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
1.为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为 .
2.抛物线的焦点坐标是 .
3.给出下列命题：
①已知集合，则“”是“”的充分不必要条件；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“函数的最小正周期为”是“”的充要条件；
④“平面向量与的夹角是钝角”的要条件是“”.
其中正确命题的序号是 .（把所有正确命题的序号都写上）
4.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两
艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 .
5.若曲线和曲线有三个不同的交点，则的取值范围是 .
三、解答题
1.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以
分组的频率分布直方图如图所示.
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
2.设关于的一元二次方程.
（1）若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有根的概率.
3.已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线与直线相交于不同的两点、，且中点横坐标为2，求的值.
4.已知，设命题：函数在区间上与轴有两个不同的交点；命题：
有最小值.若是真命题，求实数的取值范围.
5.已知椭圆的两个焦点坐标分别是、，并且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与圆：相切，并与椭圆交于不同的两点、.当，且满足时，求面积的取值范围.
湖南高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.设，集合是奇数集，集合是偶数集.若命题：，，则（）
A．：，
B．：，
C．：，
D．：，
【答案】C
【解析】全称命题的否定是存在性命题，所以既要否定量词，又要否定结论，因此：，，故选C．【考点】命题的否定．
2.如果方程表示双曲线，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】要使方程表示双曲线，应有，解得或，
故选C.
【考点】双曲线的标准方程．
3.命题“若，则且”的逆否命题是（）
A．若，则且
B．若，则或
C．若且，则
D．若或，则
【答案】D
【解析】命题的逆否命题是条件和结论同时换位、换质，所以命题“若，则且”的逆否命题是“若或，则”，故选D.
【考点】逆否命题．
4.已知具有线性相关的两个变量，之间的一组数据如表：
且回归线方程是，则（）
A．6.7B．6.6
C．6.5D．6.4
【答案】A
【解析】样本中心点坐标在回归直线上，所以，解得，故选A.
【考点】回归直线方程.
5.在正方体中，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则
,所以,因此
，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选B.【考点】异面直线成角.
6.已知为双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线距离为（）
A．B．3
C．D．
【答案】A
【解析】双曲线：化标准方程为，双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长
，故选A.
【考点】双曲线的简单几何性质.
7.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差（）
A．B．3
C．D．
【答案】C
【解析】样本平均数为，所以方差为
故选C.
【考点】样本平均数与方差.
8.双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则（）
A．B．
C．2D．4
【答案】D
【解析】双曲线的标准方程为，所以，左焦点坐标为
，抛物线的准线方程为，所以，解得，故选D.
【考点】双曲线与抛物线的标准方程.
9.与圆及圆都外切的圆的圆心在（）
A．一个椭圆上B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上D．一个圆上
【答案】B
【解析】圆的圆心为,半径为圆的圆心为,半径为设动圆圆心为，半径为，则由题意可得，所以动点的轨迹是双曲线靠近的一支，故选B.
【考点】求曲线的轨迹.
10.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以
，所以，故选A.
【考点】空间向量的应用.
【方法点睛】本题主要考查了空间向量的应用，属于基础题.要求平行六面体的对角线长，如果直接求解运算量较大，而且准确率低，可考虑利用空间向量来求解.解答的关键是建立空间的基底，通过向量的线性运算把对角线向量用基向量表示出来，利用向量数量积的性质——向量的平方等于模的平方，结合数量积运算求得结果.
11.若，为实数，则“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由于的符号不能确定，所以“”不能推出“”，同时“”也不能推出“”，因此“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.
【考点】充要条件.
12.柜子里有3双不同的鞋，随机取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成对的概率是（）A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】从中随机取出两只共有种不同的取法，取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成对的取法有,其概率为，故选B.
【考点】古典概型.
13.双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，点在第一象限内且在上，若，，则该双曲线的离心率为（）
A．B．
C．D．2
【答案】D
【解析】双曲线的左、右焦点分别为，,渐近线分别为，，点在第一象限内且
在上，所以，设，的直线方程为，的直线方程为，因为
，即.因为在上，所以，，又,所以即又因为，所以，故选D.
【考点】双曲线的简单几何性质.
14.椭圆与直线相交于，两点，过中点与坐标原点的直线的斜率为，则
的值为（）
A．B．
C．D．2
【答案】C
【解析】设,则，由于的中点为，所以
，由于在椭圆上，所以，两式相减得
，把中点坐标公式代入可得，整理
可得，故选C.
【考点】直线与椭圆的位置关系.
【方法点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.本题涉及到直线被椭圆截得的弦的中点及弦的
斜率，通常有两种常用的方法，一是联立方程组，利用韦达定理求解；二是利用“点差法”和中点坐标公式，后者运
算更加简单快捷.设出两个交点坐标，代入椭圆方程相减，因式分解，整理出弦的斜率的表达式，代入中点坐标即可.
15.设集合，，如果命题“”是真命题，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】集合表示平面内以为圆心，为半径的圆，
表示以为圆心，为半径的圆，且其圆心在直线上，如图所示，如果命题“”是真命题，即两圆有公共点，所以圆心到直线的距
离不大于，即，故选A.
【考点】圆与圆的位置关系.
【方法点睛】本题以集合语言考查了圆与圆的位置关系，属于中档题.在解答过程充分体现了集合知识、圆的知识
及命题的真假判断，同时考查了转化的思想.解答时首先进行转化，把命题“”是真命题，转化为两
圆有公共点，进一步转化为直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求出参数范围.
二、填空题
1.为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为 .【答案】
【解析】根据系统抽样的规则，应分成组，每组抽取个，所以分段间隔为.
【考点】系统抽样法.
2.抛物线的焦点坐标是 .
【答案】
【解析】抛物线的标准方程为，所以其焦点为.
【考点】抛物线的标准方程.
3.给出下列命题：
①已知集合，则“”是“”的充分不必要条件；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“函数的最小正周期为”是“”的充要条件；
④“平面向量与的夹角是钝角”的要条件是“”.
其中正确命题的序号是 .（把所有正确命题的序号都写上）
【答案】①②
【解析】①因为“”可以推出“”，但“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故①正确；②“”不能推出“”，但“”可以推出“”，所以“”是“”的
必要不充分条件，故②正确；③因为，所以若其最小正周期为，则
，因此“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，故③错误；
④“平面向量与的夹角是钝角”可以推出“”，但“”，平面向量与的夹角是钝角或平角，所以
“”是“平面向量与的夹角是钝角”必要不充分条件，故④错误，正确答案为①②.
【考点】充要条件.
4.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两
艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 .
【答案】
【解析】设甲到达的时刻为，乙到达的时刻为，则所有的基本事件构成的区域满足这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等到包含的基本事件满足作出对应的平面区域如图，所以这两艘船中
至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率
【考点】几何概型.
【方法点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题.几何概型是指用实验包含基本事件空间的几何度量来表示概率，通常涉及到几何图形的长度、面积、体积等.本题的难点是根据题意进行转化，分别把甲、乙两船到达的时间用表示，在平面直角坐标系中，用平面区域的面积表示事件发生的概率，求面积的比即可.
5.若曲线和曲线有三个不同的交点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可得，当时，，当时，，渐近线方程为，如图所示，由可得，解得，结合图象可
得实数的取值范围是.
【考点】直线与圆锥曲线的位置关系.
【方法点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的思想和学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.解答本题的关键是通过讨论的符号，把曲线方程转化为标准方程，画出曲线，通过方程组求出满足条件的参数的范围，研究直线与双曲线的交点个数，要注意双曲线的渐近线的性质.
三、解答题
1.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以
分组的频率分布直方图如图所示.
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户
居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）通过已知高的矩形面积和所有矩形的面积和为，求出未知高的一组的概率，除以底边长即得的值；（2）频率分布直方图中频率最高的一组的中点为众数，中位数是频率为的分界点；（3）根据频率分布直方图
求出四组的户数，根据分层抽样的规则：按它们在总体中所占比例抽取即可.
试题解析：（1）由得：，
所以直方图中的值是0.0075.
（2）月平均用电量的众数为，
，
∴月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由，得.
即月平均用电量的中位数为224.
（3）月平均用电量为的用户有户，用平均用电量为的用户有
户，用平均用电量为的用户有户，用平均用电量为
的用户有户，抽取比例为，
∴用平均用电量为的用户中应抽取户.
【考点】频率分布直方图、样本的数字特征与抽样方法.
2.设关于的一元二次方程.
（1）若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有根的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当，时，方程有实根的充要条件为.写出所有可能的取法，从中找
出满足条件的基本事件，即可得到概率；（2）分别求出且的矩形面积和满足的三角形面积，用几何概型求解.
试题解析：设事件为“方程有实根”.
（1）当，时，方程有实根的充要条件为.
基本事件共12个：.其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值.
事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为.
（2）试验的全部结果所构成的区域为，构成事件的区域为
，
所以所求的概率为.
【考点】古典概型与几何概率.
3.已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线与直线相交于不同的两点、，且中点横坐标为2，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据抛物线的定义表示出抛物线上点到焦点的距离，求得；（2）联立抛物线与直线方程，根据韦达定理求出两个交点的横坐标，即可求得.
试题解析：（1）设抛物线的方程为，其准线方程为，
到焦点的距离为6，∴，∴.
即抛物线的方程为.
（2）设，，
由消去，得，
由条件，且，∴且，
又，∴，解得或（舍）.
∴.
【考点】抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系.
4.已知，设命题：函数在区间上与轴有两个不同的交点；命题：
有最小值.若是真命题，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】若是真命题，则为假命题且为真命题.分别求出为真时，参数的范围，取其补集即得为假时，参数的范围，取交集即得实数的取值范围.
试题解析：若真，则即
∴.
若真，∴，
即在上是单调递减的，要使有最小值，则在上单调递增或为常数，
即，∴.
若是真命题，则为假命题且为真命题，
∴即或.
∴实数的取值范围为.
【考点】复合命题与简易逻辑.
【方法点睛】本题主要考查了复合命题与简易逻辑，属于基础题.解答本题的关键是根据“是真命题”，得到
为假命题且为真命题.解答时，易错点是部分同学写出命题的否定去求参数范围，导致问题复杂化，正确的
求命题为假的参数范围是先求出命题为真对应的参数范围，取其补集，这样方便快捷.
5.已知椭圆的两个焦点坐标分别是、，并且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与圆：相切，并与椭圆交于不同的两点、.当，且满足时，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设出椭圆方程，根据题意列方程组，求出待定系数的值；（2）可设直线方程为，根据其与圆相切可得，联立方程组可得，根据韦达定理求出和，，所以整理可得，根据向量数量积的定义可得，换元设，则，最后再根据均值不等式求出面积的取值范围.
试题解析：（1）设椭圆方程为，
由条件有解得，.
∴椭圆的方程为：.
（2）依题结合图形知直线的斜率不为零，
∵直线即与圆：相切，
∴得.
设，，
由
消去整理得，
得.
又，点到直线的距离，
∴
，
.
,令，则，
∴，
∴，∴的取值范围为：.
【考点】椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系.
【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系，考查了函数与方程的思想和考生的运算能力及数据处理能力，属于难题.求椭圆方程，通常用待定系数法，根据焦点位置设出方程，列待定系数的方程组求解，研究直线与椭圆的位置关系通常设而不解，根据韦达定理进行整体代换，本题的难点是面积的表示和最后函数
值域的求解，面积分解为两个同底的三角形面积和，建立面积的函数关系后，通过换元，利用均值不等式求范围，这是这类问题最常用的策略.。