勾股定理

第1讲勾股定理
第一部分知识梳理
1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。

若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。

常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。

4．勾股定理的应用:
①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；
②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。

5．直角三角形的判别：
①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；
②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。

6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。

7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。

8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。

第二部分精讲点拨
考点1. 勾股定理
【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为
变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。

变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________
变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，
（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。

（3）已知b=23，∠B＝30°，求a。

（4）已知a=32，c=6，求∠A，∠B。

小结：
考点2. 勾股定理的证明
【例2】如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：2
2
2
a b c +=
变式 如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：2
2
2
a b c +=
考点3. 特殊角的直角三角形
【例3】已知：如图，在△ABC 中，90ACB ∠=
，10AB cm =，8BC cm =，CD AB ⊥于D ，求CD 的长．
变式1 如图，已知：︒=∠=∠90C ABD ，12=AD ，BC AC =，︒=∠30DAB ，求BC 的长．
小结：
D
C
B
A
变式2 如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．
小结：
考点4. 勾股定理的应用
【例4】如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
变式1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
变式2 一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？
变式3 如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．
变式4 如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度
向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域． （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
考点5. 直角三角形的判定
【例5】三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A ．a :b :c=8∶16∶17
B ． a 2-b 2=c 2
C ．a 2=(b+c)(b-c)
D ． a :b :c =13∶5∶12 变式1 三角形的三边长为ab c b a 2)(2
2
+=+,则这个三角形是( )
A . 等边三角形
B . 钝角三角形
C . 直角三角形
D . 锐角三角形.
变式2 已知，△ABC 中，17AB cm =，16BC cm =，BC 边上的中线15AD cm =，试说明△ABC 是等腰三角形．
变式3 如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=
4
1
BC ， 求证：AF ⊥EF ．
考点6. 勾股定理及其逆定理相关面积计算
【例6】一个零件的形状如图，已知∠
A=900，按规定这个零件中∠DBC 应为直角，工人师傅量得零
小结：
小结：
D
C
B
A
件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, BC = 12 , DC=13，问这个零件是否符合要求，并求四边形ABCD 的面积．
变式1 如图示，有块绿地ABCD ，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ， ∠ADC=90°，求这块绿地的面积。

变式2 求知中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，
经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投 入多少资金买草皮？
考点7. 折叠问题
【例7】折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm 。

求EC 的长.
变式1 如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，恰与AE 重合，则CD 等于（ ） A ．2㎝ B ．3㎝ C ．4㎝ D ．5㎝
小结：
m BF = 2.4 厘
= 4.00
厘米
E
C
A
D
B
F
变式2 如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 。

考点8. 立体图形求距离
【例8】如图，一只蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬到点B ，如果圆柱的高为8cm ，圆柱的底面半径为
π
6
cm ，那么最短的路线长是（ ） A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10πcm
变式1 一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B ’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线 的长为 。

变式2 如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，那么它所行的最短路线的长为 。

变式3 如图,一长方体,底面长3cm,宽4cm,高12cm,求上下两底面的对角线MN 的长。

第三部分 过关检测
一、选择题（每题5分）
1. 下列各组能组成直角三角形的是 ( )
小结：
小结： B
’
C ’
B ′
A ′ C ′
D
N
M
C
B
A
A . 4、5、6
B . 2、3、4
C . 11、12、13
D . 8、15、17 2. 若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）
A . 6
B . 7
C . 8
D . 9
3. 如图，一圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程 （ 取3）是（ ）．
A. 20cm
B. 10cm
C. 14cm
D. 无法确定
4. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°
5. 直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）
A . 6厘米
B . 8厘米
C .
13
80厘米 D . 1360
厘米
6. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后， 发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）
A ．8cm
B ．10cm
C ．12cm
D ．14cm
7. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A . 5
B . 25
C . 7
D . 25或7
二、填空题（每题5分）
8. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若 c ＝17，b ＝15，则a ＝ ．
9. 如图,中间三角形是直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中
字母A 所代表的正方形面积是
10. 有以下几组数据 ①3、4、5 ；②17、15、8；③10、6、14；④12、5、13；⑤300、160、340；⑥0.3, 0.4,0.5.其中可以构成勾股数有
11. 如图某楼梯的长为5米，高3，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要________米。

12. 在长方形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE ＝ cm.
13. 将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面 的长为h ㎝，则h 的取值范围是________________。

三、解答题：
14. 如图，在一块由边长为1米的正方形的地砖铺设的广场上，一只鸽子飞来落在点A 处，鸽子要吃 到小朋友撒在B 、C 处的鸟食，最少需要走多远？（7分）
A
E
B C
D
F
C ′
5米
3米
15. 一同学先向东直线走了150米，由于其它原因，他接着向南直线走了80米，这时该同学距离他出发的地点有多远？（要求作图分析）（7分）
16. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？（7分）
17. 一块地如图所示，已知AB＝4米，BC＝3米，DC＝12米，AD＝13米，∠B＝90°，求这块地的面积。

（8分） A
B
C
四、探索与研究（6分）
18. 图（2）是对任意的符合条件的直角三角形（1）绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 面积相等，而四边形ABFE 面积等于Rt ⊿BAE 和Rt ⊿BFE 的面积之和。

根据此图示写出证明勾股定理的过程。

附加题：
3. 阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图1，等边△ABC 内有一点P 若点P 到顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5则∠APB ＝______，由于P A ，PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP 绕顶点A 旋转到△ACP ′处，此时△ACP ′≌_______这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB 的度数.
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图2，△ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝AC ，E 、F 为BC 上的点且∠EAF ＝45°，求证：EF 2＝BE 2+FC 2.
P 'C P
B A
图1
图2 F
E C B A A
B C a b
c
A
B C D E
F b
c
a a b
b
b-a (1) (2)。