广东省深圳市外国语学校2021届高三数学第一次测试试题 文.doc

广东省深圳市外国语学校2021届高三数学第一次测试试题 文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合{|6}A x N x =∈≤，{|22}B x R x =∈->，则A B = （ ）
A ．{}0,5,6
B ．{5,6}
C ．{4,6}
D ．{|46}x x <≤
2.若复数12i
z i
=
-+,则z 的虚部为 （ ） A.15i - B ．15- C ．15i D. 1
5
3.已知向量a ＝(4，x )，b ＝(－4,4)，若a ∥b ，则x 的值为 ( )．
A ．0
B ．4
C ．－4
D ．±4
4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则
的
值为（ ） A.
B.
C.
D.
5.下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ） A ．2
x y = B ．x
e y -= C ．x x y sin -= D ．x y -=
6．各项均为正数的等比数列
{}n a 的前项和为n S ，若32,14n n S S ==，则4n S =（ ）
A. 80
B. 16
C. 26
D. 30
7.设函数R x x f y ∈=),(,“)(x f y =是偶函数”是“)(x f y =的图像关于原点对称”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

若该公司202X 年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) A.2021年 B. 2021年 C.2021年 D.2021年 9.将函数()3sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移
6
π
，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数()g x 31
B. 函数()g x 的最小正周期为π
C. 函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增 D. 函数()g x 的图像关于直线3x π=对称 10.如图，平面四边形ABCD 中，E,F 是AD,BD 中点，AB=AD=CD=2，0
22,90BD BDC =∠=，
将ABD ∆沿对角线BD 折起至'A BD ∆，使平面'A BD BCD ⊥，则四面体'A BCD -中，下列结论不正确的是（ ）
A. //EF 平面'A BC
B.异面直线CD 与'A B 所成的角为090
C.异面直线EF 与'A C 所成的角为060
D.直线'A C 与平面BCD 所成的角为030 11.已知 ,(0,),sin sin 02
π
αββααβ∈-> ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.2
π
αβ+<
B.2
π
αβ+=
C.αβ<
D.αβ> 12．已知函数,1
()(2),1
x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正实
数m 的取值范围为 A ．1
(,1)(1,1)2e e -- B ．1
(,1)(1,1]2e e -- C ．1
(
,1)(1,1)3
e e --
D ．1
(
,1)(1,1]3
e e --
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．函数()1ln 1x f x x +⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
的值域为________. 14．若()()1sin sin 3
a βαβ+-=-
则._____cos cos 2
2=-βa 15．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，这个数列的前2n-1项和21n S -=_______.
16.已知三棱锥PABC 的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为26，则三棱锥PABC 的内切球的体积为________．
三、解答题（本大题共 6小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）
等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．
18.(本题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，且满足A b B a cos 3sin =。

（1） 求角A 的大小；
（2）若4=a ，求ABC ∆周长的最大值。

19. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,2
a =2
02)n n n n S a S a n -+=≥（．
（Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
（Ⅱ）求123111
++23n S S S S n
++．
20. （本小题满分12分）
在△ABC 中，,2,3
3
2sin
==∠AB ABC 点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD ,
（I ）求ABC COS ∠； （II ）求BC 和AC 的长
21.（本小题满分12分）
如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO=OB=1．
（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； （Ⅱ）求三棱锥P-ABC 体积的最大值；
（Ⅲ）若C 2B =，点E 在线段PB 上，求CE+OE 的最小值．
22.（本小题满分12分）
函数()()()0ln 12
12
≥++-=
a x x a ax x f . （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）当0=a 时，方程()mx x f =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，
求实数m 的取值范围．
文科数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
D
C
A
C
D
B
B
C
C
C
D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13.
14. 13 15. 51
,21()2
5,2()
2
n n n k k N S n n k k N ++
-⎧=-∈⎪⎪=⎨⎪=∈⎪⎩3 三、解答题（本大题共 6小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ． 解：设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-，642102a a d d =+=+，
1046106a a d d =+=+． 由3610a a a ，，成等比数列得2
3106a a a =，
即2(10)(106)(102)d d d -+=+，整理得2
10100d d -=， 解得0d =或1d =． 当0d =时，20420200S a ==．
当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=，2012019
202
S a d ⨯=+207190330=⨯+= 18.(本题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，且满足A b B a cos 3sin =。

（1） 求角A 的大小；
（2）若4=a ，求ABC ∆周长的最大值。

18解：（1）依正弦定理
B
b
A a sin sin =
可将A b B a cos 3sin =化为 A B B A cos sin 3sin sin =
又因为在ABC ∆中，0sin >B 所以有3tan cos 3sin ==∴A A A ，即.
∵ π<<A 0, 3
π
=
∴A
（2）因为ABC ∆的周长c b c b a ++=++=4， 所以当c b +最大时，ABC ∆的周长最大. 解法一：
3
16)(3)(cos 21622
222-+=∴-+=-+==c b bc bc
c b A bc c b a 4
)(2
c b bc +≤且 864)(4
)(316)(222≤+∴≤+∴+≤
-+∴c b c b c b c b （当且仅当4==c b 时等号成立）
所以ABC ∆周长的最大值12
19. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,2
a =2
02)n n n n S a S a n -+=≥（．
（Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
（Ⅱ）求123111
++23n S S S S n
++．
19.（Ⅰ）证明：因为当2n 时，1n n n a S S -=-，
所以2
11()0n
n n n n n S S S S S S ----+-=．所以110n n n n S S S S --+-=,2分 因为11,2a =所以216
a =-，所以10n n S S -≠， 3分 所以111
1n n S S --=． 4分
所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以11
2S =为首项，以1为公差的等差数列． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()1
211n n n S =+-=+，所以11
n S n =+.8分
所以1111(1)1n S n n n n n ==-++． 10分
所以1231111111
1++1+
+232231n S S S S n n n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫++=-+-- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
11111n n n =-=++． 12分 20. （本小题满分12分）
在△ABC 中，,2,3
3
2sin
==∠AB ABC 点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD ,
（I ）求ABC COS ∠； （II ）求BC 和AC 的长
20.（Ⅰ）、31
33212sin
21cos 2
2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-=∠-=∠ABC ABC ................4分 （Ⅱ）、设b DC a BC ==,则b AC b AD 3,2==
在ABC ∆中，ABC COS BC AB BC AB AC ∠⋅⋅-+=2222,
即,3
1
224922⨯⨯⨯-+=a a b a a b 344922-+=….① ........6分
在ABC ∆中，b
b BDA 23
3424
4316
cos 2⨯⨯-+=∠，............8分
由0cos =∠+∠BDA COS BDC 得6322-=a b …② .....................10分 由①、②解得1,3==b a ，所以BC=3，AC=3............................12分
21.（本小题满分12分）
如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO=OB=1．
（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证：AC⊥平面PDO ； （Ⅱ）求三棱锥P-ABC 体积的最大值；
（Ⅲ）若C 2B =，点E 在线段PB 上，求CE+OE 的最小值．
21解法一：（Ⅰ）在AOC ∆中，因为,OA OC D =为AC 的中点，所以AC DO ⊥ 又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO AC ⊥因为DO
PO O =，所以AC ⊥平面PDO .
（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1. 又2AB =，所以ABC ∆面积的最大值为
1
2112
⨯⨯= 又因为三棱锥P ABC -的高1PO =，故三棱锥P ABC -体积的最大值为11113
3
⨯⨯=
（Ⅲ）在POB ∆中，1,90PO OB POB ==∠=，
所以22
112PB =+=
,同理2PC =，所以PB PC BC ==
在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示。

当,,O E C '共线时，CE OE +取得最小值
又因为,OP PB C P C B ''==，所以OC '垂直平分PB ，
即E 为PB 中点从而262OC OE EC ''=+=
+26
+=，亦即CE OE +的最小值为
26
+. 解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一.
（Ⅲ）在POB ∆中，1,90PO OB POB ==∠=，所以2245,112OPB PB ∠==+=，
同理2PC =
所以PB PC BC ==，所以60CPB ∠=.在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示。

当,,O E C '共线时，CE OE +取得最小值. 所以在OC P '∆中，由余弦定理得：
212212cos(4560)OC '=+-⨯⨯⨯+2123
1222(
)2222
=+-⨯-⨯23=+ 从而2623OC +'=+=
所以CE OE +的最小值为26
+. 22.（本小题满分12分）
函数()()()0ln 12
12
≥++-=
a x x a ax x f . （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）当0=a 时，方程()mx x f =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，
求实数m 的取值范围．
22.【解析】（I ）()()()()1111,0ax x f x ax a x x x
--'=-++=>，
（i ）当0=a 时，()x
x
x f -=
'1，令()0>'x f ,得10<<x ，令()0<'x f ,得1>x ，
函数f(x)在()1,0上单调递增，()+∞,1上单调递减； （2分）
（ii ）当10<<a 时，令()0='x f ，得11=x ,11
2>=a
x （3分） 令()0>'x f ,得a x x 1,10><<，令()0<'x f ,得a
x 1
1<<，
函数f(x)在()1,0和⎪⎭⎫
⎝⎛+∞,1a 上单调递增，⎪⎭
⎫
⎝⎛a 1,1上单调递减； （4分） （iii ）当1=a 时，()0≥'x f ，函数f(x)在()+∞,0上单调递增；（5分）
（iv ）当1>a 时，11
0<<
a （6分） 令()0>'x f ,得1,10><<x a x ，令()0<'x f ,得11
<<x a
， （7分）
函数f(x)在⎪⎭⎫ ⎝⎛
a 1,0和()+∞,1上单调递增，⎪⎭
⎫
⎝⎛1,1a 上单调递减； （8分） 综上所述：当0=a 时，函数f(x)的单调递增区间为()1,0，单调递减区间为()+∞,1； 当10<<a 时，函数f(x)的单调递增区间为()1,0和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1a ，单调递减区间为⎪⎭
⎫ ⎝⎛a 1,1； 当1=a 时，函数f(x)的单调递增区间为()+∞,0；
当1>a 时，函数f(x)的单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛
a 1,0和()+∞,1，单调递减区间为⎪⎭
⎫
⎝⎛1,1a （9分） （II ）当0=a 时，()x x x f ln +-=，由()mx x f =，得mx x x =+-ln ，又0>x ，所以
1ln -=
x
x m ，要使方程()mx x f =在区间2
1,e ⎡⎤⎣⎦上有唯一实数解， 只需1ln -=x x
m 有唯一实数解，
（10分） 令()()01ln >-=x x x x g ，∴()2
ln 1x x
x g -='，由()0>'x g 得e x <<0；()0<'x g 得e x >， ∴()g x 在区间[]e ,1上是增函数，在区间[]
2
,e e 上是减函数. （11分）
()11-=g ，()11-=e e g ，()12
22-=e e g ，故 2211m e -≤<-或11m e
=- （12分）。