高考文科数学一轮总复习课标通用版课件：第15章坐标系与参数方程选讲15-1坐标系

[强化训练 1.1] 将抛物线 C：y＝x2－2x＋3 上每个点的横坐标都变为原来的 2 倍，纵 坐标不变，得到抛物线 C1，再将抛物线 C1 向上平移 3 个单位，向右平移 2 个单位，得到 抛物线 C2，求抛物线 C2 的顶点坐标．
解：因为 y＝(x－1)2＋2，所以抛物线 C 的顶点坐标是 A(1，2)．依题意，首先利用伸
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【反思·升华】 (1)平面上的曲线 y＝f(x)在变换 φ：xy′′＝＝λμxy，，λμ>>00，的作用下的变
换方程的求法是将xy＝＝xyμλ′′，代入 y＝f(x)，得yμ′＝fxλ′，整理之后得到 y′＝h(x′)，即为所求
(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．
解：(1)将xy＝＝45＋＋55csionstt，消去参数 t， 化为普通方程得(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将xy＝＝ρρcsionsθθ，代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得
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ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
所以 C1 的极坐标方程为
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
(2)C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0. 由xx22＋＋yy22－－82xy－＝100，y＋16＝0， 解得xy＝＝11，或xy＝＝02，. 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 2，π4 ，2，π2 .
y x
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过点(a，0)，与极轴垂直的直线 过点a，π2 ， 与极轴平行 的直线
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ρcosθ＝a(－π2 <θ<π2 ) ρsinθ＝a(0<θ<π)
答案
2．(1)极径
极角
(2)ρcosθ
x2＋y2
极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的________，记为 θ.有序数对(ρ，
θ)叫做点 M 的极坐标，记作 M(ρ，θ)．
(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴， 并在两种坐标系中取相同的长度单位，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
1)，半径为 r 的圆，由直线 l 与曲线 C 相切，可得 r＝| 3· 32－1＋2|＝2， 可知曲线 C 的方程为(x－ 3)2＋(y－1)2＝4，
所以曲线 C 的极坐标方程为 ρ2－2 3ρcosθ－2ρsinθ＝0，即 ρ＝4sinθ＋π3 .
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－ 2＝0，M 为 l3 与 C 的交点，求点 M 的极径．
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经典品质/超出梦想 [强化训练 2.1]
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已知曲线 C1 的参数方程为xy＝＝45＋＋55csionstt，(t 为参数)，以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程；
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(2)不妨设 M(ρ1，θ)，Nρ2，θ＋π6 (ρ1＞0，ρ2＞0)，
S△MON＝12|O→M|·|O→N|·sinπ6
＝14ρ1·ρ2＝4sinθ＋π3 ·sinθ＋π2 ＝2sinθcosθ＋2 3cos2θ＝sin2θ＋ 3cos2θ＋ 3 ＝2sin2θ＋π3 ＋ 3，
缩
变
换
公
式
x′＝2x， y′＝y，
得
到
抛
物
线
C1 的顶点
A1(2 ， 2) ， 然 后 再 利 用 平 移 变 换 公 式
xy″″＝＝xy′′＋＋23，，得到抛物线 C2 的顶点 A2(4，5)．
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高频考点 3 简单曲线的极坐标方程及应用
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【例 3.1】 (1)(2018 年高考·江苏卷)在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρsinπ6 －θ＝2，
曲线 C 的方程为 ρ＝4cosθ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．
(1)求曲线 C 的极坐标方程；
π (2)在曲线 C 上取两点 M，N 与原点 O 构成△MON，且满足∠MON＝ 6 ，求△MON
面积的最大值．
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【解】 (1)由题意可知，直线的直角坐标方程为 y＝ 3x＋2，曲线 C 是圆心为( 3，
π 当 θ＝12时，S△MON≤2＋ 3，所以△MON 面积的最大值为 2＋ 3.
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【反思·升华】 (1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式 x＝ρcosθ及 y＝ρsin
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§15.1 坐标系
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圆心在极点，半径为 r 的圆 圆心为(r，0)，半径为 r 的圆 圆心为r，π2 ，半径为 r 的圆 过极点，倾斜角为 α 的直线
图形
极坐标方程 ρ＝r(0≤θ<2π)
ρ＝2rcosθ(－π2 ≤θ<π2 ) ρ＝2rsinθ(0≤θ<π) θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋
α(ρ∈R)
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1．理解坐标系的作用．
2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表
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高频考点 1 平面直角坐标系中图象的变换 【例 1.1】 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆 x2＋y2＝1 变换为椭 圆x92＋y42＝1.
【解】 设伸缩变换为xy′′＝＝λμxy，，λμ>>00，， 由题意知，λ92x2＋μ42y2＝1， 即λ3 2x2＋μ2 2y2＝1.
极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为 x＝________，y＝ρsinθ，由此得 ρ2＝________， tanθ＝________(x≠0)．
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3．常用简单曲线的极坐标方程 曲线
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与 x2＋y2＝1 比较系数，得λμ32 22＝＝11，，故λμ＝＝32，，
所以伸缩变换为xy′′＝＝32xy，， 即先使圆 x2＋y2＝1 上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的 3 倍， 得到椭圆x92＋y2＝1，再将该椭圆上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到 椭圆x92＋y42＝1.
θ直接代入并化简即可，(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如 ρcos
θ，ρsinθ，ρ2 的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两
边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过
程的检验．
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示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
4．能在极坐标系中给出简单图形的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角 坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．
5．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中 表示点的位置的方法相比较．了解它们的区别．
(2)(2017 年高考·课标全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为
x＝2＋t，
y＝kt
(t
为参数)，直线
l2
x＝－2＋m，
的参数方程为y＝mk
(m
为参数)．设
l1
与
l2
的交点为
P，当 k 变化时，点 P 的轨迹为曲线 C.
①求出 C 的普通方程．
②以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ(cosθ＋sinθ)
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选考部分
15 坐标系与参数方程选讲
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1．平面直角坐标系中的伸缩变换
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：xy′′＝＝μyλ，x，μλ>0>0，的作用
变换之后的方程．
(2)在进行平移或伸缩变换时，不需要刻意记忆变换公式，只要根据变换前后的方程
形式就可以写出变换关系(即变换公式)．另外还要注意两种变换的先后顺序，顺序不同，
变换公式也不同．
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下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸
缩变换．
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2．极坐标系
(1)设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的________，记为 ρ.以
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高频考点 2 极坐标与直角坐标的互化
【例 2.1】 (2019 年宁夏银川一中高三月考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参
数方程为yx＝＝1＋3＋rsrincoφsφ，(r＞0，φ为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为ρsinθ－π3 ＝1，直线 l 与曲线 C 相切．