01-以2π为周期函数的傅里叶级数

收敛定理
然而, 若从以 2π为周期且在[π, π] 上可积的函数 f 出发, 按公式(10)求出其傅里叶系数并得到傅里叶 级数(12) , 这时还需讨论: (1)此级数是否收敛; (2) 如果收敛, 是否收敛于 f 本身. 这就是下一段所要叙述的内容.
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
π
(10a)
bn
1 π
π f ( x)sin nxdx , n 1,2,,
π
(10b)
a0
2
(an cos nx bn sin nx).
n1
(4)
1,cos x,sin x,cos 2 x,sin 2 x,,cos nx,sin nx, (5)
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
证 由定理条件, 函数 f 在[π, π]上连续且可积.
对(9)式逐项积分得
π
f (x)dx π
a0 2
π
dx
π
(an
n1
π
π cos nxdx bn
π
sin nxdx).
π
由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零.
所以
π π
f
(
x)dx
a0 2
2π
a 0π,
即
cosnxcoskxdx数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社傅里叶级数三角级数?正交函数系收敛定理同理9式两边乘以sinkx并逐项积分可得xsinkxdx是以2为周期且在函数则可按公式10计算出xcosnxdx01210axsinnxdx数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社傅里叶级数三角级数?正交函数系以2为周期的函数的傅里叶级数收敛定理数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社12cosnx的傅里叶系数为系数的三角级数9称为f关于三角函数系的傅里叶级数记作这里记号表示上式右边是左边函数的傅里叶级由定理152知道
π cos nx cos kxdx bn
sin nx cos kxdx).
π
n1
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§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
同理, (9)式两边乘以sin kx,并逐项积分, 可得
bk
1 π
π f ( x)sin kx dx
π
(k 1,2,).
由此可知, 若f 是以2π 为周期且在 [π, π] 上可积的
函数, 则可按公式(10)计算出an角函数系(5) ) 的傅里叶系数.
an
1 π
π f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,,
π
bn
1 π
π f ( x)sin nxdx , n 1,2,,
π
f ( x)
0
2
n1 (an cos nx bnbsninπnπ xsi)n nx cos kx(d9x)).
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§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
由三角函数的正交性, 右边除了以 ak 为系数的那一
π
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(10a) (10b)
§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
以 f 的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于
三角函数系) 的傅里叶级数, 记作
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx).
f
(x)
a 0
2
an01(a1πn
coπs
π
nf x(x)dbxn s. in
nx
)
(9)
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§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
又以 cos kx 乘(9)式两边 (k为正整数), 得 f ( x)cos kx a0 cos kx 2
§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
第二讲
以2π为周期函数的 傅里叶级数
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§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
以2π为周期函数的傅里叶级数
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级数(4)的系数 a0 , an , bn 之间的关系.
(12)
这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级
数, 由定理15.2知道: 若(9)式右边的三角级数在整
个数轴上一致收敛于和函数 f , 则此三角级数就是 f
的傅里叶级数, 即此时(12)式中的记号“~”可换
为 等号.
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§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
数学分析 第十五章 傅里叶级数
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§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
定理15.2
若在整个数轴上
a
f (x)
0
2
(an cos nx bn sin nx)
n1
(9)
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
an
1 π
π f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,,
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx). (11)
n1
从第十三章§1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛, 可
得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积,
π
有 f ( x)cos kxdx π
a0 2a
π
coskxdx
π
(an
n1
π
cos nx cos kxdx
项积分
π
cos2 kxdx π π
外, 其他各项积分都等于0, 于是得出:
π f ( x)cos kx dx a π (k 1,2,).
π
k
即
ak
1 π
π f (x)cos kxdx
π
(k 1,2,).
π f ( x) cos kxdx a0
π
cos kxdx
π
2 π
π
π
(an