高一数学苏教版必修5教师用书：第1章 1 正弦定理 第1课时 正弦定理(1)

1.1 正弦定理
第1课时正弦定理(1)
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，了解正弦定理的推导过程．(重点)
2．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形的度量问题．(难点)
3．解三角形时增解或漏解．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 正弦定理
阅读教材P5～P7“思考”以上部分，完成下列问题．三角形的各边和它所对角的正弦之比相等．
即
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理适用于所有三角形．()
(2)在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．()
(3)
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C＝2R，其中R为△ABC的外接圆的半径．()
【★答案★】(1)√(2)√(3)√
教材整理2 解斜三角形
阅读教材P7例1～P8，完成下列问题．
1．解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余未知元素的过程．
2．利用正弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题
(1)已知两边与任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝1
3，则sin B＝.
【解析】根据
a
sin A＝
b
sin B，有
3
1
3
＝
5
sin B，得sin B＝
5
9.
【★答案★】5 9
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝.
【导学号：92862000】
【解析】由正弦定理可知，AC
sin B＝
BC
sin A，所以AC＝
BC sin B
sin A＝
32×
2
2
3
2
＝
2 3.
【★答案★】2 3
[小组合作型]
在△ABC中，已知A＝45°，B
＝30°，c＝10，求a，b，C.
【精彩点拨】利用正弦定理求解．
【自主解答】由正弦定理得，
a
sin A＝
c
sin C，
即a＝c sin A
sin C＝
10×sin 45°
sin 105°＝
10×
2
2
6＋2
4
＝10(3－1)．
由
b
sin B＝
a
sin A得，
b＝a sin B
sin A＝
10(3－1)·sin 30°
sin 45°＝5(6－2)．
已知两角与一边求解三角形问题的基本解法
1．若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．
2．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
[再练一题]
1．在△ABC中，若tan A＝1
3，C＝150°，BC＝1，求AB，AC的值．
【解】∵tan A＝1
3，∴sin A＝
10
10，cos A＝
310
10.
由正弦定理得
AB＝BC sin C
sin A＝
1×sin 150°
10
10
＝
10
2.
又A＋B＋C＝180°，∴B＝180°－A－C＝30°－A.∴sin B＝sin(30°－A)
＝sin 30°cos A－cos 30°sin A
＝1
2×
310
10－
3
2×
10
10＝
310－30
20.
∴AC＝BC sin B
sin A＝
1×
310－30
20
10
10
＝
3－3
2.
在△ABC中，分别根据下列条件解三角形．
(1)a＝1，b＝3，A＝30°；
(2)a＝3，b＝1，B＝120°.
【精彩点拨】(1)先求sin B＝b sin A
a，再利用大边对大角求B，进而求C及
c.
(2)先求sin A＝a sin B
b的值再进行判断．
【自主解答】(1)根据正弦定理，sin B＝b sin A
a＝
3sin 30°
1＝
3
2.
∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.当B＝60°时，
C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c＝
b
sin B＝
3
sin 60°＝2；
当B＝120°时，
C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°，
c＝b sin C
sin B＝
3sin 30°
sin 120°＝1.
(2)根据正弦定理，sin A＝a sin B
b＝
3sin 120°
1＝
3
2>1.
因为sin A≤1.所以A不存在，即无解．
利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.
[再练一题]
2．在△ABC中，c＝6，C＝π
3，a＝2，求A，B，b.
【解】∵a
sin A＝
c
sin C，
∴sin A＝a sin C
c＝
2×
3
2
6
＝
2
2.
∵c>a，∴C>A，∴A＝π4，
∴B＝π－π
3－
π
4＝
5π
12.
∵
c
sin C＝
b
sin B，
∴b＝c sin B
sin C＝
6·sin
5π
12
sin
π
3
＝6×
6＋2
4
3
2
＝3＋1.
[探究共研型]
【提示】由A>B，得a>b，∴sin A>sin B，反之，亦然．
探究2在△ABC中，若A<90°，则a，b满足什么条件时，此△ABC有且只有一解？
【提示】当a＝b sin A或a>b时，△ABC的解是唯一的．
探究3探究2中的△ABC会有两解吗？
【提示】当b sin A<a<b时，△ABC有两解．
不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝7，b＝14，A＝150°；
(3)a＝9，b＝10，A＝60°；
(4)a＝1，b＝2，A＝30°.
【精彩点拨】根据已知条件画图，依据高和图形判断解的个数．【自主解答】(1)如图(1)，∵A为钝角，且a＞b，
∴三角形有一解．
(1)(2)
(2)如图(2)，∵A为钝角，且a＜b，∴无解．
(3)如图(3)，∵h＝b sin A＝53，而53＜9＜10，
∴三角形有两解．
(3)(4)
(4)如图(4)，∵h＝b sin A＝1，∴a＝h，∴三角形有一解．
三角形解的各种情况汇总
已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况如下：
[再练一题]
3．根据下列条件判断△ABC 解的情况． (1)已知b ＝4，c ＝8，B ＝30°； (2)已知b ＝6，c ＝9，B ＝45°； (3)已知B ＝30°，b ＝2，c ＝2.
【解】 (1)由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝8sin 30°
4＝1， 又由c >b 知C >B ，∴30°<C <180°， ∴C ＝90°，故有一解．
(2)∵sin C ＝c sin B b ＝9sin 45°6＝32
4>1， 故无解．
(3)由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝2sin 30°2＝2
2，
又c >b ，∴30°<C <180°， ∴C ＝45°或C ＝135°，故有两解．
1．在△ABC中，下列等式中总能成立的是(填序号)．①a sin A＝b sin B；②b sin C＝c sin A；
③ab sin C＝bc sin B；④a sin C＝c sin A.
【解析】由正弦定理
a
sin A＝
c
sin C，得a sin C＝c sin A，故④正确．
【★答案★】④
2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，则△ABC外接圆的半径是.
【导学号：92862001】
【解析】由
a
sin A＝2R，可知R＝
3
2sin 30°＝3.
【★答案★】 3
3．在△ABC中，A＝30°，B＝120°，b＝12，则a＋c＝. 【解析】C＝180°－(A＋B)＝180°－(120°＋30°)＝30°.
由正弦定理
a
sin A＝
b
sin B，得
a＝b sin A
sin B＝
12×sin 30°
sin 120°＝
12×
1
2
3
2
＝4 3.
由
c
sin C＝
b
sin B，得
c＝b sin C
sin B＝
12×sin 30°
sin 120°＝
12×
1
2
3
2
＝4 3.
∴a＋c＝8 3.
【★答案★】8 3
4．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则2sin A－sin B
sin C＝.
【解析】设a＝4k，b＝3k，c＝5k，
则由正弦定理得2sin A－sin B
sin C＝
2×4k－3k
5k＝1.
【★答案★】 1
5．在△ABC中，
(1)已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B；
(2)已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A，C和c.
【解】(1)由内角和定理得B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°，
由正弦定理
a
sin A＝
c
sin C＝
b
sin B，
得a＝c sin A
sin C＝
10×sin 45°
sin 30°＝102，
b＝c sin B
sin C＝
10×sin 105°
sin 30°＝20×
6＋2
4＝52(3＋1)．
(2)由正弦定理
a
sin A＝
b
sin B，得sin A＝
a sin B
b＝
3sin 45°
2
＝
3
2，
又a>b，∴A＝60°或120°，
①当A＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝75°，
c＝b sin C
sin B＝
2sin 75°
sin 45°＝
6＋2
2.
②当A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，
c＝b sin C
sin B＝
2sin 15°
sin 45°＝
6－2
2.
故A＝60°，C＝75°，c＝6＋2
2或A＝120°，C＝15°，c＝
6－2
2.。