高二选修45证明不等式的基本方法课件

abc
变式引申: 求证 : 若a,b,c R ,则aabbcc (abc) 3
补充例题:已知a 2,求证: loga (a 1) log(a1) a 课堂练习: 课本P23第1题,第2题.
补充练习: 若a,b, m, n都是正实数, 且m n 1, 试证明 ma nb m a n b
的 大 小 关 系 是( A )
A.1 qmn qm qn
B.1 qmn qm qn
C .1 qmn qm qn
D.不 能 确 定
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3.在等比数列an和等差数列bn中,a1 b1 0,
a3 b3 0, a1 a3 ,则a5与b5的大小关系为( A ) A.a5 b5 B.a5 b5 C,a5 b5 D.不能确定 4.设0 a b 1,则a b,2 ab,a2 b2,2ab中最大的值是(B )
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论 成立的充分条件) 知
用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有…… 只需证明命题B2为真,从而有……
…… 只需证明命题A为真. 而已知A为真,故B必真.
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例3 求证 2 7 3 6
证明 : 2 7和 3 6都是正数, 所以要证 2 7 3 6, 只需证( 2 7 )2 ( 3 6)2 , 展开得9 2 14 9 2 18, 只需证 14 18, 只需证14 18,14 18成立, 所以 2 7 3 6成立.
ba
ba
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(2)分析法
从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至 所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公 理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立, 这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和 证明方法.
用分析法证明不等式的逻辑关系
B B1 B2 Bn A 结 (步步寻求不等式 已
bm b
a m a m(b a) b m b b(b m)
b ab a 0,又a,b,m都是正数,
m(b a) 0,b(b m) 0
m(b a) 0 即 a m a 0 a m a
b(b m)
bm b
bm b
4
(2)作商比较法
例3 已知a,b是正数,求证aabb abba ,
a b c
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am bm cm
2.已 知 实 数x, y, z不 全 为 零， 求 证：
x2 xy y2
y2 yz z2
z2
zx
x2
3 (x
y
z)
2
证明： x2 xy y2 ( x y )2 3 y2 ( x y )2
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2
x y x y
2
2
同理可得 y2 yz z2 y z , z2 zx x2 z x
求证: a b c am bm cm
证明 : 设函数f ( x) x 1 m ( x 0, m 0),
xm
xm
易知f ( x)在(0,)上是增函数.
f (a) f (b) a b a b am bm abm abm
a b f (a b) abm
又a b c, f (a b) f (c) c cm
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例4 已知a,b,c 0,求证a2b2 b2c2 c2a2 abc abc
分 析: 要 证 的 不 等 式 可 化 为 a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c) 观 察 上 式, 左 边 各 项 是 两 个 字 母平的方 之 积, 右 边 各 项 涉 及 三 个 字 ,母可 以 考 虑 用 x2( y2 z2 ) 2x2 yz
2
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二、综合法与分析法
(1)综合法
在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性 质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明 的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种 证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法.
用综合法证明不等式的逻辑关系
由于a,b,c不全相等, 所以上述三个式子中至少有一个不 取等号, 把它们相加得 a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
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例2 已知a1,a2 ,,an R , 且a1a2 an 1, 求证(1 a1)(1 a2 )(1 an ) 2n
证明 : a1 R ,1 a1 2 a1 , 同理1 a2 2 a2 ,,1 an 2 an a1,a2 ,,an R ,由不等式的性质,得 (1 a1)(1 a2 )(1 an ) 2n a1a2 an 2n. ai 1时,1 ai 2 ai 取等号, 所以原式在a1 a2 an 1时取等号.
这与已知条件x y 2矛盾.
1 x 与 1 y 中至少有一个小于2
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y
x
例2 已知a,b,c为实数,a b c 0,ab bc ca 0, abc 0,求证: a 0,b 0,c 0.
证明 : 假设a,b,c不全是正数,即其中至少有一个不是正数, 不妨先设a 0,下面分a 0和a 0两种情况讨论. (1)如果a 0,则abc 0,与abc 0矛盾, a 0不可能. (2)如果a 0,那么由abc 0可得bc 0, 又a b c 0, b c a 0,于是ab bc ca a(b c) bc 0, 这和已知ab bc ca 0相矛盾. a 0也不可能. 综上所述a 0,同理可证b 0,c 0, 所以原命题成立.
通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有 较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、 缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较 强的一种证法.
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例3 已 知a,b,c,d R ,求 证
1 a b c d 2 abd bca cdb dac
证明: a,b,c,d 0,
bm
解 : 可 以 把 上 述 事 实 抽 象如 成下 不 等 式 问 题: 已 知a,b, m都 是 正 数,并a b且,则 a m a
bm b
3
解 : 可 以 把 上 述 事 实 抽 象如 成下 不 等 式 问 题:
已 知a,b, m都 是 正 数,并a b且,则 a m a
下面给出证明
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例4 已知a,b是实数,求证 a b a b . 1 ab 1 a 1 b
证明: 0 a b a b
ab
1
1
1
1
ab
1 ab
1 ab
1 a b 1 a b
a
b
a
b
.
1 a b 1 a b 1 a 1 b
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补充例题: 1.已 知ABC的 三 边 长 是a,b,c, 且m为 正 数,
A.a2 b2
B.a b
C .2ab
D.2 ab
5.设P a2b2 5,Q 2ab a2 4a,若P Q,则实数a,b
满足的条件为_a_b___1或__a_b 2
6.若0
a
b
1,
P
log1
a
2
b
,Q
1 2
(l og1
a
log1
b),
2
2
2
M log1 (a b),则P,Q, M的大小关系是_Q_>_P__>_M____
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一、比较法 (1)作差比较法 例1 已知a,b都是实数,且a b,求证a3 b3 a2b ab2
证明: (a3 b3 ) (a2b ab2) (a3 a2b) (ab2 b3)
a2(a b) b2(a b) (a2 b2)(a b)
(a b)(a b)2 a,b 0,a b 0 又a b(a b)2 0
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利用综合法证明不等式时, 应注意对已证 不 等 式 的 使 用, 常 用 的 不 等 式 有:
(1)a2 0;
(2) a 0;
(3)a2 b2 2ab;它的变形形式又有
(a
b)2
a2 4ab;
b2
a
b 2
2 2
(4) a b ab;它的变形形式又有 2
ab
ab
2(ab 0); 2(ab 0)
a
a a
abcd abd ab
b
b b
abcd bca ab
c
c c
abcd cdb cd
d
d d
abcd dac cd
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把以上四个不等式相加 得 abcd a b c d abcd abd bca cbd dac
abcd. 即 ab cd
1 a b c d 2 abd bca cba dac
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反证法主要适用于以下两种情形 (1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件 推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.
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(2)放缩法 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或 缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确 或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达 到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.
A B1 B2 Bn B
(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)
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例1 已知a,b,c 0, 且不全相等, 求证a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
证明: b2 c2 2bc,a 0,a(b2 c2) 2abc c2 a2 2ac,b 0,b(c2 a2) 2abc a2 b2 2ab,c 0,c(a2 b2) 2abc
2(a2b2 b2c2 c2a2 ) 2a2bc 2b2ac 2c2ab
a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c)
又a,b,c 0, a b c 0, 1 0, abc
故 a2b2 b2c2 c2a2 abc
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abc
三、反证法与放缩法
(1)反证法 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件, 应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命 题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实等)矛 盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这 种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题 常常用反证法证明.
故(a b)(a b)2 0即(a3 b3) (a2b ab2) 0
a3 b3 a2b ab2
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例2 如 果 用akg白 糖 制 出bkg糖 溶 液,则 其 浓 度 为a , b
若 在 上 述 溶 液 中 再 添m加kg白 糖,此 时 溶 液 的 浓 度 增 加 到a m ,将 这 个 事 实 抽 象 为 数问学题,并 给 出 证 明.
当且仅当a b时,等号成立.
证明
:
aabb abba
aabbba
a ab b
根 据 要 证 的 不 等 式 的点 特(交 换a,b的 位 置, 不 等 式 不 变)
不 妨 设a b 0,则 a 1,a b 0, a ab 1
b
b
当 且 仅 当a b时,等 号 成 立.
aabb abba ,当且仅当a b时,等号成立. 5
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例1 已 知x, y 0, 且x y 2,
试 证1 x , 1 y 中 至 少 有 一 个 小 于2. yx
证明 : 假设 1 x , 1 y 都不小于2, yx
即 1 x 2, 且 1 y 2,
y
x
x, y 0,1 x 2 y, 1 y 2 x,
2 x y 2( x y) x y 2,
6
补充练习:
1.已 知a, b, c, d都 是 正 数, 且bc ad,
则 a , a c , a 2c , c 中 最 大 的 是( D ) b b d b 2d d
A. a b
B. a c bd
C . a 2c
D. c
b 2d
d
2.若q 0, 且q 1, m, n N ,则1 qmn与qm qn
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例4 已知a,b,c 0,求证a2b2 b2c2 c2a2 abc abc
证明 : b2 c2 2bc,a2 0, a2(b2 c2 ) 2a2bc
c2 a2 2ac,b2 0, b2(c2 a2 ) 2b2ac
a2 b2 2ab,c2 0, c2(a2 b2 ) 2c2ab