219455633_贝叶斯正则化在球面等效源法中的应用研究

第３８卷第２期２０２３年４月
安㊀徽㊀工㊀程㊀大㊀学㊀学㊀报J o u r n a l o fA n h u i P o l y t e c h n i cU n i v e r s i t y V o l ．３８N o ．２A p
r ．２０２３文章编号:１６７２Ｇ２４７７(２０２３)０２Ｇ００８９Ｇ０６收稿日期:２０２２Ｇ０６Ｇ２０㊀基金项目:国家自然科学基金资助项目(６１４７１００３);安徽省教育厅自然科学基金资助项目(K J ２０２０A ０４８４);安徽高校学科(专业)拔尖人才学术基金资助项目(G X B J Z D ２０２１０６６)作者简介:赵㊀越(１９９８Ｇ),女,安徽池州人,硕士研究生.通信作者:张学勇(１９７４Ｇ
),男,安徽合肥人,教授,博士.贝叶斯正则化在球面等效源法中的应用研究
赵㊀越１,２,张学勇１,
２,３∗(１．安徽建筑大学数理学院,安徽合肥㊀２３０６０１;２．安徽省建筑声环境重点实验室,安徽合肥㊀２３０６０１;３．安徽建筑大学声学研究所,安徽合肥㊀２３０６０１)摘要:为拓宽空心球阵列的应用场景,提高三维空间声场重构精度,本文开展空心球阵列结合球面等效源方法
的声场重建研究.在近场条件下,由空心球阵列采集到三维空间的声场信息,结合球面等效源法,对声场重构
中存在的逆问题所常用的广义交叉验证正则化参数选择方法,提出贝叶斯正则化,并利用MA T L A B 对两种
正则化方法的重建结果进行对比.分别探讨了两种正则化方法在不同声源距离㊁声源频率㊁重构球面半径和
信噪比情况下对声场重建精度的影响.结果表明,贝叶斯正则化在基于空心球阵列的三维空间声场重建中具
有明显优势.
关㊀键㊀词:空心球阵列;等效源法;贝叶斯正则化;广义交叉验证;球面近场声全息
中图分类号:O ４２９㊀㊀㊀㊀文献标志码:A
声场重构是噪声源精准识别与定位的关键技术[１],目前声场重构技术一般是由所选择的麦克风阵列和声全息方法结合实施[２].空心球阵列[３]测量成本低且与测量声场之间的相互作用小.基于球面等效源
法(S p h e r i c a l E q u i v a l e n t S o u r c eM e t h o d ,S ＧE S M )[４]的近场声全息技术[５]不仅扩大了声场重建区域,同时适用于任何声源结构,对三维空间声场重构精度更高.但在运用S ＧE S M 时,
等效源数目远大于阵列传声器数目,这导致运用等效源强信息进行声场重构时,传递矩阵条件数过大,使矩阵方程不适定,为了得到不
适定逆问题的精确解,通常需要加入正则化方法.经典T i k h o n o v 正则化方法[６]的核心是最优正则化参
数的选取[７],其参数的选取方法有l Ｇc u r v e 法[８]㊁B a y
e s i a n 正则化[９]和广义交叉验证(G e n e r a l i z e dC r o s s V a l i d a t i o n ,G C V )[１０]等.近年来,李敏宗等[２]在三维封闭空间中采用T i k h o n o v 正则化方法结合G C V 准
则作为声场重构的最优正则化参数处理方式;平国力等[４,９]将B a y e s i a n 正则化㊁l Ｇc u r v e 曲线法㊁G C V 和H a l d 正则化公式在基于等效源法的近场声全息中进行比较,总结了B a y e s i a n 正则化的优越性.本文采用空心球阵列结合S ＧE S M 实现三维空间声场重构,通过MA T L A B 仿真比较了G C V 和B a y e s i a n 正则化参数选择方法在不同声源距离㊁声源频率㊁重构球面半径和信噪比下的三维空间声场重建精度,结果表明B a y
e s i a n 正则化参数选择方法在三维空间声场重建性能上具有优越性
.图１㊀笛卡尔坐标系与球坐标系关系图１㊀声场重建基本理论１．１㊀空心球阵列测量理论
在笛卡尔坐标系中,空间中任意一点用(x ,y ,
z )表示;在球坐标系中,以空心球阵列的中心为坐标原点,任意一点的位置可用(r ,θ,φ)表示.其中r 表示该点到原点的距离,
θ(０＜θ＜π)为仰角,φ(０＜φ＜２π)为方位角.具体的关系如图１所示.在球坐标系下,球面上的任何压力分布都可以展开为正交球
面谐波之和,即通用的球谐函数,其表达式为:
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Y m n(θ,φ)＝(２n＋１)(n－m)!
４π(n＋m)!P m n(c o sθ)e j mφ,(１)式中,m为球谐函数的阶;n为球谐函数的次;P m n为m阶n次的连带勒让德函数;e j mφ为时间因子,j＝－１.
对于空心球形传声器阵列,各传声器按近似均匀分布,等距离的固定在阵列球面上,测量声源所辐射的声场信息[３].在三维空间中,将空心球阵列中心处于球坐标系原点处,并在模型假设中忽略阵列对声场的影响.对于(r s,θs,φs)处的单极子点声源所辐射的入射波,此时位于空间中任意一点处的声压可表示为[２,１１]:
p(r)＝－i k２ρc Q sðNңɕn＝０j n(k r)h n(k r)ðn m＝－n Y m n(θ,φ)Y m n(θs,φs)∗,(２)式中,r＝(r,θ,φ)为空间中任一点的坐标;k为波数,即角频率与声速c之比;ρ为介质的密度;Q s为入射波强度;j n( )为第一类球贝塞尔函数;h n( )为第一类球汉克尔函数;( )∗为复共轭;N为球谐函数的截止项数,已有研究表明[２],基于６４通道的空心球阵列,在中低频时最优截止项数取７,可得到良好的重构性能.１．２㊀基于SＧE S M的近场声全息理论
在近场声全息理论中,等效源法结合空心球形传声器阵列的声场重构组合称为球面等效源法.其等效源强的求解通过阵列采集的声压数据和传递函数求出.在三维空间中,假设阵列对声场不产生影响,则由球面等效源法可得阵列表面上任一点的声压为:
p(r)＝jρc kðY i＝１q(r i)G(r,r i),(３)式中,ρ表示空气密度;q(r i)为(r e,θe,φe)处的第i个等效源强度;G(r,r i)为自由场格林函数[１２].其球谐函数扩展形式为:
G(r,r i)＝e j k|r－r i|
４π|r－r i|＝－j kðɕn＝０ðn m＝－n j n(k r)h n(k r i)Y m n(Ω)Y m n(Ωi)∗,(４)通过在阵列上布置X个采样点,在声源内部或背离声源表面放置Y个等效源,此时全息面上所测得声压的矩阵表达式为:
P h＝G Q,(５)式中,P h为阵列上X个传声器所测声压组成的列向量;Q为Y个等效源强所组成的列向量;G为传递矩阵[１３].
而在实际测量过程中,等效源数量往往多于阵列数目,即Y＞X,这使得上述方程是欠定的,故在声源重构这一逆问题中,会导致解的不适定性,为解决这一问题.重构过程中运用T i k h o n o v正则化方法[６],此时上述方程的正则化解可表示为:
Q＝(G H G＋λ２I)－１G H P h,(６)式中,λ为需要求解的正则化参数;I为单位矩阵.
基于以上形式,需对传递矩阵G进行奇异值分解,即:
G＝U(XˑX)S(XˑY)V(YˑY),(７)式中,S为包含X个奇异值的矩阵;U为X阶酉矩阵;V为Y阶酉矩阵;将其带入上式中,等效源强度的正则化解可表示为:
Q＝V(S H S＋λ２I)－１S H U H P h,(８) T i k h o n o v正则化方法的核心是正则化参数λ的选取.对于三维空间的声场重构,B a y e s i a n正则化和G C V都可用来进行正则化参数的选取,为得到最优正则化参数,需对这两种方法进行比较[７].１．３㊀正则化参数选择理论
(１)G C V.在基于G C V的T i k h o n o v正则化方法中,假设全息面上的阵列点均不参与重建计算,此时构造的G C V函数为[７]:
G(λ)＝ (G(G H G＋λI)－１G H－I)P h ２２
(T r(I－G(G H G＋λI)－１G H))２,(９)
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式中,T r 为矩阵的迹,G C V 是一种后验误差估计方法,正则化参数λ在G (λ)取最小值时达到最优.(２)B a y e s i a n 正则化.B a y e s i a n 正则化的关键思想是将正则化设想为引入先验信息,以补偿测量过程中造成的信息损失.在贝叶斯方法的理论背景下,正则化参数的估计值通过极大化边际似然函数来获得.其最优正则化参数的选取方法是通过对联合概率密度函数边际化得到其最大化后验概率密度函数
[λ２|p ],即:[λ２
|p ]ɖðX x ＝１(U H P h )２s ２x ＋λ２æèçöø÷X －２ᵑX x ＝１
(s ２x ＋λ２))－１,(１０)再对其取负对数,此时得到正则化参数的成本函数为[４]:λ２＝A r g m i n J (λ２)＝ðX x ＝１l n (s ２x ＋λ２)＋(X －２)l n １X ðX
x ＝１|U H P h |s ２x ＋λ２æèçöø÷éëêêùûúú,(１１
)正则化参数λ在J (λ２)取最小值时达到最优.２㊀仿真实验与分析
为探究B a y e s i a n 正则化在三维空间声场重构中是否具有优越性和较佳的稳健性,本节通过数值仿真,比较在近场条件下,基于空心球阵列的球面等效源法中正则化参数选择方法:G C V 和B a y e s i a n 正则化,在不同声源距离㊁声源频率㊁重构球面半径和信噪比下的重建性能.并通过相对误差来评价G C V 和B a y e s i a n 正则化的重建性能.定义相对误差为:e r r ＝
P １－P ２ ２ P １ ２ˑ１００％,(１２)式中,P １为重建面上的理论声压;P ２为重建面上的重建声压.
２．１㊀声源距离和频率对重建结果的影响
(１)仿真条件.通过布置一个体积速度为１０－４m ３/s 的单极子点声源位于源面中心,设置源面中心分别距坐标原点０ ４８㊁０ ５８㊁０ ６８m 处,声源频率在１００~４０００H z 以１００H z 为步长进行仿真;
声源的辐射声场采用一空心球阵列测量,该阵列有６４个传声器,
各传声器之间按照近似均匀分布,等距离地布置在半径为０ ３８m 的球面上,并以阵列中心为坐标原点;等效源面由２１ˑ２１个等效点源组成,
近似均匀地分布在源面后方０ ０１m 处(避免计算出现奇异);重建面位于空心球阵列与等效源面之间,据阵列中心０ ３８m
处.在实际测量过程中,可能存在由各个方面带来的噪声影响,故仿真时加入３０d B 的高斯白噪声.
(２)仿真结果及分析.当声源位置分别位于０ ４８㊁０ ５８㊁０ ６８m 处时,G C V 和B a y e s i a n 正则化在不同声源频率下的重建误差如图２~４所示.从仿真结果可以看出,声源频率在１２００H z 以下时,G C V 和B a y e s i a n 正则化均保持良好的重建结果,相对误差均保持在５％以下.随着声源距离的增大㊁频率的增加,相对误差也随之增大,这验证了S ＧN A H 适用于小全息和中低频环境下的声场重建.总体来看,
B a y e s i a n 正则化的重建结果较G
C V 波动幅度小㊁重建误差更小,重建性能也更优异.B a y e s i a n 正则化在整个频段内重建误差均保持在１４％以下,
并且随着频率的增大逐渐趋于稳定,可见该方法稳健性较佳.图２㊀声源位置位于０ ４８m 处图３㊀声源位置位于０ ５８m 处
１９ 第２期赵㊀越,等:贝叶斯正则化在球面等效源法中的应用研究Copyright ©博看网. All Rights Reserved.
㊀㊀㊀图４㊀声源位置位于０ ６８m 处
２．２㊀重构球面半径对重建结果的影响(１)仿真条件.在２．１(１)的基础上,选取声源频率为１０００H z 和２０００H z 时;
设置源面中心分别距坐标原点０ ４８m 和０ ５８m 处;
重建面位于空心球阵列与等效源面之间,分别据阵列中心０ ３８~０ ４８m 和０ ３８~０ ５８m 以
０ ０１m 为步长进行仿真.
(２)仿真结果及分析.在固定声源位置和声源频率下,G C V 和B a y e s i a n 正则化在不同重构球面半径下的重建误差如图５~８所示.从仿真结果可以看出,当声源位置相同
时,声源频率越高,重建误差越大;声源频率相同时,随着重
构球面半径的增大,重建误差呈现上升趋势,并在靠近声源处,呈现下降趋势.综合看来,在低频近场条件下,G C V 和B a y
e s i a n 正则化参数选择方法的重建结果均达到最佳.相比而言,B a y e s i a n 正则化在每个条件下的重建相对误差均比G C V 的小,这体现出了B a y
e s Ｇi a n 正则化较G C V 的优越性.图５㊀声源位置位于０ ４８m 处,
f ＝１０００H z 图６㊀声源位置位于０ ４８m 处,f ＝２０
００H
z 图７㊀声源位置位于０ ５８m 处,f ＝１０００H z 图８㊀声源位置位于０ ５８m 处,f ＝２０００H z ２．３㊀信噪比对重建结果的影响(１)仿真条件.在２．１(１)和２．２(１)的基础上,选取声源频率为８００H z 时;
设置源面中心距坐标原点０ ４８m 处;重建面据阵列中心０ ３８m 处.信噪比设置为２０~６０d B 以５d B 为步长增长,
并选取信噪比分别为２０d B 和６０d B 时,理论与重建结果进行比较.(２)仿真结果及分析.不同信噪比下两种参数选择方法相对误差如表１所示.由表１可以看出,在低频近场条件下,随着信噪比的升高,重建误差逐渐减小,这是因为信噪比越高时,抑制噪声的能力就越强,重建效果也就越好.在２０d B 和６０d B 时理论声压级与两种方法重建声压级分别见图９㊁１０和图１１~１４,
可见在高信噪比条件下,两种正则化参数选择方法的重建结果均良好;而在低信噪比情况下,G C V 重建的性能并不是很稳定,在信噪比越低的时候,效果越不好,B a y e s i a n 正则化较G C V 仍保持一个良好的重建性能.因此,B a y e s i a n 正则化参数选择方法具有明显优势. ２９ 安㊀徽㊀工㊀程㊀大㊀学㊀学㊀报第３８卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.
表１㊀不同信噪比下两种参数选择方法相对误差表(f ＝８００H z )方法
信噪比２０d B ２５d B ３０d B ３５d B ４０d B
４５d B ５０d B ５５d B ６０d B
G C V /％１．８１６５１．７５０２１．６９１７１．６３１８１．５２３２１．４９１１１．３７１５１．２３１８１．０５５８B a y e s i a n 正则化/％１．２７８０１．２５１４１．１６７８１．１５２３１．１４７５１．０７１００．９８０１０．９３２７０．８８２９图９㊀６０d B 时理论声压级图１０㊀２０d B
时理论声压级
图１１㊀６０d B 时G C V 重建声压级图１２㊀２０d B 时G C V
重建声压级
图１３㊀６０d B 时B a y e s i a n 重建声压级图１４㊀２０d B 时B a y
e s i a n 重建声压级３㊀结论
通过空心球阵列结合球面等效源方法,验证了运用G C V 和B a y
e s i a n 正则化参数选择方法的三维空间声场重建结果.仿真和实验结果表明,在不同声源距离和声源频率以及在不同重构球面半径和信噪比情况下,应用B a y e s i a n 正则化都比G C V 声场重建结果好,稳健性也更佳.因此,将B a y e s i a n 正则化应用到基于空心球阵列的三维声场重建中,更具优越性.随着研究的深入,也可以应用到更多的场景,这将进一步拓宽空心球阵列的应用范围.
３９ 第２期赵㊀越,等:贝叶斯正则化在球面等效源法中的应用研究
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S p h e r i c a l E q u i v a l e n t S o u r c eM e t h o d
Z H A O Y u e１,２,Z H A N G X u e y o n g１,２,３
(１．S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s,A n h u i J i a n z h uU n i v e r s i t y,H e f e i２３０６０１,C h i n a;
２．K e y L a b o r a t o r y o fA r c h i t e c t u r a lA c o u s t i cE n v i r o n m e n t o fA n h u i,H e f e i２３０６０１,C h i n a;
３．I n s t i t u t e o fA c o u s t i c s,A n h u i J i a n z h uU n i v e r s i t y,H e f e i２３０６０１,C h i n a)
A b s t r a c t:I no r d e r t ob r o a d e n t h e a p p l i c a t i o n so f o p e nＧs p h e r ea r r a y sa n d i m p r o v e t h e s o u n d f i e l dr e c o nＧs t r u c t i o na c c u r a c y o f t h r e eＧd i m e n s i o n a l s p a c e,t h e s o u n d f i e l dr e c o n s t r u c t i o n m e t h o do f o p e nＧs p h e r ea rＧr a y s c o m b i n e d w i t hs p h e r i c a l e q u i v a l e n ts o u r c e m e t h o di sa d o p t e d．U n d e rt h en e a rＧf i e l dc o n d i t i o n,t h e s o u n d f i e l d i n f o r m a t i o n i n t h r e eＧd i m e n s i o n a l s p a c e i s c o l l e c t e db y t h e o p e nＧs p h e r e a r r a y s,c o m b i n e dw i t h t h e s p h e r i c a l e q u i v a l e n t s o u r c em e t h o d,
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