鲁教版九年级数学上册第二章直角三角形的边角关系 4
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A
D
A． 1 3
B
B． 2 1
E
C． 2 3
C
D． 1 4
2、在△ABC 中， AB 12 2 ， AC 13 ， cos B 2 ，则 BC 边长为（ ） 2
A．7
B．8
C．8 或 17
D． 7 或 17
角形的其他元素．
【变式 1．1】
在 Rt ABC 中，∠C＝90°，a＝5， b 5 3 ，解这个直角三角形．
【变式 1．2】
在 Rt ABC 中，已知 C 90 ， a 2 3 ， c 4 ，解这个直角三角形．
【 二 探究 已知一条边和一个锐角（两个已知元素中至少有一条边）解直角三角形 】 【例题 2】
B
A
C
一 解直角三角形的几种基本类型列表如下
已知条件
两条边
两条直角边 a 和 b 一条直角边 a 和斜边 c
一条边和一个锐角
一条直角边 a 和锐角 A 斜边 c 和锐角 A
解法
c a2 b2 ， tan A a ， B 90 A b
b c2 a2 ， sin A a ， B 90 A c
【 回答并写出以下问题数 】
如图， Rt ABC 中，∠C＝90°，a、b、c、∠A、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？
Ⅰ 三边之间关系 A
Ⅱ 锐角之间关系
c b
α
Ⅲ 边角之间关系
C
a
B
【 三角形元素之间的关系】 直角三角形除直角外，还有三条边和两个锐角，请问至少知道这五个元素中几个元素，就可以求出其他元素 呢？
【引出概念】
解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中 除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程
1 要解出直角三角形，至少需要除直角外的_____个元素，其中至少有一个是_____． 2 分辨解直角三角形的类型．
【问题 1】在 Rt ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．
5、在 Rt ABC 中 C 90 ，根据下列条件解直角三角形．
（1） b 2 3 ， c 4
（2） c 8， A 60
（3） AC 3 ， AB 2 3
（4） C 90 ， A 30 ， a 2 5
拓展
1、如图，在 ABC 中， BAC 90， AB AC ，点 D 为边 AC 的中点， DE BC 于点 E，连接 BD， 则 tan DBC 的值为（ ）
解直角三角形 求解元素的过程 了解三角形全局特征 边、角
【思考】 直角三角形除直角外，还有三条边和两个锐角，请问至少知道这五个元素中几个元素，就可以求出其他元素 呢？
【 一 探究 已知两条边解直角三角形 】 【例题 1】
在 Rt ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb，c，且 a 15 ， b 5 ，求这个三
B 90 A , a c ， b a
sin A
tan A
B 90 A ， a c sin A， b c cos A
注意
Ⅰ 当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切或余切； Ⅱ 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法； Ⅲ 既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据．
【问题 2】在 Rt ABC 中，∠C=90°， ∠A、 ∠B、 ∠C 的对边分别 a、b、c， a b 4 ， sin A 2 ，解这个直角三角形．
2
【问题 3】在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90°， AB＝8，BD⊥AC 于点 D，cos∠DBC＝0.8，求 AC 的长． B
A
D
C
【问题 4】如图，在△ABC 中，AB＝8，∠A＝30°，∠C ＝135°，求 AC．
在 Rt ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 b 30 ，B 45 求这个三角
形的其他元素（边长精确到 1）．
【变式 2】
在 Rt ABC 中，已知 C 90 ， c 12 ， B 60 ，解这个直角三角形．
通过以上两种类型，我们可以知道 在直角三角形中如果知道其中的 2 个元素（其中至少有一个是边）, 那么就可以求出其余的 3 个未知元素.
解直角三角形
Ⅰ、了解 解直角三角形 的定义，能通过已知条件解直角三角形； Ⅱ、通过本节课的学习，理解直角三角形中五个元素的关系，熟练应用勾股定理、直角三角形两锐角关系、 边角关系解直角三角形，培养自己知识的运用能力和计算能力； Ⅲ、通过学习，渗透数形结合的数学思想，培养运用数学知识分析问题、解决问题的能力； Ⅳ、边角关系的灵活应用；构造直角三角形，把问题转化为直角三角形中的问题来解决问题．
2、在 Rt ABC 中 C 90 ， c 8 ，∠B＝30°，则∠A＝______， a ______， b ______．
3、在 Rt ABC 中 C 90 ，若 A 30 ， b 2 3 ，则∠B＝______， c ________． 4、在 Rt ABC 中 C 90 ，， b 2 21 ，则 c ________， tan B ______．
二 解非直角三角形的方法 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是：
Ⅰ 作垂线构成直角三角形； Ⅱ 利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边.
1、下列直角三角形中不能求解的是（ ） A．已知一直角边一锐角 C．已知两边
B．已知一斜边一锐角 D．已知两角
D
A． 1 3
B
B． 2 1
E
C． 2 3
C
D． 1 4
2、在△ABC 中， AB 12 2 ， AC 13 ， cos B 2 ，则 BC 边长为（ ） 2
A．7
B．8
C．8 或 17
D． 7 或 17
角形的其他元素．
【变式 1．1】
在 Rt ABC 中，∠C＝90°，a＝5， b 5 3 ，解这个直角三角形．
【变式 1．2】
在 Rt ABC 中，已知 C 90 ， a 2 3 ， c 4 ，解这个直角三角形．
【 二 探究 已知一条边和一个锐角（两个已知元素中至少有一条边）解直角三角形 】 【例题 2】
B
A
C
一 解直角三角形的几种基本类型列表如下
已知条件
两条边
两条直角边 a 和 b 一条直角边 a 和斜边 c
一条边和一个锐角
一条直角边 a 和锐角 A 斜边 c 和锐角 A
解法
c a2 b2 ， tan A a ， B 90 A b
b c2 a2 ， sin A a ， B 90 A c
【 回答并写出以下问题数 】
如图， Rt ABC 中，∠C＝90°，a、b、c、∠A、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？
Ⅰ 三边之间关系 A
Ⅱ 锐角之间关系
c b
α
Ⅲ 边角之间关系
C
a
B
【 三角形元素之间的关系】 直角三角形除直角外，还有三条边和两个锐角，请问至少知道这五个元素中几个元素，就可以求出其他元素 呢？
【引出概念】
解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中 除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程
1 要解出直角三角形，至少需要除直角外的_____个元素，其中至少有一个是_____． 2 分辨解直角三角形的类型．
【问题 1】在 Rt ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．
5、在 Rt ABC 中 C 90 ，根据下列条件解直角三角形．
（1） b 2 3 ， c 4
（2） c 8， A 60
（3） AC 3 ， AB 2 3
（4） C 90 ， A 30 ， a 2 5
拓展
1、如图，在 ABC 中， BAC 90， AB AC ，点 D 为边 AC 的中点， DE BC 于点 E，连接 BD， 则 tan DBC 的值为（ ）
解直角三角形 求解元素的过程 了解三角形全局特征 边、角
【思考】 直角三角形除直角外，还有三条边和两个锐角，请问至少知道这五个元素中几个元素，就可以求出其他元素 呢？
【 一 探究 已知两条边解直角三角形 】 【例题 1】
在 Rt ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb，c，且 a 15 ， b 5 ，求这个三
B 90 A , a c ， b a
sin A
tan A
B 90 A ， a c sin A， b c cos A
注意
Ⅰ 当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切或余切； Ⅱ 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法； Ⅲ 既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据．
【问题 2】在 Rt ABC 中，∠C=90°， ∠A、 ∠B、 ∠C 的对边分别 a、b、c， a b 4 ， sin A 2 ，解这个直角三角形．
2
【问题 3】在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90°， AB＝8，BD⊥AC 于点 D，cos∠DBC＝0.8，求 AC 的长． B
A
D
C
【问题 4】如图，在△ABC 中，AB＝8，∠A＝30°，∠C ＝135°，求 AC．
在 Rt ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 b 30 ，B 45 求这个三角
形的其他元素（边长精确到 1）．
【变式 2】
在 Rt ABC 中，已知 C 90 ， c 12 ， B 60 ，解这个直角三角形．
通过以上两种类型，我们可以知道 在直角三角形中如果知道其中的 2 个元素（其中至少有一个是边）, 那么就可以求出其余的 3 个未知元素.
解直角三角形
Ⅰ、了解 解直角三角形 的定义，能通过已知条件解直角三角形； Ⅱ、通过本节课的学习，理解直角三角形中五个元素的关系，熟练应用勾股定理、直角三角形两锐角关系、 边角关系解直角三角形，培养自己知识的运用能力和计算能力； Ⅲ、通过学习，渗透数形结合的数学思想，培养运用数学知识分析问题、解决问题的能力； Ⅳ、边角关系的灵活应用；构造直角三角形，把问题转化为直角三角形中的问题来解决问题．
2、在 Rt ABC 中 C 90 ， c 8 ，∠B＝30°，则∠A＝______， a ______， b ______．
3、在 Rt ABC 中 C 90 ，若 A 30 ， b 2 3 ，则∠B＝______， c ________． 4、在 Rt ABC 中 C 90 ，， b 2 21 ，则 c ________， tan B ______．
二 解非直角三角形的方法 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是：
Ⅰ 作垂线构成直角三角形； Ⅱ 利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边.
1、下列直角三角形中不能求解的是（ ） A．已知一直角边一锐角 C．已知两边
B．已知一斜边一锐角 D．已知两角