甘肃省2021-2022高二数学上学期期中试题(含解析)

2021-2022高二数学上学期期中试题（含解析）
一、选择题：（每题5分，共60分）
1.已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与y 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的标准方程为（ ）． A. 22(1)(1)8x y -++= B. 22
(1)2x y ++= C. 2
2
(1)8x y +-= D. 2
2
(1)2x y +-=
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，求出圆心和半径，即求圆的方程. 【详解】
圆C 的圆心是直线10x y -+=与y 轴的交点，()0,1C ∴.
又圆C 与直线30x y ++=相切，r ∴==圆C 的标准方程为()2
218x y +-=. 故选：C .
【点睛】本题考查圆的标准方程，属于基础题.
2.掷一枚均匀的硬币3次，出现正面向上的次数恰好为两次的概率为（ ）． A.
1
4
B. 38
C.
12
D.
58
【答案】B 【解析】 【分析】
利用列举法求出所有不同的结果，再求出满足条件的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求出概率.
【详解】掷一枚均匀的硬币3次，共有8种不同的情形：
正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反. 其中满足条件的有3种情形： 正正反，正反正，反正正.
所以出现正面向上的次数恰好为两次的概率为38
P =. 故选：B .
【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.
3.某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )
A. 6?i >
B. 7?i >
C. 6?i ≥
D. 5?i ≥
【答案】A 【解析】
试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是2362222++++，所以判断框中应该填
i>6?.
考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.
点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.
4.由直线y =x +1上一点向圆（x -3）2
+y 2
=1 引切线，则该点到切点的最小距离为（ ） A. 1 7
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．
【详解】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，
显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．
故选B ．
【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，考查转化的数学思想，是基础题． 5.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一
个红球”
C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D. “至少有一个黑球”与“都是红
球” 【答案】C 【解析】
分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．
详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，
在A 中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A 错误； 在B 中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；
在C 中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生， 但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C 正确；
在D 中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D 错误． 故答案为：C
点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.
6.直线:10l mx y m -+-=与圆C ：2
2
(1)5x y +-=的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由直线:10l mx y -+=，得()10y m x -=-，因此直线l 恒过点()0,1，又点()0,1是圆C 的圆心，所以直线l 与圆C 的位置关系是相交.故正确答案为A. 考点：直线与圆
7.如表提供的是两个具有线性相关的数据，现求得回归方程为ˆ0.70.35y
x =+，则t 等于（ ）．
A. 4．5
B. 3．5
C. 3．15
D. 3
【答案】D 【解析】 【分析】
回归直线过样本中心点()
,x y ，由表格求出,x y ，代入回归方程即得.
【详解】因为回归直线过样本中心点()
,x y ，回归方程为ˆ0.70.35y
x =+， 由表格可得3456 2.54 4.5114.5,444
t t
x y +++++++=
===， 代入回归方程可得110.7 4.50.35,34
t
t +=⨯+∴=. 故选：D .
【点睛】本题考查线性回归，属于基础题.
8.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）． A.
1
10
B.
15
C.
35
D.
25
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出基本事件总数5525n =⨯=，再用列举法求出“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式，即得概率. 【详解】记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A .
从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则基本事件总数为5525n =⨯=， 事件A 包含的基本事件有：
()()()()()()()()()()2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,5,4共10个.
所以事件A 的概率为()102
255
P A ==. 故选：D .
【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.
9.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）
A. 73.3，75，72
B. 72，75，73.3
C. 75，72，73.3
D. 75，73.3，72
【答案】B 【解析】 【分析】
根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,
平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
众数为最高矩形底边的中点,即75
中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010
701073.30.030
+⨯
≈
综上可知,B 为正确选项 故选:B
【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10.已知正方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在球O 表面上，在球O 内任取一点M ，则点M 在正方体内的概率是（ ）．
A.
4π
D.
3π
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意求出正方体的体积和球的体积，比值即为所求的概率.
【详解】记“在球O 内任取一点M ，则点M 在正方体内”为事件A . 设正方体的棱长为a
，则外接球的直径2,r r =∴=
， 则事件A 的概率为
(
)3
3
43a P A π=
=
⎫⎪⎝⎭
.
故选： D .
【点睛】本题考查几何概型，属于基础题.
11.圆1C ：2
2
(1)(3)9x y -+-=和2C ：2
2
(2)1x y +-=，M ，N 分别是圆1C ，2C 上的点，
P 是直线1y =-上的点，则PM PN +的最小值是( )
A. 4?
1
C. 6-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先求得圆1C 关于1y =-的对称的圆的性质，然后将问题转化为三点共线的问题求解最值即可.
【详解】圆1C 关于1y =-的对称圆的圆心坐标()1,5A -，半径为3，
圆2C 的圆心坐标()0,2，半径为1，
由图象可知当P ，2C ，3C ，三点共线时，PM PN +取得最小值，
PM PN +的最小值为圆3C 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，
即：23144AC --=． 本题选择A 选项.
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）． A. 16，26，8 B. 17，24，9
C. 16，25，9
D. 17，25，
8 【答案】D 【解析】 【
分析】
由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而求出三个营区被抽中的人数.
【详解】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，记为{},n a n N +∈，其中13a =，公差12d =，则第n 个号()11129n a a n d n =+-=-.
令200n a ≤，即5
129200,1712n n -≤∴≤，所以第一营区抽17人； 令500n a ≤，即5
129500,4212
n n -≤∴≤，所以第二营区抽421725-=人；
三个营区共抽50人，所以第三营区抽5017258--=人.
故选： D .
【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题.
二、填空题（每题5分，共20分）
13.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为___．
【答案】 【解析】 【分析】
两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．
【详解】圆2
2
40x y +-=与圆2
2
44120x y x y +-+-=的方程相减得：20x y -+=， 由圆2
240x y +-=的圆心()0,0，半径r 为2，
且圆心()0,0到直线20x y -+=
的距离d =
=，
则公共弦长为==
故答案为．
【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键． 14.总体是由编号为01,02,…19,2021
个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．
【答案】01 【解析】 【分析】
根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
【详解】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，19， 01，04．（去掉重复）． 可知对应的数值为08，02，14，19，01，
则第5个个体的编号为01． 故答案为01．
【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．
15.已知()0,0O ，()2,2A -，点M 是圆()()2
2
312x y -+-=上的动点，则OAM ∆面积
的最大值为___． 【答案】6 【解析】 【分析】
先由题意得到OA 的长度，以及直线OA 的方程，再由点到直线距离公式确定点M 到直线
OA 距离的最大值，即可求解.
【详解】如图，由题设，得圆心()3,1C ,半径2r =
，222222OA =+=，
直线OA 的方程为0x y +=，则OAM ∆边OA 上的高h 就是点M 到直线OA 的距离，圆心()3,1C 到直线OA 的距离为31222
d +=
=，可得圆
()()
22
312x y -+-=上的点M 到直线OA 的距离的最大值为max 32h d r =+=，
故OAM ∆面积的
最大值max 11
2232622
S OA h =
⋅=⨯⨯=．答案：6
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，在研究圆上的动点到定直线距离的最大值时，通常求圆心到直线的距离加半径即可，属于中档试题.
16.过点3P （，）作圆2
2
1x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅= . 【答案】
3
2
【解析】
【详解】如图，连接PO ，在直角三角形PAO 中，1,
3,OA PA ==
所以，3
tan
3
APO ∠=
，22
22
31(
)
1tan 13cos 1tan 23
1()3
APO APB APO --∠∠===+∠+，故
133322
PA PB PA PB cos APB ⋅=⋅∠=⨯⨯
=.
考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.
三、解答题（17题10分，18、19、20、21、22每题12分，共70分）
17.某小卖部为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数y 与当天气温（平均温度）/℃x 的对比表：
x
0 1 3 4 y
140
136
129
125
（1）请在图中画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （3）如果某天的气温是5℃，试根据（2）求出的线性回归方程预测这天大约可以卖出的热饮杯数．
参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：1
2
2
1
ˆ
==-=-∑∑n
i i
i n
i
i x y
nxy
b
x
nx ，ˆˆ=-a
y bx ． 参考数据：
01401136312941251023,(140136129125)4132.5⨯+⨯+⨯+⨯=+++÷=． 【答案】（1）散点图见解析；（2）ˆ 3.7139.9y x =-+；（3）121杯.
【解析】 【分析】
（1）根据表中数据，画出散点图即可； （2）根据表中数据，计算44
2
1
1
,,
,i i
i
i i x y x y x
==∑∑，代入公式求出,^^
b a ，写出回归方程；
（3）根据回归方程计算5x =时^
y 的值即可.
【详解】（1）根据表中数据，画出散点图，如图所示；
（2）计算1
(0134)24
x =
⨯+++=， 1
(140136129125)132.54
y =
⨯+++= 又
4
1
1023i i
i x y
==∑，4
21
26i i x ==∑，
∴2
102342132.5ˆ 3.72642
b
-⨯⨯==--⨯，ˆˆ132.5( 3.7)2139.9a y bx =-=--⨯=， 故所求线性回归方程为ˆ 3.7139.9y x =-+； （3）当5x =时，ˆ 3.75139.9121.4121y =-⨯+=≈；预测这天大约可以卖出121杯热饮．
【点睛】本题考查线性回归方程的实际应用，考查学生的计算能力，属于基础题. 18.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图．
9875
842180035
539025
甲乙
（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为选派哪位学生去参加更合适？请说明理由；
（2）求在甲同学的8次预赛成绩中，从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于85分的概率．
【答案】（1）派甲参加比较合适，理由见解析；（2）所有结果见解析，1
5
. 【解析】 【分析】
（1）利用样本数据的平均数和方差的计算公式，求出平均数和方差，比较即可得到结论； （2）利用列举法求出基本事件总数，求出“抽出的2个成绩均大于85分”所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）派甲参加比较合适，理由如下：
1
(70280490298842153)858x =⨯+⨯+⨯++++++++=甲，
1
(70180490353525)858x =⨯+⨯+⨯+++++=乙，
2222222
221(7885)(7985)(8185)(8285)(8485)(8885)(9385)(9585)8
[]
s -+-+-+-+-+-+-+-=甲
35.5=
2
222222221[(7585)(8085)(8085)(8385)(8585)(9085)(9285)(9585)8
]
s =-+-+-+-+-+-+-+-乙
41=，
∵x x =甲乙，22
S S <甲乙，故甲的成绩比较稳定，
（2）从不小于80分的成绩中抽取2个成绩，
所有结果为(81,82)，
(81,84)，(81,88)，(81,93)，(81,95)，(82,84)，(82,88)，(82,93)，(82,95)，(84,88)，(84,93)，(84,95)，(88,93)，(88,95)，(93,95)，共15个，
其中，满足2个成绩均大于85分的有(88,93)，(88,95)，(93,95)，共3个，
故，所求的概率是
31155
=． 【点睛】本题考查茎叶图的实际应用，考查学生的计算能力，属于基础题. 19.已知圆C ：2
2
8140x y y +-+=，直线l 过点()1,1.
（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；
（2）若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，且2AB =，求直线l 的方程. 【答案】（1）760x y --=或20x y +-=；（2）1x =或4370x y +-=. 【解析】 【分析】
（1）确定圆心与半径，利用直线l 与圆C 相切，分类讨论，即可求直线l 的方程； （2
）由2
221d +=
，得1d =，分类讨论，即可求出直线l 的方程.
【详解】（1）圆C ：2
2
8140x y y +-+=，配方得：()2
242x y +-=，
圆心()0,4C
，半径r =
①当直线l
斜率不存在时，l ：1x =，此时l 不与圆相切.
②若直线l 的斜率存在，设l ：()11y k x -=-， 由d =
=得7k =或1-，
所以直线方程为760x y --=或20x y +-=. （2）由2
221d +=
，得1d =，
①若当直线l 的斜率不存在时，l ：1x =，满足题意， ②若直线l 的斜率存在，设l ：()11y k x -=-=1，
得4
3
k =-
，此时l ：4370x y +-=， 综上所述l 方程为1x =或4370x y +-=.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查分类讨论的数学思想，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用，属于中档题.
20.某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分
组，得到的频率分布表如表所示． 组号 分组
频数 频率
第1组
[)160165, 5
0.050
第2组 [)165170, ①
0.350
第3组 [)170175, 30
②
第4组 [)175,180
20
0.200 第5组 [)180185,
10
0.100
（1）请先求出频率分布表中,①②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率．
【答案】（1）①35人，②0.300，直方图见解析；（2）3人、2人、1人；（3）3
5
. 【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第3组的频率，从而完成频率分布直方图．
（2）根据第3,4,5组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数．
（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率． 【详解】（1）①由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人， ②第3组的频率为
30
0.300100
=， 频率分布直方图如图所示，
（2）因为第3,4,5组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第3组：
30
6360⨯=人， 第4组：20
6260⨯=人， 第5组：10
6160
⨯=人， 所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．
（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，
则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：12,A A （），13,A A （），11,A B （），12,A B （），11,A C （），23,A A （），21,A B （），22,A B （），21,A C （），31,A B （），32,A B （），31,A C （），12,B B （），11,B C （），21,B C （），
其中第4组的2位同学12,B B 中至少有一位同学入选的有9种，分别为：
11122122A B A B A B A B （，），（，），（，），（，），
31321211A B A B B B B C （，），（，），（，），（，），21B C （，），
∴第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率为
93
155
=． 【点睛】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．
21.设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．
()1若a 是从0,1,2三个数中任取的一个数,b 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,求上述
方程有实根的概率；
()2若a 是从区间[]0,2任取的一个数,b 是从区间[]0,3任取的一个数,求上述方程有实数的
概率． 【答案】（1）12；（2）1
3
． 【解析】 【分析】
首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a ≥b
（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果所构成的区域为{（a ，b ）|0≤a ≤2，0≤b ≤3}，满足条件的构成事件A 的区域为{（a ，b ）|0≤a ≤2，0≤b ≤3，a ≥b }，根据概率等于面积之比，得到概率．
【详解】设事件A 为“方程有实根”．
当a ＞0，b ＞0时，方程有实根的充要条件为a ≥b
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：
（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）（1，0）（1，1）（1，2）（1，3）（2，0）（2，1）（2，2）（2，3）
其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包含6个基本事件， ∴事件A 发生的概率为P 61
122
=
=；
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结果所构成的区域为{（a ，b ）|0≤a ≤2，0≤b ≤3} 满足条件的构成事件A 的区域为{（a ，b ）|0≤a ≤2，0≤b ≤3，a ≥b }
∴所求的概率是1
22
12
233
⨯⨯=⨯． 【点睛】本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点． 22.已知圆经过点(3,1)A ，(1,3)B -,且它的圆心在直线320x y --=上. （Ⅰ）求圆的方程; （Ⅱ）求圆
关于直线
对称的圆的方程．
（Ⅲ）若点D 为圆上任意一点，且点
,求线段
的中点
的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）2
2
(2)(4)10x y -+-=（Ⅱ）
（Ⅲ）
2255
()(2)22
x y -+-=
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（Ⅱ）求出N （2，4）关于x-y+3=0的对称点为（1，5），即可得到圆N 关于直线x-y+3=0对称的圆的方程；（Ⅲ）首先设出点M 的坐标，利用中点得到点D 坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M 的轨迹方程
试题解析：：（Ⅰ）由已知可设圆心N （a ，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|， 从而有
()()
()()
22
22
33211323a a a a -+--=
++--，解得：a=2．
于是圆N 的圆心N （2，4），半径()()2
2
332110r a a =
-+--=．
所以，圆N 的方程为2
2
(2)(4)10x y -+-=．（5分） （Ⅱ）N （2，4）关于x-y+3=0的对称点为（1，5）， 所以圆N 关于直线x-y+3=0对称的圆的方程为
（9分）
（Ⅲ）设M （x ，y ），D ()11,x y ，则由C （3，0）及M 为线段CD 的中点得：1132
{02
x x y y +=
+=
，解
得1123{
2x x y y
=-=又点D 在圆N ：22
(2)(4)10x y -+-=上，所以有
()()
2
2
2322410x y --+-=，
化简得：()2
255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭． 故所求的轨迹方程为()2
255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭．（13分）
考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系。