海南省海口市灵山中学2020届高三第三次月考数学试题
海南中学2020届高三第三次月考数学试题(含解析)
海南中学2020届高三第三次月考数学试题一、单选题（每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共10小题，满分40分）1.已知集合{}{}1log |,1|22<=<=x x B x x A ，则如图所示阴影部分表示的集合为 （ ）A 、{}11|<<-x xB 、{}10|<<x xC 、{}20|<<x xD 、{}21|<<-x x【解答】A ={x |−1<x <1}, B ={x |0<x <2}∴A ∩B =0<x <1, 【答案】选B.2. 【虚则实之，实则虚之；虚实相生，皆成妙境】若复数1iz i=-，其中是i 虚数单位，则Z = （ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+D ．1122i --【解答】解：由(1)111(1)(1)22i i i z i i i i +===-+--+， ∴1122z i =--． 【答案】选D ．3. 【世界上没有垃圾，只有放错位置的宝藏】2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、 “湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为A ．13B ．23C ．14D ．34【解答】厨房里产生的“湿垃圾”只能丢到放“湿垃圾”的垃圾桶,该上海居民向四个垃圾桶内随意丢垃圾,有四种可能,投放错误有三种结果,故被罚款和行政处罚的概率为3/4. 【答案】选D ．4．【不必仰望别人，自己亦是风景。
生活中幸福的标准不是唯一的，而数学中的实数的大小是确定的,只要你找到了标准】已知3log 4a =，log 3b π=，0.55c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 【解答】1<3log 4a =<2,0 <log 3b π=<1,2<0.55c =,∴b a c <<. 【答案】选D ．5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为A ．32B ．32-C ．23D ．23-【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，816S =，61a =， ∴816187816251S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得1133a =，23d =-，数列{}n a 的公差为23-．【答案】选D ．6．【盛夏季节，我们曾经邂逅相遇；晚秋时分，你可记得我的倩影?】《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”。
海南中学2020届高三第三次月考数学试题(含解析)
海南中学2020届高三第三次月考数学试题一、单选题（每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共10小题，满分40分）1.已知集合{}{}1log |,1|22<=<=x x B x x A ，则如图所示阴影部分表示的集合为 （ ）A 、{}11|<<-x xB 、{}10|<<x xC 、{}20|<<x xD 、{}21|<<-x x【解答】A ={x |−1<x <1}, B ={x |0<x <2}∴A ∩B =0<x <1, 【答案】选B.2. 【虚则实之，实则虚之；虚实相生，皆成妙境】若复数1iz i=-，其中是i 虚数单位，则Z = （ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+D ．1122i --【解答】解：由(1)111(1)(1)22i i i z i i i i +===-+--+， ∴1122z i =--．【答案】选D ．3. 【世界上没有垃圾，只有放错位置的宝藏】2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、 “湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为A ．13B ．23C ．14D ．34【解答】厨房里产生的“湿垃圾”只能丢到放“湿垃圾”的垃圾桶,该上海居民向四个垃圾桶内随意丢垃圾,有四种可能,投放错误有三种结果,故被罚款和行政处罚的概率为3/4. 【答案】选D ．4．【不必仰望别人，自己亦是风景。
生活中幸福的标准不是唯一的，而数学中的实数的大小是确定的,只要你找到了标准】已知3log 4a =，log 3b π=，0.55c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 【解答】1<3log 4a =<2,0 <log 3b π=<1,2<0.55c =,∴b a c <<. 【答案】选D ．5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为A ．32B ．32-C ．23D ．23-【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，816S =，61a =， ∴816187816251S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得1133a =，23d =-，数列{}n a 的公差为23-．【答案】选D ．6．【盛夏季节，我们曾经邂逅相遇；晚秋时分，你可记得我的倩影?】《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”。
海南省海口市灵山中学2020届上学期高三第三次月考试题
海南省海口市灵山中学2020届上学期高三第三次月考试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1等于（ ）A ．iB ．i -C i +D i2．已知向量(3,4),(2,1)a b →→==，若()()a x b a b →→→→+⊥-，则x 等于（ ）A ．3B ．-2C ．D ．-33．若等差数列{}n a 的前5项之和525S =，且23a =，则7a = （ ） A ．12B ．13C ．14D ．154．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =3n +1+a ，n ∈N *，则实数a 的值是（ ） A ．-3B ．3C ．-1D ．15．已知()11234561n n S n +=-+-+-++-⋅，则61015S S S ++等于（ ）A ．5-B ．1-C ．0D ．66．在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ） A ．若向量(,)a x y =，向量(,)b y x =-，(xy ≠0)，则a b ⊥B ．平行四边形ABCD 是菱形的充要条件是()()0AB AD AB AD +-=.C ．ABC 中，AB 和CA 的夹角等于180-AD ．点G 是ABC 的重心，则0GA GB CG ++= 7．若0<a <b 且a +b =1，则四个数12，b ，2ab ，22a b +中最大的是（ ） A ．12B ．bC ．2abD ．22a b +8．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a －b 等于（ ） A ．10B ．14C ．－4D ．－109．在OAB ∆中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+，且2BP PA =，则 A ．23x =，13y =B ．13x =，23y =C ．14x =，34y =D ．34x =，14y = 10．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A ．2B ．2C ．2-D ．32-11．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos a A B b A +=，则ba=（ ）A ．B ．C D12．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题13．若向量1a =，2b =，2a b -=，则a b +=______________.14．已知ABC 的面积S =3A π∠=，则AB AC ⋅=________；15．函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图像重合，则ϕ=___________.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12(2)n n n S a n S ++=≥，123a =-，则n S =___________.三、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量2cos,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,2sin 22A A n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭若1m n ⋅=-.（1）求角A 的大小；（2）若2a b ==，求c 的值.18．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．19．等差数列{}n a 中，13a =，前项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =. （1）求n a 与n b ； （2）证明：121111233n S S S ≤+++<. 20．如图，正方形ABCD 所在平面与等腰三角形EAD 所在平面相交于AD ，AE ⊥平面CDE .（I ）求证：AB ⊥平面ADE ；（II）在线段BE 上存在点M ，使得直线AM 与平面EAD ，试确定点M 的位置．21．已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；(2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．22．已知曲线1C 的极坐标方程为2cos 28ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为=6πθ，曲线12C C 、相交于A B 、两点.()R ρ∈（1）求A B 、两点的极坐标；（2）曲线1C与直线112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）分别相交于,M N 两点，求线段MN 的长度.23．设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围．参考答案1．A 【分析】根据复数的除法运算法则可解得结果. 【详解】=44ii ==.故选：A 【点睛】本题考查了复数除法运算法则，属于基础题. 2．D 【分析】首先求出a x b →→+，a b →→-的坐标，再根据向量垂直得到数量积为零，计算可得； 【详解】解：因为(3,4),(2,1)a b →→==，所以()23,4a x b x x →→+=++，()1,3a b →→-=， 因为()()a x b a b →→→→+⊥-，所以()()0a x b a b →→→→+-=，所以()()231430x x +⨯++⨯=，解得3x =- 故选：D 【点睛】本题考查平面向量坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题. 3．B 【解析】试题分析：由题意得，155155()25102a a S a a +==⇒+=，又3152a a a =+，则35a =，又23a =，所以等差数列的公差为2d =，所以72535213a a d =+=+⨯=． 考点：等差数列的通项公式． 4．A 【分析】等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a +=+，*n N ∈，根据公式1n n n a S S -=-，求出n a ，则1a 也要满足通项公式，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a +=+，*n N ∈，当1n =时，可得11113a a S ++==，可得19a a =+，当2n ≥时，13nn S a -=+，则()113323n n n n n n a S S a a +-==-+-+=⋅因为{}n a 为等比数列，所以1239a ⋅=+，解得3a =- 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n 项和公式，第n 项与前n 项和的关系，求出等比数列的前三项，是解题的关键． 5．C 【分析】相邻两项依次结合，即可求出61015S S S ++的值. 【详解】由()11234561n n S n +=-+-+-++-⋅可知相邻两项的和为1-，所以()6123456133S =-+-+-=-⨯=-，()10123456910155S =-+-+-++-=-⨯=-， ()1512345613141517158S =-+-+-++-+=-⨯+=，所以()()610153580S S S ++=-+-+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列求和，解题时要注意数列中项之间的关系，属于基础题. 6．D 【分析】A. 利用平面向量的数量积运算判断B.利用平面向量几何意义结合运算判断；C. 利用平面向量的夹角定义判断；D.根据G 是ABC 的重心，则0++=GA GB GC 判断. 【详解】A. 因为0-=⋅=+b xy xy a ，所以a b ⊥，故正确；B.平行.若四边形ABCD 是菱形则AB AD =，即()()0AB AD AB AD +-=， 若()()0AB AD AB AD +-=，则AB AD =，平行四边形ABCD 是菱形，故正确；C. 由平面向量的夹角定义知， AB 和CA 的夹角等于180-A ，故正确；D. 如图：设G 是ABC 的重心，则()2==--+GA GD GB GC ，即0++=GA GB GC ，故错误； 故选：D 【点睛】平面向量的数量积运算，加法运算的几何意义，还考查数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 7．B 【分析】由0a b <<得222a b ab +>，由0a b <<且1a b +=，把a 换为b 可得12b >，下面只要比较22a b +与b 的大小，两数作差，再根据b 的范围，可得差的最大值小于0，所以b 最大． 【详解】 解：（1）0a b <<且1a b +=，01b b ∴<-<，∴112b <<， （2）0a b <<，2222()a b ab a b ∴+-=-，222a b ab +>，（3）22222(1)231(21)(1)a b b b b b b b b b +-=-+-=-+=--，又112b <<，220a b b ∴+-<， 22a b b ∴+<，综上可知：b 最大． 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式比较大小，用到完全平方式，二次函数求最值，这种题目比较灵活，用到知识点多，不易掌握，训练逻辑推理，综合运用能力． 8．D 【分析】由题意结合一元二次不等式与一元二次方程的关系可得方程220ax bx ++=的两根为12-和13，由韦达定理解出a 、b 后即可得解. 【详解】因为一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以方程220ax bx ++=的两根为12-和13，则112311223b a a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得12a =-，2b =-，则12210a b -=-+=-. 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．A 【分析】根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出 OP ，利用平面向量基本定理求出x ，y 的值 【详解】由题意，∵2BP PA =，∴22BO OP PO OA +=+，即 32OP OB OA =+， ∴2133OP OA OB =+，即 2133x y ==， 故选A ． 【点睛】本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键． 10．A 【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为AB CD CD⋅==，故选A ．11．D 【分析】由题意结合正弦定理得22sin sin sin cos A B B A A +=，再由同角三角函数的平方关系可得sin B A =，再根据正弦定理即可得解.【详解】由正弦定理得22sin sin sin cos A B B A A +=，所以22sin (sin cos )B A A A ⋅+=，sin B A =，∴sin sin b Ba A==． 故选：D. 【点睛】本题考查了正弦定理及同角三角函数平方关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 12．A 【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <.所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=，等便于给出导数时联想构造函数.13 【分析】根据平面向量数量积运算律可得21a b =，再根据()2222a b a ba ab b +=+=++计算可得； 【详解】解：因为1a =，2b =，2a b -=，所以222a b -=，即2224a a b b -+=，所以21a b =所以()222221a b a ba ab b +=+=++=+=【点睛】本题考查平面向量数量积的运算律及向量模的计算，属于基础题. 14．2 【分析】由三角形的面积可解得4bc =，再通过数量积的定义即可求得答案【详解】由题可知1sin 2S bc A ==3A π∠= ，所以解得4bc = 由数量积的定义可得1cos 422AB AC bc A ⋅==⨯=【点睛】本题考查三角形的面积公式以及数量积的定义，属于简单题． 15．56π 【解析】因为y ＝cos(2x ＋φ)＝cos(－2x －φ)＝sin ()22x πϕ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦＝sin 22x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，图象向右平移2π个单位后为y ＝sin 22x πϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，与y ＝sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭重合，所以φ－2π＝3π，解得φ＝56π.16．12n n S n +=-+ 【分析】利用n S 和n a 之间的关系，化简已知等式，求出数列{}n S 前几项，猜想得到通项公式，最后利用数学归纳法证明即可. 【详解】因为当2n ≥时，有1n n n a S S -=-，因此由12n n nS a S ++=， 可得112n n n n S S S S -++=-，化简得：112n n S S -=-+，因为1123S a ==-, 所以121132242()3S S =-=-=-++-， 321143252()4S S =-=-=-++-， 由此猜想数列{}n S 的通项公式为：12n n S n +=-+，现用数学归纳法证明：当1n =时，123S =-，显然成立；假设当n k =时成立，即12k k S k +=-+， 当1n k =+时，11122(213)2k k S S k k k k ++-+=-=-+-+++=， 综上所述：12n n S n +=-+. 故答案为：12n n S n +=-+【点睛】本题考查了求数列的通项公式，考查了数学归纳法的应用，考查了数学运算能力. 17．（1）23π；（2）2 【分析】（1）根据向量的数量积定义，结合余弦的倍角公式，即可求得； （2）由余弦定理，及（1）中所求角度，即可直接求得. 【详解】（1）由已知易得：222cos2sin 122A A-=- 所以1cos 2A =-，又()0,A π∈故23A π=. （2）由23A π=及余弦定理可得：222cos 2b c a A bc+-=所以21412222c c+--=⨯⨯，所以2280c c +-=得：24c c ==-或（舍） 所以2c =. 【点睛】本题考查余弦定理，余弦的倍角公式，涉及向量的数量积，属基础题. 18．（1）C ＝60°.（2）2． 【解析】试题分析：（1）连接BD,因为角A 和C 互补，所以,那么在和内用余弦定理表示,方程联立可得和BD;（2）根据（1）的结果表示和,代入三角形的面积公式．试题解析：（1）由题意及余弦定理，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC·CDcos C ＝13－12cos C ① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB·DAcos A ＝5＋4cos C ② 由①，②得cos C ＝，故C ＝60°，BD ＝．（2）四边形ABCD 的面积 S ＝AB·DAsin A ＋BC·CDsin C＝sin 60°考点：1．余弦定理；2．三角形面积公式．19．解：（1）13,3n n n a n b -==；（2）证明过程见解析. 【分析】（1）由2212b S +=和 22S q b =可以构成关于2,q a 的方程组，结合已知，解方程求出2,q a ，根据等差数列、等比数列的通项公式，写出数列{}{}n n a b 、的通项公式； （2）先用等差数列前n 项和公式求出n S ，再利用裂项相消法求出1231111nS S S S ++++的值，最后利用函数的单调性证明出不等式成立. 【详解】（1）因为2212b S +=，所以1122129b q a a q a ++=⇒+=，又因为22S q b =，所以有212213a a q q a b q +=⇒=+，因此有22222934,3613q a q q q a a a +===-⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨=+==⎩⎩⎩，由题意可知等比数列{}n b 各项均为正数，故0q >，所以236q a =⎧⎨=⎩，因此121(1)()3n a a n a a n =+--=，1113n n n b b q --=⋅=；（2）因为等差数列{}n a 的通项公式为3n a n =，所以1()3(1)12223(1)n n n a a n n n S S n n ++==⇒=+， 因此123111121111[]3122334(1)n S S S S n n ++++=++++⨯⨯⨯+12311112111111121(1)(1)322334131n S S S S n n n ⇒++++=⨯-+-+-++-=-++111212101123313n n n ⎛⎫≥∴<≤∴≤-< ⎪++⎝⎭，12311111233n S S S S ⇒≤++++<. 【点睛】本题考查了求等差数列、等比数列的通项公式，考查了等差数列前n 项和公式，考查了用裂项相消法求数列的和证明不等式成立问题. 20．（I ）证明见解析; （II ）M 为BE 的中点. 【分析】（I ）根据已知条件,可得AE CD ⊥,根据线面关系,可得CD ⊥平面ADE ,结合//AB CD ,即可证明结论.（II ）解法一建立空间直角坐标系,设AB 长度, 写出各个点的坐标,根据向量共线基本定理表示出AM , 由平面ADE 的法向量与AM 的夹角即可求得参数,得M 的位置; 解法二过M 作//MN AB ,根据直线AM 与平面EAD 所成角的正弦值求得MN 与AN 的关系,进而得AB 与MN 的关系,即可得M 的位置. 【详解】 （I ）证明:AE 平面CDE ,CD ⊂平面CDEAE CD ∴⊥在正方形ABCD 中,CD AD ⊥AD AE A ⋂=,CD 平面ADE//AB CD所以AB ⊥平面ADE（II ） 解法一:由（I ）可知平面ADE ⊥平面ABCD ,取AD 中点O,连接EOEA ED =EO AD ∴⊥EO ∴⊥平面ABCD建立如图所示的空间直角坐标系,设2AB =则(1,0,0),(1,2,0),(0,0,1)A B E 设(,,)M x y z(1,2,),1,2,1BM x y z BE ∴=--=〈--〉,,B M E 三点共线BM BE λ∴=(1,22,)M λλλ∴-- (,22,)AM λλλ∴=--设AM 与平面ADE 所成的角为θ ∵平面ADE 的法向量(0,1,0)n =sin |cos ,|AM n θ∴=<>3==解得12λ=即M 为BE 的中点解法二:过点M 作//MN AB ,交EA 于N,如下图所示AB ⊥平面ADE MN ∴⊥平面ADEMAN ∴∠为直线AM 与平面ADE 所成的角∴sin MAN ∠=tan MAN ∴∠=即MNAN=//MN ABEN MNEA AB∴=EN EA MN AB ==EAMN∴==即2AB MN = 即M 为BE 的中点 【点睛】本题考查了线面垂直的证明,直线与平面夹角的应用,点满足某种条件下的求解,属于中档题.21．(1)a =(2)1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求函数的极值、单调区间、最值等基础知识及分类讨论思想，也考查了学生分析问题解决问题的能力及计算能力.第一问先对函数进行求导，再把极值点代入导函数求得实数a 的值；第二问对任意的x 1，x 2∈[1，e]都有f(x 1)≥g(x 2)成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max，利用导数分别判断函数f (x)、g(x)的单调性并求其在定义域范围内的最值，判断单调性时可对实数a进行分类讨论，则可求得实数a的取值范围．试题解析：(1)∵h(x)＝2x＋2ax＋ln x，其定义域为(0，＋∞)，∴h′(x)＝2－22ax＋1x，∵x＝1是函数h(x)的极值点，∴h′(1)＝0，即3－a2＝0.∵a＞0，∴a经检验当a x＝1是函数h(x)的极值点，∴a.(2)对任意的x1，x2∈[1，e]都有f(x1)≥g(x2)成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max.当x∈[1，e]时，g′(x)＝1＋1x＞0.∴函数g(x)＝x＋ln x在[1，e]上是增函数，∴g(x)max＝g(e)＝e＋1.∵f′(x)＝1－22ax＝，且x∈[1，e]，a＞0.①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，f′(x)＝＞0，∴函数f(x)＝x＋2ax在[1，e]上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋a2.由1＋a2≥e＋1，得0＜a＜1，∴a不合题意．②当1≤a≤e时，若1≤x≤a，则f′(x)＝＜0，若a＜x≤e，则f′(x)＝＞0.∴函数f(x)＝x＋2ax在[1，a)上是减函数，在(a，e]上是增函数．∴f(x)min＝f(a)＝2a.由2a≥e＋1，得a≥12e+. 又1≤a≤e，∴12e+≤a≤e.③当a ＞e 且x ∈[1，e]时f′(x)＝＜0，函数f(x)＝x ＋2a x 在[1，e]上是减函数．∴f(x)min ＝f(e)＝e ＋2a e . 由e ＋2a e≥e ＋1，得a ＞e ，∴a ＞e. 综上所述，a 的取值范围为[12e +，＋∞)． 考点：1.利用导数求函数的极值、单调区间、最值；2.分类讨论思想. 22．（1）A B 、两点的极坐标为：4,,4,66A B ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或74,6B π⎛⎫⎪⎝⎭（2）MN =【解析】试题分析：（1）由2286cos ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒2cos 83πρ=⇒2=1644,,4,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫=±- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或74,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）由曲线1C 的普通方程为228x y -=，将直线112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入228x y -=，整理得2140t MN +-==.试题解析：（1）由2286cos ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：2cos 83πρ=， ∴2=16ρ， 即4ρ=±.∴A B 、两点的极坐标为：4,,4,66A B ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或74,6B π⎛⎫⎪⎝⎭. （2）由曲线1C 的极坐标方程2cos28ρθ=化为()222cos sin 8ρθθ-=，得到普通方程为228x y -=.将直线112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入228x y -=，整理得2140t +-=. ∴MN =23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ））． 【分析】（1）根据绝对值三角不等式求得函数的最小值，然后利用基本不等式即可证明； （2）先求得()3f ，然后对参数a 分情况讨论求得a 的范围. 【详解】（I ）由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥，∴()f x ≥2． （Ⅱ）1(3)33f a a=++-． 当时a ＞3时，(3)f =1a a +，由(3)f ＜5得3＜a ＜52+； 当0＜a ≤3时，(3)f =16a a -+，由(3)f ＜5＜a≤3．综上：a）． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的最值及绝对值不等式的解法，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.。
天一大联考2020年海南省高三年级第三次模拟考试数学试题(含解析)
天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第三次模拟考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|60A x x x =--<，{}2|4B x x =…，则A B =I （ ） A ．()2,3B ．(2,3]C ． [2,3)D ．[2,3]2.已知复数z 满足()121 i z i -=+，则z =（ ）ABCD3.函数3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．2x π=C ．23x π=D ．56x π=4.已知函数，(2),0,()2,0x k x x f x k x +⎧=⎨+>⎩„，则“1k <”是“()f x 单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺。
问日织几何？”其意思为：“有一女子很会织布，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织布5尺。
问：每天分别织多少布？”则上述问题中，该女子第3天织布的尺数为（ ） A ．2031B ．1031C ．516D ．156.函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．7.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：由表格可得y 关于x 的二次回归方程为$26y x a =+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（ ） A ．5B ．4C ．1D ．08.已知双曲线22221(0,0)x y a b ba -=>>的左、右焦点分别为1(-, 0)F c ，2(, 0)(0)F c c >，点P 在双曲线上，且2PF 垂直于x 轴。
海南省海口市灵山中学2020届上学期高三第三次月考试题
海口市灵山中学2020届高三第三次月考试题数学◇考试时间：120分钟总分：150分◇一、选择题（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分）1．（） A ．i B ．i - Ci Di2．已知向量(3,4),(2,1),()(),a b a x b a b x →→→→→→==+⊥-若则等于（）A ．3B ．－2C ．5-D ．－33．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（）A ．12B ．13C ．14D ．154．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋1＋a ，n ∈N *，则实数a 的值是( )A ．－3B ．3C ．－1D ．15．已知S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n ＋1·n ，则S 6＋S 10＋S 15等于( )A ．－5B ．－1C ．0D ．66．在以下关于向量的命题中，不正确．．．的是（） A ．若向量),(y x a =，向量),(x y b -=, (xy ≠0)，则b a ⊥ B ．平行四边形ABCD 是菱形的充要条件是.C ．ABC △中，和的夹角等于180°－AD ．点G 是ABC △的重心，则=++7．若0<a<b 且a+b=1，则四个数21，b ，2ab ，22b a +中最大的是（ ） A 、 21B 、bC 、2abD 、22b a +8．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -等于（）A ．10B ．14C ．－10D ．－49．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝13，y ＝23B ．x ＝23，y ＝13C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝1410．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（）A 32B 315C ．32D ．31511．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a A b B A a 2cos sin sin 2=+，则=ab（） A 、32 B 、22 C 、3 D 、212．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分，共20分）13．若向量||1,||2,||2,a b a b ==-=则||a b += 14．已知△ABC 的面积3=S ，3π=A ，则=⋅15．函数))(2cos(πϕπϕ<≤-+=x y的图像向右平移2π个单位后，与函数)32sin(π+=x y 的图像重合，则ϕ=___________.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足)2(21≥=++n a S S n n n，321-=a ，则=n S◇温馨提示：请将答案填在答题卡上◇三、解答题（本大题共有6道小题，共70分。
2020届天一大联考海南省高三第三次模拟考试数学试题(解析版)
1. C 【详解】{}|23A x x =-<<，{|2B x x =-或}2x ，[)2,3A B =.2. B 【详解】由()121i z i -=+，得()()()()121121311122i i i z i i i i ---===--++-，所以z ==. 3. D 【详解】令()262x k k Z πππ-=+∈，得23k x ππ=+，取1k =，得56x π=. 4. D 【详解】若()f x 单调递增，则0k >且()0022k k ++，解得01k <因为“1k <”与“01k <”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立. 5. A 【详解】设第n 天织布的尺数为n a ，则{}n a 是公比为2的等比数列，所以()5112512512a a a a -++⋯+==-，解得1531a =，所以23120231a a =⨯=. 6. A 【详解】()211sin sin 11x xxe f x x x ee ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →> 故选：A. 7. A 【详解】设2t x =，则()11491625115t =++++=，()12173693142585y =++++= 586118a =-⨯=-，所以2ˆ68yx =-.令4x =，得2444936485ˆe y y =-=-⨯+=.故选：A 8. B 【详解】根据题意知122F F c =，直线1PF 的斜率为34，则212123tan 4PF PF F F F ∠== 则有232PF c =，则152PF c ，则122a PF PF c =-=，又因为12PF F ∆的面积为132622S c c =⨯⨯=，解得2c =，即1a =.故选：B二、多选题9. BD 【详解】对于A ，若0a b >>，则11a b<，所以A 错误；对于B ，因为0a b ->，所以20201a b ->，故B 正确；对于C ，函数ln y x =的定义域为()0,+∞，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误；对于D ，因为210c +>，所以()()2211a c b c +>+，所以D 正确.故选：BD10. AC 【详解】对于A ，2cos 1b α==，A 正确；对于B ，若//a b cos 0αα-=，tan α∴=，B 错误； 对于C ，3cos sin 2sin 3a b πααα⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭，最大值为2，C 正确；对于D ，||(3a b -=-因为0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以5,336πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin ,132πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即max ||5a b -=-，D 错误.故选：AC 11. ABD 【详解】如图，连接MN ，易知//MN PB ，由线面平行的判定定理得//PB 面AMC ，A 正确.在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，BAD ∴为等边三角形.设AD 的中点为O ，连接OB ，OP ，则OP AD ⊥，OB AD ⊥，由线面垂直的判定定理得出AD ⊥平面POB ，AD PB ∴⊥，B 正确. 平面PAD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质可得POB 为直角三角形设4AD =，则OP OB ==，PB ∴=，12MN PB ==在MAN △中，AM AN ==MN =cos AMN ∠=,故异面直线PB 与AM ,在MAN △中222AM AN MN ≠+，则ANM ∠不是直角，则AMC ∆不是等腰三角形，即AM 与CM 长度不等，故C 错误，D 正确故选：ABD12. BD 【详解】由题知2()3f x x a '=+.对于A ，由()f x 是奇函数，知0b =，因为0a <，所以()f x 存在两个极值点，由(0)0f =知，()f x 有三个零点，A 错误；对于B ，因为211b +，所以0a ，()0f x '，所以()f x 单调递增，则()f x 仅有一个零点，B 正确；对于C ，若取2b =，2()33f x x '=-，则()f x 的极大值为()14f -=，极小值为(1)0f =，此时()f x 有两个零点，C 错误；对于D ，3()1f x x x =-+，2()31x f x '=-易得()f x 的极大值为10f ⎛= ⎭>⎝，极小值为10f =⎝>⎭.可知()f x 仅有一个零点，D 正确.故选：BD 三、填空题13. 16 【详解】设从学校A 和C 分别抽取的教师人数为x 和y ，由题意可知872144216x y ==，所以4x =，12y =，16x y +=.故答案为：16 14. 240【详解】636621661(2)()(1)2rrrr r r rr T C x C x x---+=-=-，令，得常数项为240，故答案为240. 15.323【详解】圆22280x x y -+-=即()2219x y -+=，圆心坐标为()1,0，则12p =抛物线方程为24y x =，所以2DF =.如图，3FA FB =-，所以:3:1AF FB = 又::DF BC AF AB =，所以2:3:4BC =，得83BC BF ==所以3243AB BF ==.故答案为：323四、双空题如图，设M 为AC 的中点，因为PA PC =，所以PM AC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面ABC ，所以由面面垂直的性质定理得PM ⊥平面ABC ，所以PM MB ⊥=PM MB =从而可得PMAC =设1O ，2O 分别为对应面的内心，分别过1O ，2O 作MP ，MB 的平行线，交于点O 即O 为所求的球心，易知12OO MO 是正方形设Rt PAC △内切圆的半径为r ，球O 的半径为R，由图可知OM R ==，而22r -=，所以1R =.1五、解答题17.（1）给出的通项公式为24n a n =+.因为对任意*n N ∈()1214242n n a a n n +-=++--=， 所以{}n a 是公差为2的等差数列.对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，()22424224m n m n a a m n m n a +++=+++=+++=，所以{}n a 是“Q 数列”.（2）因为{}n a 是等差数列，所以()()2*62452n n n S n n n N ++==+∈.因为n S 单调递增，且2775784100S =+⨯=<，28858104100S =+⨯=>，所以n 的最小值为8. 注：以下答案也正确，解答步骤参考上面内容：①33n a n =+，23922n S n n =+，n 的最小值为7；②6n a n =，233n S n n =+，n 的最小值为6.18. （1）43（2）(【详解】（1）因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=. 所以2sin 4sin2sin cos 222B B B B ==，因为0B π<<，所以022B π<<，所以sin 02B≠， 所以1tan 22B =.于是2212tan2422tan 311tan122B B B ⨯===⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知4tan 3B =，又()0,B π∈，根据同角三角函数关系可得4sin 5B =，3cos 5B =.根据余弦定理得()222261655b ac ac a c ac =+-=+-又()()()()22221641555a c ac a c a c a c +-+-+=+所以()2255a c b +=，即5a c+，当且仅当a c ==时取等号.又因为1a c b +>=，所以a c +的取值范围是(. 19. （1）1.2（2）9.3（3）0.1808【详解】（1）由题意得2100.4 2.2 2.2 5.2a b c ++=---=， 又2b a c =+，2c a =，解得0.8a =， 1.2b =， 1.6c =. 因为前四组的频率之和为()0.40.8 1.6 2.20.10.5+++⨯=， 所以估计样本中闪存芯片的数据传输速度的中位数为1.2 （2）估计样本中闪存芯片的使用寿命的平均数为 7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）样本中数据传输速度为优的产品有0.510050⨯=件 使用寿命为优的产品有()0.20.0510025+⨯=件至少有一项为优的产品有1004555-=件，所以S 级产品有50255520+-=件. 故任意一件产品为S 级产品的概率为15.则从这一批产品中任意抽取4件，其中S 级产品的数量服从二项分布14,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故所求的概率为43014441411310.1808555625P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20. 【答案】（1）见解析（2）【详解】（1）连接1AC 1AA AC =，∴平行四边形11AA C C 为菱形，11AC AC ∴⊥. 平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，BC AC ⊥BC ∴⊥平面11AA C C .11//BC B C ，11B C ∴⊥平面11AA C C ，111B C AC ∴⊥.又1111AC B C C =，111,AC B C ⊂平面11AB C 1AC ∴⊥平面11AB C . 1AB ⊂平面11AB C ，11AC AB ∴⊥.（2）取11A C 的中点为M ，连接CM .由160A AC ︒∠=，可知11CM AC ⊥，CM AC ⊥.又BC ⊥平面11AA C C ，故可知C 为坐标原点，CA ，CB ，CM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图.则()0,0,0C，(1A ，()2,0,0A ，()0,1,0B，(1B -. 由（1）知，平面11AB C的一个法向量为(1CA =. 设平面1ABB 的法向量为(),,n x y z =，则10n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩. ()2,1,0AB =-，(13,1AB =-，2030x y x y -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩.令1x =，得2y =，z =，即31,2,n ⎛= ⎝⎭.111cos ,162CA n CA n CA n ⋅∴===⋅⨯结合图可知，二面角11C AB B --为钝角，则二面角11C AB B --的余弦值为21. 【答案】（1）22143x y +=（2）存在，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c 因为离心率12e =，所以2a c =，222243b c c c =-= 由222214320x y c c x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得x =.不妨设,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎭，则AB =所以1c =，从而2a =，23b =.所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）假设存在点(),P x y ，设()11,A x y ，()22,B x y . 由2214320x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-=.因为44m -<<，所以()22416120m m ∆=-->，且122m x x +=-，212124m x x -=.由APB ∠的平分线平行于y 轴，得0AP BP k k +=所以12120y y y y x x x x --+=--，即1212220x m x my y x x x x ++--+=--， 可得()()()()12121222220x x x x x m y x m y x x +-+---+=， 所以()()2212220222m m y mx m m y x ---+-+-=，整理得()321280x y m xy -+-=. 当m 变化时，上式恒成立，所以3201280x y xy -=⎧⎨-=⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.故满足条件的P 点的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.22. 【答案】（1）见解析（2）13a =-.【详解】 （1）当0a =时，()()21ln 12f x x x x =+-+，定义域为()1,-+∞.()21111x f x x x x =-+=++'.当1x >-时，()0f x '>，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增.又因为()00f =，所以当10x -<<时()0f x <，当0x >时，()0f x >. （2）若0a ，由（1）知，当0x >时，()()()21ln 1002f x x x x f +-+>=.这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.若0a <，()()32223311331131113ax a x ax a f x x ax x x x x a +++⎛⎫=-++==+ ⎪+++⎝⎭'，1x >-. 令()0f x '=，可得0x =或313a x a+=-. ①若13a <-，则3103a a+-<. 当3113a x a +-<<-时，()0f x '>，当313a x a+>-时，()0f x '. 所以()f x 在31,3a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，与0x =是()f x 的极大值点矛盾. ②若103a -<<，则3103a a+->. 当3113a x a +-<<-时，()0f x '，当313a x a+>-时，()0f x '<. 所以()f x 在311,3a a +⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，与0x =是()f x 的极大值点矛盾. ③若13a =-，则3103a a+-=. 当10x -<<时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<. 所以()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减. 此时0x =是()f x 的极大值点.综上所述，若0x =是()f x 的极大值点，则13a =-.。
2020届海南省全国大联考高三第三次联考数学试题(附带详细解析)
A． B．0C．2D．4
12．已知函数 图象与直线 相交，若在 轴右侧的交点自左向右依次记为 ，则 （）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
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评卷人
得分
二、填空题
13．不等式 的解集为________.
14．曲线 在点 处的切线方程为________.
C． D．
2．在等差数列 中， ，则数列 的公差为（）
A． B． C．1D．2
3．设 ，则 的大小关系是（）
A． B． C． D．
4．数列 满足 ，且对任意的 ，有 ，则 （）
A．2021B．2035C．2037D．2041
5．若 ，则一定有（）
A． B． C． D．
6．已知数列 为等比数列， ，数列 的前 项和为 ，则 等于（）
①求数列 的通项公式；
②是否存在正整数 ，使得 成立？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由.
22．已知函数 .
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
（2）设 ，是否存在实数 ，对任意 ， ， ，有 恒成立？若存在，求出 的范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
直接根据集合的交集定义，即可得到本题答案.
【分析】
必要性显然成立；由 ， ，得 ①，同理可得 ②，综合①，②，得 ，充分性得证，即可得到本题答案.
【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性，
若 ，所以当 时， ，
所以 ，化简得 ①，
所以当 时， ②，
① ②得 ，所以 ，即数列 是等差数列，充分性得证，所以“ ”是“数列 是等差数列”的充要条件.
2019-2020年高三年级第三次质量检测数学试卷(理科).doc
2019-2020年高三年级第三次质量检测数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120 分钟.2．请将第第I 卷选择题的答案用2B 铅笔填涂在答题卡上，第II 卷在各题后直接作答。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1．设集合U=R ，集合P={x|x 2≥x}，Q={x|x>0}，则下列关系中正确的是 （ ）A ．P ∩Q ⊂QB ．P ∪Q ⊂QC ．P ∪Q ≠RD ．Q ∩Q=φ2．已知f (x )的反函数0)(),2(log )(21=+=-x f x x f 则方程的根为（ ）A ．1B ．0C ．－23D ．23．设a 、b 表示直线，α、β表示平面，P 是空间一点，下面命题正确的是 （ ） A ．a ⊄α，则a//α B ．a//α，b ⊂α，则a//b C ．α//β，a ⊄α，b ⊂α，则a//b D ．P ∈a ，P ∈β，a//α，α//β则a ⊂β 4．设圆x 2+y 2－2x+6y+1=0上有关于直线2x+y+c=0对称的两点，则c 的值为 （ ） A ．2 B ．－1 C ．－2 D ．1 5．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则a 9－31a 11的值为 （ ）A ．14B ．15C ．16D ．17 6．设复数z+i （z 为复数）在映射f 下的象为zi ，则－2+2i 的象是 （ ）A ．1－2iB ．－1－2iC ．2－2iD ．－2－2i 7．已知)tan(,cos )sin(),2(53sin βααβαπβπβ+=+<<=则等于 （ ）A ．－2B ．2C ．1D ．258 8．点P 是椭圆6410022y x +=1上一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△PF 1F 2有面积为（ ）A ．64B ．3364C ．64（2+3）D ．64（2－3）9．已知△ABC 中，S ABC 与则,5||,3||,415,0,,===<⋅==∆的夹角是（ ）A ．30°B ．－150°C ．150°D ．120° 10．已知αααπα22sincos33)(),2,0(+=∈M 则的最小值为（ ）A ．3B ．23C ．4D ．不存在11．某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部分，另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有 （ ） A ．36种 B ．38种 C ．108种 D ．24种 12．若f(x)=2ax 2+bx+c(a>0，x ∈R)，f(－1)=0，则“b<－2a ”是“f(2)<0”的 （ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）13．某校对全校男女学生共1200名进行健康调查，选用分层抽样取一个容量为200的样本，已知男生比女生多抽了10人，则该校男生人数为 人. 14．(1－x+x 2)(1+x)6展开式中x 3项的系数是 . 15．表面积为S 的正八面体的各项点均在体积为π32的球面上，则S 的值为 . 16．已知实数x 、y 满足约速条件：y x z N y x y x x x y +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+-≤≤+且,,012,4,3的最大值为12，则k 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知M （1+cos2x ，1）N （1，3sin2x +a ）（x ∈R ，a ∈R ，a 是常数），且y=OM ⋅（O 为坐标原点）. （Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式y=f (x )（Ⅱ）若x ∈[0，2π]时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图象可由 )6sin(2π+=x y 的图像经过怎样的变换而得到.18．（本小题满分12分）在长方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AD=DC=3. （Ⅰ）求直线A 1C 与D 1C 1所成角的大小；（Ⅱ）在线段A 1C 1上有一点Q 使平面QDC 与平面A 1DC所成的角为30°，求C 1Q 的长.19．（本小题满分12分）某人参加一项专业技能考试，最多有5次参加考试机会，每次考试及格的概率均为32，每次考试的成绩互不影响，当有两次考试及格，考试就能通过.（以后有考试机会也不能参加）（Ⅰ）求某人通过专业技能考试的概率；（Ⅱ）如果考试通过或已参加5次考试则不再参加考试.设某人参加考试次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln(e x +1)－ax(a>0).（Ⅰ）若函数y=f(x)的导函数是奇函数，求a 的值；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间. 21．（本小题满分12分）设P 是双曲线16422=-y x 右支上任一点. （Ⅰ）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E 、F ，求||||⋅的值； （Ⅱ）过点P 的直线与两渐近线分别交于A 、B 两点，△ABO 的面积为9，且PB AP λ= （λ>0），求λ的值.22．（本小题满分14分）已知函数f (x )满足ax ·f (x )=b +f (x ),(ab ≠0)，f (1)=2，并且使f (x )=2x 成立的实数x 有且只有一个.（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）若数列{a n }前n 项和为S n ，a n 满足n a f S n a n n =-≥=)(2,2,231时当，求数列{a n } 的通项公式；（Ⅲ）当n ∈N *，且n ≥3时，在（II ）的条件下，令求证：.1341122110+->+++++--n d C d C d C d C C n n n n n n n n n参考答案一、选择题1—5AADDC 6—10BADCB 11—12AB二、填空题：13.63014.1115.23 16. )14,12[三、解答题：17．解：（1）a x x y +++=⋅=2sin 32cos 1∴f (x )=cos2x +3sin2x +1+a .………………………………………………（5分） （2）a x x f +++=1)62sin(2)(π]2,0[6,262ππππ∈==+∴x x 即时，f (x )取最大值3+a ，由3+a =4，得a =1∴f (x )=2sin(2x +6π)+2……………………………………………………（10分） ∴将y=2sin(x +6π)图像上每一点的横坐标缩短到原来的21,纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度可得y=2sin(2x +6π)+2的图像…………………………（12分）18．解法一：（I ）建立空间直角坐标系，如图所示，则D （0，0，0）D 1（0，0，1），A 1（3，0，1）， C （0，3，0），C 1（0，3，1）..721373,cos ).0,3,0(),1,3,3(111111111111=⋅=>=<∴=--=∴C D A C D C A ∴直线A 1C 与D 1C 1所成的角为arccos721.……………………6′（II ）设Q （x 0，y 0，z 0）∵点Q 在直线A 1C 1上，).1),1(3,3(.1),1(3,3)0,3,3()1,3,(000000111λλλλλλ-∴=-==⇒-=--⇔=∴Q z y x z y x A C C设平面QDC 与平面A 1DC 的法向量分别为n 1=（x 1，y 1，z 1），n 2=（x 2，y 2，z 2）.……3′由⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0)1),1(3,3(),,(,0)0,3,0(),,(,0,011111111λλz y x z y x DQ n n 01).3,0,1(,1.03,00)1,0,3(),,(,0)0,3,0(),,(0,08).3,0,1(,1.03,02222222222212211111'-==⎩⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅'-==⎩⎨⎧=+=⇒ n x z x y z y x z y x DA n n n x z x y 则令由则令λλ∵二面角Q —DC —A 1为30°，21.36||31||||11.3123|31231|23|,cos |11111221'==='⇒⇒=++⇒=><∴ A C A C Q C n n λλλλ故 解法二：（I ）∵A 1B 1 //D 1C 1，∴∠B 1A 1C 为异面直线A 1与D 1C 1所成的角……2′ 连B 1C ，在Rt △A 1B 1C 中，A 1B 1=3，B 1C=2，)772sin 721(cos .33232tan 111111111=∠=∠===∠∴C A B C A B B A C B C A B 或∴异面直线A 1C 与D 1C 1所成的角为arctan332.……………………6′ （II ）在平面A 1C 1内过点Q 作EF//A 1B 1， ∴EF//CD ，连FC 、ED.∵B 1C ⊥DC ，FC ⊥DC ，∴∠B 1CF 为二面角A 1—DC —Q 的平面角.…………………………9′ ∴∠B 1CF=30°.又B 1C 1=3，CC 1=1， ∴tan 311111==∠CC C B CC B , ∴∠B 1CC 1=60°，∴CF 为∠B 1CC 1的角平分线，∴∠FCC 1=30°，3631.3330tan 11111111111==⇒===∴A C Q C B C F C A C Q C CC FC 又19．解：（1）记“考试通过”为事件A ，其对立事件为A ，则5415)31()31(32)(+⨯⨯=C A P∴243232])35()31(32[1)(5415=+⨯⋅-=C A P …………………………（6分） （2）考试次数ξ的可能取值为2，3，4，524327)31()32()31(32)31(32)5(27432)31(32)4(278323132)3(94)32()2(5415314213122=+⨯+⨯⨯⨯===⨯⨯⨯===⨯⨯⨯=====C C P C P C P P ξξξξ……………………………………（11分） 24371124327527442783942=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………（12分） 21．解：（1）由已知得a e e x f xx-+='1)(………………………………（2分） ∵函数y=f (x )的导函数是奇函数，.21),()(='-=-'∴a x f x f 解得……………………………………（4分）（2）由（1）a e a e e x f x xx -+-=-+='1111)( 当a ≥1时，f ′(x )<0恒成立.∴当a ≥1时，函数y= f (x )在R 上单调递减…………………………（7分） 当0<a <1时，解f ′(x )>0得（1－a ）（e x +1）>1，………………12′即aax a e x->-+->1ln,111 当),1(ln )(,10+∞-=<<aax f y a 在时内单调递增 在)1ln,(aa--∞内单调递减……………………………………（11分） ∴当a ≥1时，函数y=f (x )在R 上单调递减 当0<a <1时，y=f (x )在（aa-1ln ，+∞）内单调递增 在)1ln,(aa--∞内单调递减……………………………………（12分） 21．（I ）设.1641164),,(2020202000=-⇒=-y x y x y x P 则∵两渐近线方程为2x ±y=0，……………………………………（2分） 由点到直线的距离公式得)5(.5165|4|||||5|2|||,5|2|||20200000分 =-=⋅∴+=-=y x y x PF y x PE（II ）如图，设渐近线y=2x 的倾斜角为θ则542sin sin ,532cos 2tan ==∠-=⇒=θθθAOB ，……（7分）设A （x 1，2x 1），B （x 2，－2x 2）， ∵0,>=λλ∴P 为有向线段AB 的内分点， ∴x 1>0，x 2>0. ∴,5||,5||21x OB x OA ==)9(.29,922sin ||||212121分 =∴===∴∆x x x x OB OA S ABO θ 又)12,1(,2121λλλλλ+-++=x x x x p 得，代入双曲线方程化简得：.212,)1(29)1(2221或解得即=+=+=λλλλλx x故21=λ或2.……………………………………………………（12分） 22．解：（1）由f(1)=2得2a=b+2 ①由f(x)=2x ，得ax ·2x=b+2x ，即2ax 2－2x －b=0只有一个x 满足f(x)=2x ，又a ·b ≠0， 则a ≠0 ∴△=4+8ab=0 ②由①②解得 a=1,21-=b ………………………………（2分） )4()2(22)(2012,1)()12(分则 ≠-=∴≠⇒≠--=-∴x xx f x xx f x（2）当n ≥2时，2222+=+∴=--n a S n a S n n nn∵当23212323,1111=⇒+=+=+=a a S n 时…………（6分） ∴当n ≥2（n ∈N*）时，S n +a n =n+2，则S n －1+a n －1=n+1两式相减得：2a n －a n －1=1（n ≥2）∴2(a n －1)=a n －1－1，即a n －1=21(a n －1－1) （n ≥2） ∴数列{a n －1}是以21为首项，以21为公式的等比数列.n n n n a a 211)21(2111+=∴=-∴-……………………（9分）（3）1)21(log )1211(log 121121+==-+=++n d n n n)14(1341341)1(2112)12(2)(2222,3112])[(11111)11(112)1()1()1()1()1(11]12)2)(1()[1()1()2)(1(111221101101101111101112111112211011分时当分 +->++++∴+-=++>+-∴+>+++=⋅=≥+-=-++++=++++++=+++∴+=⋅-++--+⋅+=⋅--++---=+=∴--++++++++++++--++n d C d C d C d C C n n n n n C C C n n c c c c n n C n C n C d C d C d C C n C K k k k n n n n n k k k k k n n n n k C d C n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nk n k n k k n。
高三上学期第三次月考数学试卷(附答案解析)
高三上学期第三次月考数学试卷(附答案解析)考试时间：120分钟；总分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={−1,0,1,2,},B={x∈Z|x−2x≤0}，则A∩B=( )A. {0,1}B. {1,2}C. {−1,1,2}D. {0,1,2}2. 若复数z=a+2i2−i(a∈R)为纯虚数，则a=( )A. −4B. −2C. −1D. 13. 已知向量a=(1,−1),b=(1,t)，若〈a,b〉=π3，则t=( )A. 2−3B. 2+3C. 2+3或2−3D. −14. 若函数f(x)=1−cosxsinx(x∈[π3,π2])，则f(x)的值域为( )A. [3,+∞)B. [33,+∞)C. [1,3]D. [33,1]5. 正四面体S−ABC内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为( )A. 64B. 33C. 263D. 36. 在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是( )A. 13B. 16C. 18D. 1127. 如图，圆内接四边形ABCD中，DA⊥AB，∠D=45°，AB=2，BC=22，AD=6.现将该四边形沿AD旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为( )A. 84π3B. 30πC. 92π3D. 40π8. 函数f(x)的定义域为R，且f(x)−f(x+4)=0，当−2≤x<0时，f(x)=(x+1)2，当0≤x<2时，f(x)=1−x，则n=12022f(n)=( )A. 1010B. 1011C. 1012D. 1013二、多选题（本大题共4小题，共20分。
灵山县灵山中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
灵山县灵山中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，12,F F 分别在其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上的一点，圆M 为三角形12PF F 的内切圆，PM 所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐近线平行且距离为2，则双曲线C 的离心率是（ ）A B ．2 C D ．22． 若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（ ）A ．（﹣∞，）B ．（﹣，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣）3． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．S 18＝72 B ．S 19＝76 C ．S 20＝80D ．S 21＝844． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（ ） A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞3 D ．x ＜35． sin3sin1.5cos8.5，，的大小关系为（ ） A ．sin1.5sin3cos8.5<< B ．cos8.5sin3sin1.5<< C.sin1.5cos8.5sin3<<D ．cos8.5sin1.5sin3<<6． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中 正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 7． 函数()()f x x R Î是周期为4的奇函数，且在02[,]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x ì-＃ï=íp <?ïî，则1741()()46f f +=（ ） A ．716 B ．916 C ．1116 D ．1316【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力． 8．双曲线=1（m ∈Z ）的离心率为（ ） A．B ．2C．D ．39． 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 10．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π11．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y= C ．x=，y=D ．x=，y=1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．14．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ． 15．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为m ＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。
海南中学2020届高三第三次月考试题
北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，
令相乘也，又以高乘之，三十六成一”。该术相当于给出圆锥的底面周长 l 与高 h，计算其体积 V 的近似公式
V＝ 1 l2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取 3，那么，近似公式 V≈ 25 l2h 相当于将圆锥体积
附：
K
2
(a
n(ad bc)2 b)(c d )(a c)(b
d
)
参考数据： P（k2≥k0） k0
0.050 3.841
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
5
海南中学 2020 届高三第三次月考数学试题
命题教师：杜厚寿 审核: 屈 韬
23. 【《Nothing to Lose》You know exactly what to do, You make these dreams come true. 】（本
内的频率为 0.4
其中真命题为（ ）
13．给出以下结论：
A. 若向量 a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且 a⊥b，则 m＝2; B. |a|＝4，|b|＝8，a 与 b 的夹角是 120°,则|a＋b|= 4 3;
C. 已知向量 a＝(1， 3)，b＝( 3，1)，则 a 与 b 夹角的大小为 ;
3. 【世界上没有垃圾，只有放错位置的宝藏】2019 年 7 月 1 日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生
活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和
未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放
海南省海南中学2020届高三数学下学期第三次月考试题 文
2020届海南中学高三第三次月考文科数学试卷（第I卷）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.已知集合A={1，2，3}，，则A∩B=（）A. {0，1，2}B. {1，2}C. {2，3}D. {0，2，3}2.已知i是虚数单位，复数z满足z（3+4i）=1+i，则复平面内表示z的共轭复数的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列命题中真命题的个数是（ 1）“”的否定是“∀x∈R，x2-2sin x＜5”；（ 2）“∠AOB为钝角”的充要条件是“cos ∠AOB<0”；（ 3）函数的图象的对称中心是．（）A. 0B. 1C. 2D. 34.cos70°sin50°-cos200°sin40°的值为（）A. B. C. D.5.已知tan（-α）=3，则等于（）A. -B.C. -D.6.若函数的两个零点是m，n，则（）A. mn=1B. mn＞1C. mn＜1D. 以上都不对7.已知a=21.3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（）A. a＜c＜bB. b＜c＜aC. c＜a＜bD. c＜b＜a8.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，f（）= -，则f（）等于（）A. -B. -C. -D.9.若函数在区间（1，m）上递减，则m的最大值为（）A. eB. 2C. e2D.10.已知函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）为偶函数，且在[0，]上是增函数，则φ的一个可能值为（）A. B. C. D.11.已知函数，且，，若|α-β|的最小值为，则ω的值为（）A. 1B.C.D. 212.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＞1且f（x）+f′（x）＞1，f（0）=5，其中f′（x）是f（x）的导函数，则不等式ln[f（x）-1]＞ln4-x的解集为（）A. （0，+∞）B. （-∞，0）∪（3，+∞）C. （-∞，0）∪（0，+∞）D. （-∞，0）（第II卷）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知的终边过点（m，-2），若，则m= ______ ．14.在锐角△ABC中，，，，则sin（A+B）= ______ ．15.已知曲线C1：y=e x与曲线C2：y=（x+a）2．若两个曲线在交点处有相同的切线，则实数a的值为 ______ ．16.已知四个函数：①y=-x，②y=-，③y=x3，④y=，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本小题10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2-a2=2bc sin（B+C）．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．18.（本小题12分）已知函数f（x）=sin2x+sin x cosx-（1）求函数y=f（x）在[0，]上的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求证：存在无穷多个互不相同的整数x0，使得g（x0）＞．19.（本小题12分）如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．20.（本小题12分）已知函数f（x）=ln x-，g（x）=-1．（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；21.（本小题12分）设函数f （x ）=（x +b ）ln x ，y =f （x ）的图象在点 （1，f （1））处的切线与直线y =3x 平行． （1）求b 的值； （2）若函数（a ≠0），且g （x ）在区间（0，+∞）上是单调函数，求实数a 的取值范围．22．（本小题12分）设函数()xe xf =，()exa x x g 1ln -+=. （1）求函数()x g y =的单调区间；（2）若3=a ，证明：对任意的实数0>x ，都有()()x f x g ->.数学 答案和解析【答案】1. B2. A3. B4. D5. C6. C7. C8. A9. A 10. C 11. C 12. A 13. -6 14. 15. 2-ln4 16.17. 解：（1）∵A +B +C =π，∴sin（B +C ）=sin A ，∴b 2+c 2-a 2=2bc sin A ， ∴，由余弦定理得cos A =sin A ，可得tan A =1， 又∵A ∈（0，π），∴．（2）根据正弦定理得，又，∴．18. 解：（1）f（x）=sin2x+sin x cosx-===sin（2x-）；因为2kπ≤2x-≤2kπ，∴kπ≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y=f（x）在[0，]上的单调递增区间为[0，]；（2）将函数向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=sin x，g（x0）＞．即sin x＞，所以2kπ＜x＜2kπ，k∈Z，则（2kπ）-（2k）=＞1，所以对任意的整数k都存在x0∈（2kπ，2kπ），k∈Z，即存在无穷多个互不相同的整数x0，使得g（x0）＞．19. 解：（Ⅰ）在△APC中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2-2•AP•AC•cos∠PAC，所以22=AP2+（4-AP）2-2•AP•（4-AP）•cos60°，整理得AP2-4AP+4=0，解得AP=2．所以AC=2．所以△APC是等边三角形．所以∠ACP=60°．（Ⅱ）法 1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°．因为△APB的面积是，所以．所以PB=3．在△APB中，AB2=AP2+PB2-2•AP•PB•cos∠APB=22+32-2×2×3×cos120°=19，所以．在△APB中，由正弦定理得，所以sin∠BAP==．法2：作AD⊥BC，垂足为D，因为△APC是边长为2的等边三角形，所以．因为△APB的面积是，所以．所以PB=3．所以BD=4．在Rt△ADB中，，所以，．所以sin∠BAP=sin（∠BAD-30°）=sin∠BAD cos30°-cos∠BAD sin30°==．20. 解：（Ⅰ）∵f（x）=ln x-，∴由题意知f（x）的定义域为（0，+∞）…（ 1分）且f′（x）=+=．…（3分）∵a＞0，∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．…（5分）（Ⅱ）由（1）可知，f′（x）=．①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，∴f （x）min=f（1）=-a=，∴a=-（舍去）．②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，∴f（x）min=f（e）=1-=，∴a=-（舍去）．③若 -e＜a＜-1，令f′（x）=0得x=-a，当 1＜x＜-a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数；当 -a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e ）上为增函数，∴f（x）min=f（-a）=ln（-a）+1=，∴a=-．综上所述，a=-．21. 解：（1）由题意知，曲线y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为3，所以f′（1）=3，又f′（x）=ln x++1，即ln1+b+1=3，所以b=2．（2）由（1）知g（x）=e x ln x-2ae x，所以g′（x）=（+ln x-2a）e x（x＞0），若g（x）在区间（0，+∞）上为单调递减函数，则g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即，所以2a≥+ln x．令h（x）=+ln x（x＞0），则h′（x）=，由h'（x）＞0，得x＞0，h'（x）＜0，得0＜x＜1，故h（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，则，h（x）无最大值，g'（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，故g（x）在（0，+∞）不可能是单调减函数．若g（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即，所以2a≤+ln x，由前面推理知，h（x）=+ln x的最小值为h（1）=1，∴2a≤1，故a的取值范围是a．【解析】1. 解：集合A={1，2，3}，={x|0＜x≤2}，则A∩B={1，2}．故选：B．解不等式求出集合B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2. 解：复数z满足z（3+4i）=1+i，∴z（3+4i）（3-4i）=（1+i）（3-4i），∴5z=7-i，∴z=-i．∴=+i．则复平面内表示z的共轭复数的点在第一象限．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：对于（1），“”的否定是“∀x∈R，x2-2sin x＜5”，正确；对于（2），“∠AOB为钝角”的充要条件是“”且不共线，故错；对于（3），∵y=tan x的对称中心为（，0），k∈Z，∴由2x+=，k∈Z，得x=-，故错故选：B（1）根据含有量词命题的否定定义判定；（2）根据向量的夹角与数量积的关系判定；（3）由y=tan x的对称中心为（，0），k∈Z判定本题考查了命题的否定、充要条件、正切函数的对称性，属于中档题．4. 解：cos70°sin50°-cos200°sin40°=cos70°sin50°+cos20°sin40°=cos70°sin50°+sin70°cos50°=sin（50°+70°）=sin120°=．故选：D．由诱导公式，两角和的正弦函数公式化简所求，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5. 解：由tan（-α）=3，得tanα=-3，则===．故选：C．展开二倍角的正弦公式和余弦公式，整理后化为含有tanα的代数式，则答案可求．本题考查了三角函数的化简与求值，重点考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，是基础的计算题．6. 解：令f（x）=0得|log a x|=，则y=|log a x|与y=的图象有2个交点，不妨设m＜n，a＞1，作出两个函数的图象如图：∴＞，即-log a m＞log a n，∴log a m+log a n＜0，即log a（mn）＜0，∴mn＜1．故选C．结合图象得出|log a m|和|log a n|的大小关系，利用对数的运算性质化简即可得出答案．本题考查了基本初等函数的图象与性质，对数的运算性质，属于中档题．7. 解：∵c=log38＜2＜a=21.3＜b=40.7=21.4，∴c＜a＜b．故选：C．利用c=log38＜2＜a=21.3＜b=40.7=21.4，即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 解：由图象得到函数周期为T=2（）=π=，所以ω=3，由f（）=0得到φ=，由f（）=-，得到A sin（）=，所以A=，所以f（x）=sin（3x+），所以f（）==；故选：A．首先由函数图象求出解析式然后求三角函数值．本题考查了三角函数图象以及性质；熟练掌握正弦函数的图象和性质是解答的关键．9. 解：令得x=e；当x＞1时，令f′（x）＜0得1＜x＜e，∴m max=e．故选：A．求出导函数，利用导函数的符号，列出不等式求解即可．本题考查函数的导数的应用，考查函数的单调性以及最值的求法，考查计算能力．10. 解：根据题意，f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2[sin（2x+φ）+cos （2x+φ）]=2sin（2x+φ+），若f（x）为偶函数，则有φ+=kπ+，即φ=kπ+，分析选项，可以排除B、D，对于A、当φ=时，f（x）=2sin（2x+）=2cos2x，在[0，]上是减函数，不符合题意，对于C、当φ=时，f（x）=2sin（2x+）=-2cos2x，在[0，]上是增函数，符合题意，故选：C．先将函数化简为y=A sin（ωx+φ）的形式，再根据三角函数的奇偶性和单调性对选项进行逐一验证即可得到答案．本题考查三角函数的单调性和奇偶性．一般都要先将函数解析式化简为y=A sin（ωx+φ）的形式，再根据题中条件解题．11. 解：函数，∵，可得sin（）=-1，∴=，k∈Z．∴α=，k∈Z．∵，可得sin（）=0，∴=kπ，k∈Z．∴β=．那么：|α-β|的最小值为|-|=||当k=0时，可得最小值为，即=．可得：ω=．故选：C．根据，，|α-β|的最小值为，建立关系求解ω的值．本题主要考查三角函数的图象和性质的运用和计算能力．属于基础题．12. 解：不等式ln[f（x）-1]＞ln4-x，即为ln[f（x）-1]+ln e x＞ln4，即e x（f（x）-1）＞4，设g（x）=e x f（x）+e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）+e x=e x[f（x）+f′（x）+1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）+1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞4-e x，∴g（x）＞4，又∵g（0）=e0f（0）-e0=5-1=4，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A构造函数g（x）=e x f（x）+e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键13. 解：∵α的终边过点（a，-2），∴tanα=-，∵，∴tanα=，∴-=，解得a=-6，故答案为：-6根据定义和诱导公式即可求出．此题考查了任意角的三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．14. 解：∵锐角△ABC中，，，，∴cos（A+）==，sin（B-）==，则sin（A+B）=sin[（A+）+（B-）]=sin（A+）cos（B-）+cos（A+）cos（B-）]=+=，故答案为：．利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得sin（A+B）=sin[（A+）+（B-）]的值．本同题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．15. 解：y=e x的导数为y'=e x，y=（x+a）2的导数为y'=2（x+a），设两曲线的公共点坐标为（x0，y0），依据题意可得，消可得，所以x0+a=2，所以，即x 0=ln4，所以a=2-ln4．故答案为：a=2-ln4．分别求出曲线C1，曲线C2所对的函数的导数，设两曲线的公共点坐标为（x0，y0），运用切线的斜率相等和切点在两曲线上，解方程，即可得到a的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导和运用切点的性质是解题的关键，属于中档题．16. 解：给出四个函数：①y=-x，②y=-，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①④，③④，共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==．故答案为：．从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．17. （1）利用余弦定理即可得出．（2）根据正弦定理与三角形面积计算公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. （1）化简三角函数式，利用正弦函数的单调性求单调区间；（2）利用三角函数图象的变换规律得到函数y=g（x），然后证明．本题看错了三角函数的化简以及三角函数的性质、图象变换；属于中档题．19. （Ⅰ）在△APC中，由余弦定理得AP2-4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等边三角形，即可得解．（Ⅱ）法 1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面积公式可求PB=3．进而利用余弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP=的值．法2：作AD⊥BC，垂足为D，可求：，利用三角形面积公式可求PB，进而可求BD，AB，利用三角函数的定义可求，．利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAP=sin（∠BAD-30°）的值．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，三角函数的定义，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想，属于中档题．20. （Ⅰ）由题意知f （x ）的定义域为（0，+∞），且f ′（x ）=+=，由此得到f （x ）在（0，+∞）上是单调递增函数．（ Ⅱ）由f ′（x ）=，根据a ≥-1，a ≤-e ，-e ＜a ＜-1，进行分类讨论，利用导数性质能求出a 的值．（ Ⅲ）推导出ln x -（x -）≤0，令，要所λ≤-1，-1＜λ＜0，λ=0，0＜λ＜1，λ≥1进行分类讨论，利用导数性质能求出λ的最小值．本题考查函数单调性质的判断，考查实数值、导数性质、构造法、函数单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．21. （1）由题意知，曲线y =f （x ）的图象在点（1，f （1））处的切线斜率为3，求导数，代入计算，即可得出结论；（2）求导数，分类讨论，即可求实数a 的取值范围．本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22，解：1()ln ,0a g x x x ex-=+> '2(1)(),0ex a g x x ex --=> ①a ≤1时，g ′（x ）＞0，x>0∴f （x ）在（0，+∞）递增；②a ＞0时，令f ′（x ）=0，得：1a x e -=x(0, 1a e -) 1a e - (1a e -,+∞) g(x) —+ '()g x递减 递增综上，a ≤1时，f （x ）增区间为（0，+∞）；a ＞1时，f （x ）减区间为（0，1a e -），增区间为（1a e -，∞）增区间； （Ⅱ）要证明()()x f x g ->.即证明121ln x e x e e-+> 下面证明：e x ≥x+1，设h （x ）=e x -（x+1），x ≥0，则h ′（x ）=e x -1，x ≥0，∴ x ≥0时，h ′（x ）≥0∴h （x ）在[0，+∞）递增，∴h （x ）≥h （0）=0，于是有e x ＞x+1，x ＞0，故x ＞0时，e x-1＞x ，从而111x e x -< 下面只需证明21ln e x x x +>,即证1ln 0e x x +> 令1()ln ,0F x e x x x =+>， 则'21(),0ex F x x x -=> 故F （x ）在（0，1e ）递减，在（1e，+∞）递增， 即F （x ）≥F （1e）=0， ∵x =1e 时e x -1＞x ∴1110x e x-<< ∴121ln x e x e e-+>也成立 ∴对任意的实数0>x ，都有()()x f x g ->【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）问题转化为证明e ln x +＞，先证出e x≥x +1，再证明e ln x +≥0，令F （x ）=e ln x +（x ＞0），根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．。