黑龙江省大庆第一中学2017-2018学年高三下学期开学考试理数试题 Word版含解析

2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.设集合 M ={x|2
60x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =（ ） A ． B ．
D ．
【答案】B
考点：集合的运算性质
2.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ ）
A.i +-1
B.i --1
C.i +1
D.i -1 【答案】A 【解析】
试题分析：因为,2)1(i z i =-所以22(1)2211(1)(1)2
i i i i z i i i i +-+====-+--+，所以选A. 考点：复数的运算.
【方法点睛】本题考查复数的乘法除法运算，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理，对于复数),(R b a bi a z ∈+=，它的模为
22b a +；复数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复
数的模，复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意2
1i =-，同时注意运算
的准确性.
3.
”的”是““βαβαsin sin ≠≠（ ）
A 、充分而不必要条件
B 、 必要而不充分条件
C 、 充要条件
D 、既不充分也不必要条件 【答案】B
考点：充分必要条件的判定.
【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法 (1)判断法：
设“若p ，则q ”为原，那么：
①原为真，逆为假时，p 是q 的充分不必要条件； ②原为假，逆为真时，p 是q 的必要不充分条件； ③原与逆都为真时，p 是q 的充要条件；
④原与逆都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)集合判断法：
从集合的观点看，建立p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么：
①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件； ③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件． (3)等价转化法：
p 是q 的什么条件等价于非q 是非p 的什么条件．
4.由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )
A ．
10
3 B ．
16
3
C ．4
D ．6
【答案】B 【解析】
试题分析：画出草图
由2
y x y =-⎧⎪⎨
=⎪⎩解得42x y =⎧⎨=⎩，所以(4,2)M ,
所以曲线y =2y x =-及y 轴所围成的
图形的面积3
4
24
200
2116(2)(2)|323
s x dx x x x ⎤=
-=-+=⎦⎰
. 考点：定积分的几何意义及微积分基本定理.
【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与定积分的计算，定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力,定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理,利用此法关键被积函数的原函数，此外如果被积函数是绝对值函数或分段函数，则可利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应解析式，分别求得积分相加；二是利用定积分的几何意义利用面积求定积分.
5..已知定义在R 上的函数2
()5f x x =+，记2(l o g 5)a f =-，2(log 3)b f =，
(1)c f =-，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A 、c b a <<
B 、a c b <<
C 、c a b <<
D 、a b c << 【答案】
A
考点：比较大小.
6.若,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪
--≥⎨⎪--≤⎩
,则35z x y =+的取值范围是（ ）
A.[)3+∞，
B.[]83-，
C.(],9-∞
D.[]89-， 【答案】
D
考点：线性规划.
7.在等差数列{}n a 中，8111
62
a a =+，则数列{}n a 前9项的和9S 等于 ( )
(A)24 (B)48
(C)72
(D)108
【答案】D 【解析】
试题分析：设等差数列{}n a 公差为d ，又因为8111
62
a a =
+，
所以5513(6)62a d a d +=++，
解得551
3(6)62
a d a d +=
++，解得512a =，959108s a ==. 考点：等差数列的性质.
8.已知一棱锥的三视图如图所示,其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则该棱锥的体积为( )
A.8
B.16
C.32
D.48【答案】B
考点：由三视图求体积.
9.要得到函数y=2cosx 的图像，只需将函数y=2sin(2x+
4
π
)的图像上所有的点的 ( )
A.横坐标缩短到原来的2
1
倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8
π
个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的2
1倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4
π
个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4
π
个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动
8
π
个单位长度
【答案】C 【解析】
试题分析：将函数y=2sin(2x+4
π
)的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不
变)，再向左平行移动4
π
个单位长度 可得到sin()4
y x π
=+
，再向左平行移动4
π个单位长度，
可得到sin()cos 44
y x x π
π
=+
+=的图像. 考点：图像的平移及三角形的诱导公式.
10.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ） A ．
3
4 B. 43 C ．12 D.1
4
【答案】A
考点：直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式.
11.已知函数()(ln 2)f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A 、1
(,)4-∞ B 、1(0,)2 C 、 1(0,)4 D 、1(,)2
+∞ 【答案】C 【解析】
试题分析： 因为函数()(l n 2f x x x a x =
-则()ln 4f x x x ax '=-，因为函数
()(ln 2)f x x x ax =-有两个极值点，所以()ln 410f x x x ax '=-+=，在(0,)+∞有两个实
数根，令g()ln 41,x x x ax =-+，
1g ()4x a x '=
-，当0a ≤时g ()0x '=在(0,)+∞无解，当0a >时，令1
40a x
-=，解得1
40a x
-=则 14x a =，令g ()0x '>，解得104x a <<,函数g()x 单调递减，令g ()0x '>，解得14x a
>函
数g()x 单调递增，所以当1
4x a
=时，函数()g x 取得极大值，要使()0g x =在(0,)+∞有两个
实数根，则函数
11(
)ln 044g a a =>，解得1
4
a <实数a 的取值范围是1(0,)4.
考点：利用导数求参数的取值范围. 12.已知方程k x |
x cos |=在),0(+∞上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是 ( )
A ．11)4tan(
-α+α=π+α B ．1
1)4tan(+α-α=π+α C ．11)4tan(-β+β=π+β D ．1
1
)4tan(+β-β=
π+β 【答案】D
考点：函数的零点与方程根的关系.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量,a b 夹角为45︒
，且1,210a a b =-=；则_____b =
【答案】 【解析】
试题分析：因为向量,a b 夹角为45︒
，且1,210a a b =-=，所以
2222|2|10,(2)4()10,422||()10a b a a b b b b -=-⋅+=-+=，即2||22||60b b --=，
因为||0b >，解得||b =考点：向量模的运算.
14. 已知0x >，0y >且22x y +=，则18
x y
+的最小值为 . 【答案】9 【解析】
试题分析：因为0x >，0y >且22x y +=，所以
181828()14545922x y y x x y x y x y ++=+=+++≥=+=. 考点：基本不等式.
15.已知F 1，F 2是双曲线22
221x y a b
+= (a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点
重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A ．若|OA |＝b ，则该双曲线的离心率为________．
考点：求双曲线的离心率.
16.定义区间[]21,x x 长度为)(1
2
12x x x x >-，已知函数()
)
0,(1
)(22
≠∈-+=
a R a x
a x a a
x f 的定义域与值域都是[]n m ,，则区间[]n m ,取最大长度时a 的值为___________ 【答案】3
考点：函数的性质.
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）设f （x ）=sin cos cos x x -2
（x+
4
π
）. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f （2
A
）=0,a=1,求△ABC 面积的最大值。

【答案】（Ⅰ）)(x f 的单调递增区间是]4
,
4
[ππ
ππ
k k ++-
（Z k ∈），单调递减区间是
]43,
4
[
ππ
ππ
k k ++
（Z k ∈），（Ⅱ）4
32+ 【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用降幂公式及两角和与差的公式，将函数解析式化为
1
()sin 22
f x x =-,把2x 看作整体，求出函数 f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）由f （
2A ）=0可得1sinA 2=由A 是锐角，可得
cos 2
A =，由余弦定理及基本不等式可求出△ABC 面积的最大值
试题解析：（Ⅰ）由题意1cos(2)
12()sin 222
x f x x π
++=-
x x 2sin 2
1
212sin 21+-=
2
1
2sin -=x ……………………3分
由ππ
ππ
k x k 22
222
+≤
≤+-
Z k ∈ 可得ππ
ππ
k x k +≤
≤+-4
4
Z k ∈
由ππ
ππ
k x k 22
3222
+≤≤+ Z k ∈ 得
ππ
ππ
k x k +≤
≤+4
34 Z k ∈ 所以)(x f 的单调递增区间是]4
,
4
[ππ
ππ
k k ++-（Z k ∈）
单调递减区间是]4
3,
4
[
ππ
ππ
k k ++（Z k ∈）……………………………………6分
【方法点睛】(1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到()ϕω+=x A y sin 的形式，.求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成()ϕω+=x A y sin 形式，再()ϕω+=x A y sin 的单调区间，只需把ϕω+x 看作一个整体代入x y sin =相应的单调区间，注意先把ω化为正数,这是容易出错的地方； (2)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(3)在三角形中，注意隐含条件π=++C B A ；（4）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.
考点：三角函数的单调区间及余弦定理三角形面积公式.
18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足(
)111,21n n a a a n N *
+==+∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设n S 为数列21n n a ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和,求证:41<≤n S .
【答案】（1）12-=n n a ，（2）41<≤n S
(2)∵
122122
n n n n n n
a -==+ …………………………6分 ∴21231222
n n n
S -=++++ ① ∴23111231222222
n n n n n
S --=+++++ ② ………………………7分 ①-②,得
2111111222
22n n n n S -=++++-1122212212
n
n n
n n ⎛⎫
- ⎪
+⎝⎭=-=-- ………………9分 ∴1
2
42n n n S -+=- ………………………………10分 ∵
02
2
1
>+-n n ，∴4<n S 又∵02
1
22231<--=+-+-n
n n n n n ，∴322122111=+≤+--n n ，∴12241≥+--n n ∴41<≤n S .……………………12分
考点：求数列的通项公式及数列的前n 项和，利用放缩法证明不等式
【方法点睛】（1）数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，再由递推关系求数列的通项公式，常用方法有：一是求出数列
的前几项，再归纳总结出数列的一个通项公式；二是将已知递推关系式整理、变形，变成等差数列或者等比数列，或用累加法，累乘法，迭代法求通项.(2)一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n b a ⋅的前n 项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论.
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S － ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，SA =AB=BC =2，AD =1．M 是棱SB 的中点．
（Ⅰ）求证：AM ∥面SCD ；
（Ⅱ）求面SCD 与面SAB 所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点N 是直线CD 上的动点，MN 与面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）36；（Ⅲ）7
35
sin max =θ 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知条件中的垂直关系，建立以点A 为原点，AD 为x 轴；AB 为y 轴AS 为
z 轴空间直角
坐标系，写出A,B,C,D,S,M 的坐标，得到,,AM SD CD 的坐标表示，求出平面SCD 的法向量是(),,,n x y z =可得0AM n ⋅=，从而AM n ⊥.可得AM ∥平面SCD .
（Ⅱ）将平面SCD 与平面SAB 所成二面角转化为两法向量夹角（或其补角），求出两平面的法向量，利用两向量的夹角的余弦公式求出即可
（Ⅲ）由题意设(),22,0,N x x =-，则(),23,1MN x x =--.由平面SAB 的法向量为
()11,0,0n =，得到sin θ的式子，利用二次函数的性质求出sin θ的最大值
.
（Ⅱ）易知平面SAB 的法向量为()11,0,0n =.设平面SCD 与平面SAB 所成的二面角为ϕ，
则
(
111,0,0n n cos n n
ϕ⋅=
=
=
=
⋅，即3
cos ϕ=.
考点：线面平行，两个平面所成的角及线面角
【方法点睛】(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
20.（本小题满分12分）已知顶点为原点O 的抛物线1C 的焦点F 与椭圆
22
222:1,(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点重合，1C 与2C 在第一和第四象限的交点分别为A 、B ．
（1）若△AOB 是边长为1C 的方程； （2）若AF OF ⊥，求椭圆2C 的离心率e ；
（3）点P 为椭圆2C 上的任一点，若直线AP 、BP 分别与x 轴交于点(,0)M m 和(,0)N n ， 证明： 2
mn a =．
【答案】（1）2y x =；（2
）1e =；（3）2
a
（3）证明：设112222(,),(,),(,)P x y A x y B x y -，
而直线PA 的方程为211112()()()()0x x y y x x y y --+--=…………8分 令0y =得2112
12
x y x y m y y -=
-。

…………9分
在211212x y x y m y y -=
-中，以2y -代换2y 得2112
12
x y x y n y y +=+…………10分
∴ 2222211221122112
22
121212
x y x y x y x y x y x y mn y y y y y y +--=⋅=+--，又因为点A ，B 在椭圆上，所以有
2222
1122
22221,1x y x y a b a b
+=+=，代入上式得 mn 22
2222
211222222
12
(1)(1)y y a y a y b b a y y -
--=
=-…………12分 考点：抛物线方程，椭圆的离心率及证明定值问题.
21.（本小题满分12分）定义在R 上的函数()f x 满足22
2(1)()2(0)2
x f f x e x f x -'=
⋅+-， 21
()()(1)24
x g x f x a x a =-+-+．
（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；
（3）如果s 、t 、r 满足||||s r t r --≤，那么称s 比t 更靠近r ． 当2a ≥且1x ≥时，试比较
e x
和1
x e a -+哪个更靠近ln x ，并说明理由． 【答案】（1）22()2x f x e x x =+-（2）当0a ≤时，函数()g x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，函数()g x 的单调递增区间为(lna,)+∞，单调递减区间为(,lna)-∞（3）见解析
（2）
22()2x f x e x x =-+，
222111
()()(1)(1)(1)2444
x x x g x f x a x a e x x x a x a e a x ∴=-+-+=+--+-+=--
()x g x e a '∴=- ． 5分
①当1x e ≤≤时，1
|()||()|()()x e p x q x p x q x e a x
--=-=--， 设1()x e m x e a x -=
--，则12'()0x e
m x e x
-=--<， ∴()m x 在[1,)x ∈+∞上为减函数， ∴()(1)1m x m e a ≤=--，
2a ≥，∴()0m x <，∴|()||()|p x q x <，∴
e
x 比1
x e a -+更靠近ln x ． ②当x e >时，11
|()||()|()()2ln 2ln x x e p x q x p x q x x e a x e a x
---=--=-+--<--，
设1()2ln x n x x e a -=--，则12'()x n x e x -=-，1
22''()0x n x e x
-=--<，
∴'()n x 在x e >时为减函数，∴12
'()'()0e n x n e e e -<=-<，
∴()n x 在x e >时为减函数，∴1()()20e n x n e a e -<=--<， ∴|()||()|p x q x <， ∴
e x 比1
x e a -+更靠近ln x ． 综上：在2,1a x ≥≥时，e x
比1
x e a -+更靠近ln x ．
12分
考点：利用导数求函数的解析式及导数与函数的单调性的关系.
22.（本小题满分10分）如图所示，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P .
(1)求证：AD ∥EC ；
(2)若AD 是⊙O 2的切线，且PA ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长．
【答案】（1）证明见解析，（2）12
∴DE ＝9＋x ＋y ＝16，∵AD 是⊙O 2的切线． ∴AD 2
＝DB ×DE ＝9×16，∴AD ＝12. 考点：证明两直线平行及求切线长.
23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极
轴建立极坐标系。

已知直线l 的方程为4cos sin 250ρθρθ--=，曲线2
2:1
x t
W y t =⎧⎨=-⎩ （t 是参数）。

(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线W 的普通方程； (2)若点P 在直线l 上，Q 在曲线W 上，求PQ 的最小值．
【答案】（1）4250x y --=，2114y x =
-；（2.
考点：化参数方程，极坐标方程为普通方程及求最小值.
24.（本小题满分10分）已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
【答案】（1）
2
|1
3
x x
⎧⎫
<<
⎨⎬
⎩⎭
（2）(2，＋∞)
考点：解绝对值不等式及求参数的取值范围.。