2025版高考数学一轮总复习课时作业第二章函数2

其次章函数 2.2 函数的基本性质第2课时函数的奇偶性与周期
性
【巩固强化】
1. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（D）
A. B.
C. D.
解：对于，函数的定义域为，，所以为奇函数.对于，函数的定义域为，
，所以为偶函数.对于，函数的定义域为，，所以
为奇函数.只有既不是奇函数也不是偶函数.故选.
2. 函数的图象关于（B）
A. 轴对称
B. 原点对称
C. 轴对称
D. 直线对称解：由得或.
又,所以是奇函数，图象关于原点对称.故选.
3. 已知函数是定义在上的偶函数，则的值是（B）
A. B. C. D.
解：因为是偶函数，所以.所以.又，所以.所以故选.
4. 函数的图象大致为（D）
A. B.
C. D.
解：的定义域为，且，故函数为偶函数，解除，．又，解除.故选．
5. 若函数为奇函数，则（C）
A. 0
B. 1
C.
D. 1或
解：（方法一）因为是奇函数，所以，即.明显，整理得，即.该式对随意恒成立，故，解得.
（方法二）因为为奇函数，定义域为.视察函数解析式，取，则，解得.故选.
6. [2024年全国甲卷]设是定义域为的奇函数，且.若
，则（C）
A. B. C. D.
解：由题意，可得
故选.
7. 已知函数满足.若，则.
解：由题意，知，则.用代替，得.故为周期函数，且4为的一个周期.若，则
.故填.
8. 已知函数为上的偶函数，当时，单调递减，若，则的取值范围是,..
解：结合题意,要满足,则,解得,.故填,.
【综合运用】
9. [2024年新课标Ⅰ卷]已知函数是偶函数，则（A）
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
解：.因为为偶函数，所以，即
整理得，故.故选.
10. [2024年新课标Ⅰ卷Ⅱ卷]若定义在的奇函数在上单调递减，且
，则满足的的取值范围是（D）
A. B.
C. D.
解：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，.所以当时，
，当时，.由，得
或
或，
解得或.
所以满足的的取值范围是.故选.
11. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则
的最小值为．
解：因为函数为偶函数，所以，即
.因为函数为奇函数，所以
，即.
联立①②，可得.又，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．故填. 12. 已知的定义域为，，且.
（1）证明：是偶函数.
解：证明：的定义域为，关于原点对称.
令，，得，即.又，所以.
令，得，所以.所以，所以是偶函数.
（2）求.
[答案]因为为偶函数，所以.令，得
.所以.
【拓广探究】
13. 【多选题】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为以下四个命题，其中真命题有（ABD）
A. 是偶函数
B. 的周期是随意非零有理数
C. 是奇函数
D. ，，
解：对于，当为有理数时，为有理数，则．当为无理数时，为无理数，则．故当时，，所以是偶函数，故是真命题.
对于，且，当是有理数时，是有理数，.当是无理数时，是无理数，.所以，，故是真命题.
对于，是偶函数，不是奇函数，故是假命题.
对于，当，时，是无理数，则，
，满足，故是真命题.故选.。