湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第二次联考 数学试题(含解析)

2025届湖南省名校联考联合体高三上学期第二次联考数
学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合{}2,1,4A =-，{}2
50B x x x =+<，则A B = （
）A．{}1,4B．{}5,2--C．{}
2-D．{}
12．若复数
5i
2i
+在复平面内对应的点的坐标为（）
A．()2,2B．()0,2C．()
1,2D．()
2,2-
3．已知向量a ，b
满足23a b += ，a b -=r r ，则()
2a a b ⋅+= （
）
A．3B．3
-C．1D．1
-4．5(21)x -的展开式中3x 的系数为（）
A．80
-B．40
-C．40D．80
5．函数()sin cos f x x x =在()0,α（0α>）内没有最小值，且存在()00,x α∈，使得()00f x <，则α的取值范围是（）
A．π3π,24⎛⎫ ⎪
⎝⎭B．5ππ,4⎛⎫ ⎪
⎝⎭C．3ππ,2⎛⎫ ⎪
⎝⎭
D．π3π,22⎛⎫ ⎪
⎝⎭
6．若α为锐角，且sin 29
cos sin cos 15
αααα=++-，则cos α=（
）A．
45
B．
35
C．725
D．35
-
7．已知()2
22log 41log 40a a a a +<<，则（
）A．104a <<B．1142a <<
C．
122
a <<D．
12
a <<8．已知函数()32
13
f x x x ax =-+，若()f x 的图象上存在两点A ，B ，使得()f x 的
图象在A ，B 处的切线互相垂直，且过点()0,P a -只能作1条切线与()f x 的图象相切，则a 的取值范围是（）
A．()0,1B．()
1,0,3⎛
⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C．()
1,0,13⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭ D．()1,01,3⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
二、多选题（本大题共3小题）
9．下图为2024年中国大学生使用APP 偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP 的结论正确的是（
）
A．超过
1
4
的大学生更爱使用购物类APP B．超过半数的大学生使用APP 是为了学习与生活需要C．使用APP 偏好情况中7个占比数字的极差是23%D．APP 使用目的中6个占比数字的40%分位数是34.3%
10．已知函数()f x 满足对任意x ∈R ，都有()()
()()2
21f f x f x f x =+-，且
()01f =，则（
）
A．()12
f =B．()26
f =C．()()2
2f x f x ⎡⎤=⎣⎦
D．()f x 是偶函数
11．已知数列{}n a 满足对任意s ，*t ∈N ，都有s t s t a a a +=，且12a =，j i
a a -（1i j n ≤<≤）的所有不同的值按照从小到大构成数列{}m
b ，则下列结论正确的是（
）
A．()
2
112n n n n a a a a ++=+B．510
b =C．{}n a 中任意3项不成等差数列
D．{}m b 的前15项的和为402
三、填空题（本大题共3小题）
12．命题“()2,x ∞∀∈+，
<.
13．某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了
()*40n n ∈N 个人，得到如下列联表：
是社交电商用户
不是社交电商用户
合计
男性8n
12n
20n 女性
12n
8n
20n
合计20n 20n 40n
已知0.05 3.841x =，若根据0.05α=的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n 的最小值为
.
14．已知函数()()2e 0x
f x ax x x =-≠有3个极值点1x ，2x ，3x （123x x x <<），则
a 的取值范围是；若存在{},1,2,3i j ∈，使得
3j i
x x >，则i x 的取值范围
是.
四、解答题（本大题共5小题）
15．某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的A ，B ，C 三点，其中40m AC =，点B 为AC 中点，兴趣小组组长小王在A ，B ，C 三点上方5m 处的1A ，1B ，1C 观察已建建筑物最高点E 的仰角分别为α，β，γ，其中tan 1α=，tan 2β=，tan 3γ=，点D 为点E 在地面上的正投影，点1
D 为D
E 上与1A ，1B ，1C 位于同一高度的点.
(1)求建造中的建筑物已经到达的高度DE ；
(2)求111
111
sin sin A D B B D C ∠∠的值.
16．已知函数()f
x 是定义域为R 的奇函数，且0x ≥时，()f x x =.(1)求0x <时()f x 的解析式；
(2)若方程()f x a =有3个不同的实根1x ，2
x ，3x ，求a
的取值范围及+
17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12n n n n b a a S +=-.(1)求证：数列{}1n n b b +-是等差数列；
(2)若10a >，23a a ≠，且{}n b 是等差数列，求证：111233412
11n n a a a a a a a a a a ++++<- .18．已知*n
∈N ，且1n >，()ln f x x =.(1)求()f x 的最小值；(2)求证：()1
21e
1
n n n
f x n +-+
+≥.
（参考数据2
31.9e 2<<）
19．若数列（1n k ≤≤）满足{}0,1n a ∈，则称数列为k 项01-数列，由所有
k 项01-数列组成集合k M .
(1)若是100项01-数列，当且仅当32n k =-（*k ∈N ，34k ≤）时，0n a =，求数列
(){}2n
n
a -的所有项的和；
(2)从集合k M 中任意取出两个数列，，记1
k
i i i X a b ==-∑.
①求X 的分布列，并证明()2
k E X >
；②若用某软件产生()2k k ≥项01-数列，记事件A =“第一次产生数字1”，
B =“第二次产生数字1”，若()()
P B A P B A <，比较()P A B 与()
P A B 的大小.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由250x x +<，得到5x 0-<<，所以{}50B x x =-<<，又{}2,1,4A =-，所以{}2A B =-I ，故选：C.2．【答案】C 【详解】因为5i 5i(2i)
12i 2i (2i)(2i)
-==+++-，其对应的坐标为()1,2，故选：C.3．【答案】D
【详解】因为向量a ，b 满足23a b +=
，a b -= 所以229a b += ，2
12a b -= ，
即2
2449a a b b +⋅+= ，①2
2212a a b b -⋅+= ，
②
所以，-①②得：2363a a b +⋅=-
，即221a a b +⋅=- ，
所以()
2221a a b a a b ⋅+=+⋅=-
.
故选：D 4．【答案】D
【详解】5(21)x -展开式中含3x 的项为()()3
2
2
35C 2180x x -=，
所以3x 的系数为80，故选：D 5．【答案】B
【详解】当πα=时，此时()1πsin 2,0,221πsin 2,,π2
2x x f x x x ⎧⎛⎤
∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨
⎛⎫
⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩(]π0,,20,π2x x ⎛⎤
∈∈ ⎥⎝⎦
，1()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦()π,π,2π,2π2x x ⎛⎫
∈∈ ⎪⎝⎭
，1()0,2f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不满足存在()00,x α∈，使得()00f x <，故
排除A,D
当5π4
α=时，此时()1πsin 2,0,2
21πsin 2,,π2215πsin 2,π,24x x f x x x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎝⎦⎪
⎪⎛⎤=-∈⎨ ⎥
⎝⎦⎪⎪⎛⎫-∈⎪ ⎪
⎝⎭⎩，(]π0,,20,π2x x ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦，1()0,2f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，(]π,π,2π,2π2x x ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦，1()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
5π5ππ,22π,42x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1(),02f x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，此时不满足题意，故排除C
综上所述B 正确故选：B 6．【答案】B 【详解】因为
sin 29
cos sin cos 15
αααα=++-，
所以
()()()
2
sin cos 1sin cos 1sin cos 1
sin cos 1sin cos 1
αααααααααα+-+++-=
+-+-9
sin cos 1cos 5
ααα=++=
+，所以4sin 5
α=
，因为α为锐角，故3cos 5
α=.故选：B 7．【答案】B
【详解】因为对数的定义域，得021a <<或21a >，又因为()2
2414210a a a +-=->,所以2414a a +>,
因为()2
22log 41log 40a a a a +<<，所以可得021a <<,
因为22log 40log 1a a a <=，可得41a >,所以
1142
a <<.故选：B.8．【答案】C
【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为()3
213
f x x x ax =
-+，所以()22f x x x a =-+'，
由题有22
1122(2)(2)1x x a x x a -+-+=-有解，
又222(1)11x x a x a a -+=-+-≥-，所以10a -<，即1a <，。