重要不等式

平均不等式
一、引入：
本节将讨论平均不等式、柯西不等式、排序不等式等著名不等式。

这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 22
2≥+（当且仅当b a =时取“=”）
证明：222)(2b a ab b a -=-+
⇒⎭
⎬⎫>-≠=-=0)(0)(2
2b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 22
2≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈, 强调取“=”的条件b a =。

2、定理2：如果b a ,是正数，那么
ab b
a ≥+2
（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：
ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b
a =+2
注意：1．这个定理适用的范围：+
∈R a ；
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、定理3：如果+
∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）
证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32
233333---++=-++
)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=
])()())[((2
1
222a c c b b a c b a -+-+-++=
∵+
∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 33
3
3
≥++
指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证。

推论：如果+∈R c b a ,,，那么
3
3
abc c b a ≥++。

（当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++
⇒33abc c b a ≥++
⇒
3
3
abc c b a ≥++ 4、算术—几何平均不等式：
①．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：
n
a a a n
+++ 21叫做这n 个正数的
算术平均数，n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数；
②．基本不等式：
n
a a a n +++ 21≥n
n a a a 21（n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*）
这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略） 语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

二、典型例题：
例1、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2
2
2。

证：∵ab b a 22
2
>+ bc c b 22
2
>= ca a c 22
2
>+
以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(22
22++>++ ∴ca bc ab c b a ++>++2
2
2
例2、设c b a ,,为正数，求证：abc c bc ac ab b a ab 16))(1(2
≥++++++。

例3、设1a ，2a ，3a ，…，n a 为正数，证明：
n
n a a a n
n
a a a 1112121+++≥+++ 。

例4、若+
∈R y x ,，设2
),(2
2y x y x Q +=
2),(y x y x A += xy y x G =),(
y
x y x H 1+=
12),( 求证：),(),(),(),(y x H y x G y x A y x Q ≥≥≥
加权平均；算术平均；几何平均；调和平均
证：∵2
442)2(22222222y
x y x y x xy y x y x +=+++≤++=+ ∴2
222y x y x +≥
+即：),(),(y x A y x Q ≥（俗称幂平均不等式） 由平均不等式),(),(y x G y x A ≥
),(222),(y x G xy xy
xy
y x xy y x H ==≤+=
即：),(),(y x H y x G ≥ 综上所述：),(),(),(),(y x H y x G y x A y x Q ≥≥≥
三、作业：
1、若+∈=+R b a b a ,,1 求证2
25)1()1(22≥+++
b b a a 证：由幂平均不等式：2)11()1()1(2
22b b a a b b a a +++≥+++ 2
252)23(2)3(2)1(22
2=
+≥++=++++=b a a b b b a a b a 柯西不等式
1、什么是柯西不等式：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则
22222)())((bd ac d c b a +≥++，
其中等号当且仅当bc ad =时成立。

证明：
几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=∙βα， 而22||b a +=
α，22||d c +=β，
所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα∙≥⋅，
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：
231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-
思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）
为任意实数，则：
21
1
2
1
2
)(∑∑∑===≥n
i i i n i i n
i i
b a b a ，其中等号当且仅当
n
n a b a b a b === 22
11时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

二、典型例题：
例1、已知12
2
=+b a ，12
2=+y x ，求证：1||≤+by ax 。

1、已知：122=+b a ，22
2=+n m ,证明：22≤+≤-bn am 。

提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。

2、设a ﹐b 为不相等的正數，试证：(a ＋b )(a 3＋b 3)＞(a 2＋b 2)2。

例2、设R d c b a ∈,,,，求证：222
222)()(d b c a d c b a +++≥
+++。

1.设γβα,,为平面上的向量，则||||||γαγββα-≥-+-。

例4、已知c b a ,,均为正数，且1=++c b a ，求证：91
11≥++c
b a 。

方法1：
方法2：（应用柯西不等式）
1、设x ，y ，z 为正实数，且x+y+z=10，求
z
9
y 1x 4++的最小值。

例5：已知1a ，2a ，…，n a 为实数，求证：2
11
2
)(1∑∑==≥n i i n
i i a n a 。

4
D B
推论：在n 个实数1a ，2a ，…，n a 的和为定值为S 时，它们的平方和不小于2
1S n
，当且仅当n a a a === 21时，平方和取最小值2
1S n。

6、ΔABC 之三边长为4，5，6，P 为三角形內部一点P ，P 到三边的距离分別为x ，y ，z ，
求x 2+y 2+z 2的最小值。

解：s=
2
15
2654=++ ∆ABC 面积=))()((=---c s b s a s s 且∆ABC=∆PAB+∆PBC+∆PAC
⇒)654(
214715z y x ++=⇒由柯西不等式
(4x+5y+6z)2≥(x 2+y 2+z 2)(42+52+62)
⇒4
7152⨯≥(x 2+y 2+z 2)⨯77
⇒x 2+y 2+z 2≥
44
225
排序不等式
一、排序不等式：
1、基本概念：
一般地，设有两组数：1a ≤2a ≤3a ，1b ≤2b ≤3b ，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：
根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论：
同序和332211b a b a b a ++最大，反序和132231b a b a b a ++最小。

2、对引例的验证：
3、类似的问题：
5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。

那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？
4、排序不等式的一般情形：
一般地，设有两组实数：1a ，2a ，3a ，…，n a 与1b ，2b ，3b ，…，n b ，且它们满足：
1a ≤2a ≤3a ≤…≤n a ，1b ≤2b ≤3b ≤…≤n b ，
若1c ，2c ，3c ，…，n c 是1b ，2b ，3b ，…，n b 的任意一个排列，则和数n n c a c a c a +++ 2211在1a ，2a ，3a ，…，n a 与1b ，2b ，3b ，…，n b 同序时最大，反序时最小，即：
112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n +++≥+++≥+++- ，
等号当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时成立。

三、典型例题：
1、求证：da cd bc ab d c b a +++≥+++2
2
2
2。

2、在△ABC 中，h a , h b ,h c 为边长a,b,c 上的高，求证：asinA +bsinB +csinC ≥h a + h b +h c ．
含有绝对值的不等式的证明
一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤-
（3）b a b a ⋅=⋅ （4）
)0(≠=
b b
a
b
a 设a 为实数，a 和a 哪个大？
显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。

在0<a 时，等号不
成立）。

同样，.a a -≥当且仅当0≤a 时，等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a a +≥、a a -≥及绝对值的和的性质。

二、典型例题：
例1、证明 （1）b a b a +≥+， （2）b a b a -≥+。

证明（1）如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+
如
果
,
0<+b a 那么
).
(b a b a +-=+所以
b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()(
（2）根据（1）的结果，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。

所以，b a b a -≥+。

例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。

例3、证明 c b c a b a -+-≤-。

思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？
（设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。

这就是上面的例3。

特别的，取c ＝0（即C 为原点），就得到例2的后半部分。

）
探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式b a b a +≥+的几何解释？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。

例4、已知 2
,2c
b y
c a x <-<
-，求证 .)()(c b a y x <+-+ 证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤ （1）
2
,2c b y c a x <-<
- ， ∴c c
c b y a x =+<-+-22 （2）
由（1），（2）得：c b a y x <+-+)()( 例5、已知.6,4a
y a x <<
求证：a y x <-32。

证明 6,4a y a x << ，∴2
3,22a
y a x <<，
由例1及上式，a a
a y x y x =+<+≤-223232。

三、练习：
1、已知.2,2c
b B
c a A <-<
-求证：c b a B A <---)()(。

2、已知.6
,4c
b y
c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。