2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷及答案解析

2020-2021学年七年级下期末考试数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列实数中是无理数的是（ ）
A ．23
B ．√2
C ．3.1
D ．0 【解答】解：A 、23是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B 、√2是无理数，故本选项符合题意；
C 、3.1是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D 、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：B ．
2．（3分）如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确的是（
）
A ．∠1＝∠2
B ．∠2＝∠3
C ．∠3＝∠4
D ．∠1＝∠5
【解答】解：A 、∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，本选项说法正确；
B 、∵AD 与AB 不平行，
∴∠2≠∠3，本选项说法错误；
C 、∵A
D 与CB 不平行，
∴∠3≠∠4，本选项说法错误；
D 、∵CD 与CB 不平行，
∴∠1≠∠5，本选项说法错误；
故选：A ．
3．（3分）在下列考察中，是抽样调查的是（ ）
A ．了解全校学生人数
B ．调查某厂生产的鱼罐头质量
C ．调查新乡市出租车数量
D．了解全班同学的家庭经济状况
【解答】解：A．了解全校学生人数，适合普查，故本选项不合题意；
B．调查某厂生产的鱼罐头质量，适合抽样调查，故本选项符合题意；
C．调查新乡市出租车数量，适合普查，故本选项不合题意；
D．了解全班同学的家庭经济状况，适合普查，故本选项不合题意；
故选：B．
4．（3分）下列不等式变形中不正确的是（）
A．由a＞b，得b＜a B．由﹣a＞﹣b，得a＜b
C．由﹣ax＞a，得x＞﹣1D．由−1
2x＜y，得x＞﹣2y
【解答】解：∵由a＞b，得b＜a，∴选项A不符合题意；
∵由﹣a＞﹣b，得a＜b，
∴选项B不符合题意；
∵a＜0时，由﹣ax＞a，得x＞﹣1，∴选项C符合题意；
∵由−1
2x＜y，得x＞﹣2y，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
5．（3分）如图，下列说法中错误的是（）
A ．OA 方向是北偏东20°
B ．OB 方向是北偏西15°
C ．OC 方向是南偏西30°
D ．OD 方向是东南方向
【解答】解：A 、OA 方向是北偏东70°，符合题意；
B 、OB 方向是北偏西15°，不符合题意；
C 、OC 方向是南偏西30°，不符合题意；
D 、OD 方向是东南方向，不合题意．
故选：A ．
6．（3分）已知方程组{2x +3y =16
x +4y =13，则x ﹣y ＝（ ）
A ．5
B ．2
C ．3
D ．4
【解答】解：{2x +3y =16①
x +4y =13②，
①﹣②得：（2x +3y ）﹣（x +4y ）＝16﹣13，
整理得：2x +3y ﹣x ﹣4y ＝3，即x ﹣y ＝3，
故选：C ．
7．（3分）下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有（
） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法错误．
故选：B ．
8．（3分）点P （t +3，t +2）在直角坐标系的x 轴上，则P 点坐标为（ ）
A ．（0，﹣2）
B ．（﹣2，0）
C ．（1，2）
D ．（1，0）
【解答】解：∵点P （t +3，t +2）在直角坐标系的x 轴上，
∴t +2＝0，
解得：t ＝﹣2，
故t +3＝1，
则P 点坐标为（1，0）．
故选：D ．
9．（3分）不等式组{2−x ≥03x +2＞−1
的解集是（ ） A ．﹣1＜x ≤2 B ．﹣2≤x ＜1 C ．x ＜﹣1或x ≥2 D ．2≤x ＜﹣1
【解答】解：{2−x ≥0①3x +2＞−1②
， 由①得，x ≤2，
由②得，x ＞﹣1，
故此不等式组的解集为：﹣1＜x ≤2．
故选：A ．
10．（3分）如图，将△ABC 沿着射线BC 方向平移后得到△DEF ，点B 的对应点E 在BC
边上，且EC ＝2BE ，AC ，DE 交于点G ，若△ABC 的面积为18，则△ABC 与△DEF 的重叠部分（即△CEG ）的面积为（ ）
A ．6
B ．8
C ．9
D ．12
【解答】解：∵EC ＝2BE ，
∴EC BC =23， ∵AB ∥DE ，
∴△ABC ∽△GEC ，
∴
S △GEC S △ABC =（EC BC ）2， ∴S △CEG 18=49，
∴S △CEG ＝8，
∴△ABC 与△DEF 的重叠部分（即△CEG ）的面积为8，
故选：B ．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a @b ＝（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2，则下列
结论：
①若a @b ＝0，则a ＝0或b ＝0；②a @（b +c ）＝a @b +a @c ；
③不存在实数a ，b ，满足a @b ＝a 2+5b 2；
④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a @b 最大．
其中正确的是 ①②④ ．
【解答】解：①根据题意得：a @b ＝（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2
∴（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2＝0，
整理得：（a +b +a ﹣b ）（a +b ﹣a +b ）＝0，即4ab ＝0，
解得：a ＝0或b ＝0，正确；
②∵a @（b +c ）＝（a +b +c ）2﹣（a ﹣b ﹣c ）2＝4ab +4ac
a @
b +a @
c ＝（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2+（a +c ）2﹣（a ﹣c ）2＝4ab +4ac ，
∴a @（b +c ）＝a @b +a @c ，正确；
③∵a @b ＝a 2+5b 2，a @b ＝（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4ab ，
∴a 2+5b 2＝4ab ，
∴a 2﹣4ab +5b 2＝0，
∴（a ﹣2b ）2+b 2＝0，
∴{a −2b =0b =0
， ∴{a =0b =0
， 故错误；
④∵a @b ＝（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4ab ，
（a ﹣b ）2≥0，则a 2﹣2ab +b 2≥0，即a 2+b 2≥2ab ，
∴a 2+b 2+2ab ≥4ab ，
∴4ab 的最大值是a 2+b 2+2ab ，此时a 2+b 2+2ab ＝4ab ，
解得a ＝b ，
∴a @b 最大时，a ＝b ，故④正确．
故答案为：①②④．
12．（3分）欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，
已知AB ∥CD ，∠BAE ＝92°，∠DCE ＝115°，则∠E 的度数是 23 °．
【解答】解：如图，延长DC 交AE 于F ，
∵AB ∥CD ，∠BAE ＝92°，
∴∠CFE ＝92°，
又∵∠DCE ＝115°，
∴∠E ＝∠DCE ﹣∠CFE ＝115°﹣92°＝23°．
故答案为：23．
13．（3分）命题“对顶角相等”的题设是 两个角是对顶角 ，结论是这两个角相等．
【解答】解：命题“对顶角相等”可写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故命题“对顶角相等”的题设是“两个角是对顶角”．
故答案为：两个角是对顶角．
14．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有兽，六首四足；禽，四首二足六
首，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何？”其大意为：今有一只怪兽，有6个头4只脚；一只怪鸟，有4个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚．问：怪鸟、怪兽各有多少？若设有x 只怪兽，有y 只怪鸟，根据题意，可列方程组为 {6x +4y =764x +2y =46
． 【解答】解：设有x 只怪兽，有y 只怪鸟，根据题意，可列方程组为：
{6x +4y =764x +2y =46
． 故答案为：{6x +4y =764x +2y =46
． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC ，边OA 、OC 分别在
x 轴、y 轴上，如果以对角线OB 为边作第二个正方形OBB 1C 1，再以对角线OB 1为边作第三个正方形OB 1B 2C 2，照此规律作下去，则点B 2020的纵坐标为 （﹣21010，﹣21010） ．
【解答】解：∵正方形OABC 边长为1，
∴OB =√2，
∵正方形OBB 1C 1是正方形OABC 的对角线OB 为边，
∴OB 1＝2，
∴B 1点坐标为（0，2），
同理可知OB 2＝2√2，
∴B 2点坐标为（﹣2，2），
同理可知OB 3＝4，B 3点坐标为（﹣4，0），
B 4点坐标为（﹣4，﹣4），B 5点坐标为（0，﹣8），
B 6（8，﹣8），B 7（16，0），
B 8（16，16），B 9（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的√2倍，
∵2020÷8＝252…4，
∴B 2020的横纵坐标符号与点B 4相同，横纵坐标相同，且都在第三象限，
∴B 2020的坐标为（﹣21010，﹣21010）．
故答案为：（﹣21010，﹣21010）．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程组
（1）{2x −5y =−3−4x +y =−3
； （2）{4(x −y −1)=3(1−y)−2x 2+y 3
=2； 【解答】解：（1）{2x −5y =−3①−4x +y =−3②
， ①×2+②得：﹣9y ＝﹣9，
解得：y ＝1，
把y ＝1代入②得：x ＝1，
则方程组的解为{x =1y =1
； （2）方程组整理得：{4x −y =5①3x +2y =12②
， ①×2+②得：11x ＝22，
解得：x ＝2，
把x ＝2代入①得：y ＝3，
则方程组的解为{x =2y =3
． 17．（9分）解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）x −32≤4x−12
； （2）{4x −7＜5(x −1)1−x−23＞x 2
【解答】解：（1）去分母：2x ﹣3≤4x ﹣1，
移项，合并：﹣2x ≤2，
∴x ≥﹣1，
在数轴上表示为
（2）{4x −7＜5(x −1)①1−x−23＞x 2
② 解①得：x ＞﹣2；
解②得：x ＜2；
∴不等式组的解集为﹣2＜x ＜2，
数轴上表示为
．
18．（9分）已知：直线GH 分别与直线AB ，CD 交于点E ，F ．EM 平分∠BEF ，FN 平分∠
CFE ，并且EM ∥
FN．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．
【解答】（1）证明：∵EM∥FN，
∴∠EFN＝∠FEM．
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．
∴∠CFE＝∠BEF．
∴AB∥CD．
（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠CFN，
∵∠AEF＝2∠CFN，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°，
∴∠CFN＝∠EFN＝45°，
∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，
同理：∠AEM＝∠GEM＝135°．
∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．
19．（9分）已知：直角三角形ABC的三边长为a，b，c且b的平方根分别为2a﹣4与1﹣a，求c的值．
【解答】解：∵b的平方根分别为2a﹣4与1﹣a，
∴（2a﹣4）+（1﹣a）＝0，
解得：a＝3，
∴b＝（2×3﹣4）2＝4，
∵直角三角形ABC的三边长为a，b，c，
∴c=√42−32=√7或c=√42+32=5．
20．（9分）初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）在这次评价中，一共抽查了560名学生；
（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为54度；
（3）请将频数分布直方图补充完整；
（4）如果全市有12000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人？
【解答】解：（1）在这次评价中，一共抽查了224÷40%＝560名学生，
故答案为：560；
（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为360°×84
560
=54°，
故答案为：54；
（3）讲解题目的学生有：560﹣（84+168+224）＝84（人），补充完整的频数分布直方图如右图所示；
（4）12000×168
560
=3600（人），
在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有3600人．
21．（10分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（1，﹣2）．把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）在图中画出△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标；
（2）连接A′C和A′A，求三角形AA′C的面积．
【解答】解：（1）平移得到△A'B'C'如图所示：
A′（1，5）、B′（0，2）、C′（4，2）
（2）S三角形AA’C=1
2
×7×3=212．
22．（10分）随着全国疫情防控取得阶段性进展，各学校在做好疫情防控工作的同时积极开
展开学准备工作．为方便师生返校后测体温，某学校计划购买甲、乙两种额温枪．经市场调研得知：购买1个甲种额温枪和2个乙种额温枪共需700元，购买2个甲种额温枪和3个乙种额温枪共需1160元．
（1）求每个甲种额温枪和乙种额温枪各多少元；
（2）该学校准备购买甲、乙两种型号的额温枪共50个；其中购买甲种额温枪不超过15个．请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用．
【解答】解：（1）设每个甲种额温枪x 元，每个乙种额温枪y 元，根据题意得：
{x +2y =7002x +3y =1160
， 解得：{x =220y =240
． 答：每个甲种额温枪220元，每个乙种额温枪240元．
（2）设购买m 个甲种额温枪，则购买（50﹣m ）个乙种额温枪，总费用为w 元， 根据题意得：w ＝220m +240（50﹣m ）＝﹣20m +12000（0≤m ≤15，且m 为整数）． ∵﹣20＜0，
∴w 随m 的增大而减小，
∴当m ＝15时，w 取最小值，w 最小值＝﹣20×15+12000＝11700（元）．
答：买15个甲种额温枪，35个乙种额温枪总费用最少，最少为11700元．
23．（11分）如图，直线AB ∥CD ，CD ∥EF ，且∠B ＝30°，∠C ＝125°，求∠CGB 的度
数．
【解答】解：∵AB ∥CD ，CD ∥EF ，
∴AB ∥CD ∥EF ，
∵∠B ＝30°，∠C ＝125°，
∴∠BGF ＝∠B ＝30°，∠C +∠CGF ＝180°，
∴∠CGF ＝55°，
∴∠CGB ＝∠CGF ﹣∠BGF ＝25°．。