历年初三数学中考汇编之二次函数及答案

二次函数
1、一列火车自A 城驶往B 城,沿途有n 个车站(包括起点站A 和终点站B),该列火车挂有一节邮政车厢,运行时需要在每个车站停靠,每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个,还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个.
例如,当列车停靠在第x 个车站时,邮政车厢上需要卸下已经通过的(x-1)个车站发给该站的邮包共(x-1)个,还要装上下面行程中要停靠的(n-x)个车站的邮包共(n-x)个.
y(用x 、n 表示). (3)当n=18时,列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多?
2、已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ，抛物线y ax bx c =++2
经过O 、A 两点。

（1）试用含a 的代数式表示b ；
（2）设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。

若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B 是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得∠∠POA OBA =
4
3
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

3、已知抛物线2y ax bx 1=+-经过点A （1-，0）、B （m ，0）（m>0），且与y 轴交于点C ． ⑴求a 、b 的值（用含m 的式子表示）；
⑵如图所示，⊙M 过A 、B 、C 三点，求阴影部分扇形的面积S （用含m 的式子表示）；⑶在x 轴上方，若抛物线上存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶
点的三角形与ABC ∆相似，求m 的值．
4、某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120 万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之问存在着如图所示的一次函数关系． ⑴求y 关于x 的函数关系式；
⑵试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；
⑶若公司希望该种产品一年的销售获利不
低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你
帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况
下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
5、y=(x －1)2＋2的对称轴是直线 （ ） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=1
6、请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 。

)
7、某小型开关厂今年准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算：今年开关的年产量y （万只）与投入的改造经费x （万元）之间满足y -3与1+x 成反比例，且当改造经费投入1万元时，今年的年产量是2万只． (1) 求年产量y （万只）与改造经费x （万元）之间的函数解析式．（不要求写出x 的取值范
围）
(2) 已知每生产1万只开关所需要的材料费是8万元．除材料费外，今年在生产中，全年还
需支付出2万元的固定费用．
① 求平均每只开关所需的生产费用为多少元．（用含y 的代数式表示）
（生产费用=固定费用+材料费）
② 如果将每只开关的销售价定位“平均每只开关的生产费用的1.5倍”与“平均每只
开关所占改造费用的一半”之和，那么今年生产的开关正好销完．问今年需投入多少改造经费，才能使今年的销售利润为9.5万元？ （销售利润=销售收入－生产费用－改造费用） 8、已知抛物线562
+-=x x y 的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x= ,满足y ＜0的x 的取值范围是 ,将抛物线562
+-=x x y 向 平移 个单位,则得到抛物线962
+-=x x y .
9、已知抛物线2
(1)8y a x x b =-++的图象的一部分如图所示，抛物线的顶点在第一
象限，且经过点A(0，-7)和点B. (1)求a 的取值范围；
(2)若OA=2OB ，求抛物线的解析式．
10、已知抛物线y=ax 2
+bx+c 经过点A(-2，7)，B(6，7)，
C(3，
-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是________·
11、在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子。

镜子的长与宽的比是2：1。

已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费45元。

设制作这面镜子的总费用是y 元，镜子的宽度是x 米。

（1） 求y 与x 之间的关系式。

（2） 如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽。

12、已知二次函数y ax bx c =++2
的图象如图所示，下列结论：
（1）a b c ++<0；（2）a b c -+>0；（3）abc >0（4）b a =2。

其中正确的结论有 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 x=-1 y
-1 0 1 x
13、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。

y
B
a
O Q A
P x
C
14、已知抛物线22-+-m mx x .
（1） 求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；
（2） 若m 是整数，抛物线22-+-m mx x 与x 轴交于整数点，求m 的值； （3） 在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点
为B . 若m 为坐标轴上一点，且MA =MB ，求点M 的坐标.
15、 一条抛物线的对称轴是ｘ＝１且与ｘ轴有惟一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式是＿＿（任写一个）
16、已知二次函数ｙ＝ａｘ２
－４ａ图像的顶点坐标为（０，４）矩形ＡＢＣＤ在抛物线与ｘ轴围成的图形内，顶点Ｂ、Ｃ在ｘ轴上，顶点Ａ、Ｄ在抛物线上，且Ａ在Ｄ点的右侧， （１）求二次函数的解析式
（２）设点Ａ的坐标为（ｘｙ）试求矩形ＡＢＣＤ的周长Ｌ与自变量ｘ的函数关系
（３）周长为１０的矩形ＡＢＣＤ是否存在？若存在，请求出顶点Ａ的坐标；若不存在，请说明理由。

17、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.
（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
18、已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；
(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.
①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.
19、某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形
图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同
的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．
(1) 以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直
角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y=ax2
的解析式；
(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）
卖出价格x （元/件） 50 51 52 53 …… 销售量p （件）
500
490
480
470
……
（1）以x 作为点的横坐标，p 作为纵坐标，把表中的 数据，在图8中的直角坐标系中描出相应的点，观察连结 各点所得的图形，判断p 与x 的函数关系式；
（2）如果这种运动服的买入件为每件40元，试求销售 利润y （元）与卖出价格x （元/件）的函数关系式 （销售利润=销售收入－买入支出）；
（3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？
21、已知二次函数图象的顶点坐标为M(2，0)，直线y ＝x+2与该二次函数的图象交于A 、B
两点，其中点A 在y 轴上(如图示) （1）求该二次函数的解析式； （2）P 为线段用上一动点(A 、B 两端点除外)，过P 作x 轴的垂线与二次函数的图象交于点Q ，设线段PQ 的长为l ，点P 的横坐标为x ，求出l 与x 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB 上是否P ，使四边形PQMA 为梯形．若存在，求出
图8
p （件） 500
490 480 470
50 51 52 53 x （元/件）
点P的坐标，并求出梯形的面积；若不存在，请说明理由．
22、(2005年海安县)如图，已知抛物线2
1(0)2
y x mx n n =
++≠与直线y=x 交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA ＝OB ，BC ∥x 轴． (1)求抛物线的解析式。

(2)设D 、E 是线段AB 上异于A 、B 的两个动点(点E 在点D 的上方)，DE ＝2，过D 、E 两点分别作y 轴的平行线，交抛物线于F 、G ，若设D 点的横坐标为x ，四边形DEGF 的面积为y ，求x 与y 之间的关系式，写出自变量x 的取值范围，并回答x 为何值时，y 有最大值．
23、(2005
年漳州)如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，
与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C 。

（1）求抛物线的解析式及点A 、B 、C 的坐标；
（2）若直线y=kx+t 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；
（3）点P 在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x 轴上方是否存在这样的P 点，使以P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

24、26（2005年惠安县）如图，抛物线
2y x mx =-+过点A （4，0），O 为坐标原点，
Q 是抛物线的顶点． ⑴求m 的值；⑵点P 是x 轴上方抛物线
上的一个动点，过P 作PH ⊥x 轴，H 为垂足．有一个同学说：“在x 轴上方抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q 与x 轴相距最远，所以当点P 运动至点Q 时，折线P-H-O 的长度最长”，请你用所学知识判断：这个同学的说法是否正确．
25、（2005年台州）如图，用长为18 m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.
（1）设矩形的一边为x （m ），面积为y (m 2)，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）当x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？
26、（玉溪市2005）如图21，已知抛物线2
1y x
4l ：＝－的图象与x 轴交于A 、C 两点。

（1）若抛物线21l l 与关于x 轴对称，求2l 的解析式；
（2）若点B 是抛物线1l 上一动点（B 不与A 、C 重合），以AC 为对角线，A 、B 、C 三点
为顶点的平行四边形的第四个顶点记为D ，求证：点D 在2l 上；
（3）探索：当点B 分别位于1l 在x 轴上、下两部分的图象上时，□ABCD 的面积是否存
M
在最大值或最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不
存在，请说明理由。

27、(2005年湖南省湘潭)如图；抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)的
图像与x轴的一个交点是(—2，0)，顶点是(1，3)。

下列说
法中不正确的是( )
A．抛物线的对称轴是x=1
B．抛物线的开口向下
C．抛物线与x轴的另一个交点是(2，0)
D．当x=1时，y有最大值是3
28、(贵州省毕节地区2005)当你将一把扇形扇子逐渐打开时，容易发现打开部分的扇形面积随圆心角的变化而变化，那么下列函数中能正确描述这种变化的是( A )
A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数(b≠0) D．二次函数29、(贵州省毕节地区2005) 如图，抛物线y=―1
x2+(6―
3
2
m)x+m―3与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点(x1＜x2)，
交y轴于C点，且x1+x2=0。

(1)求抛物线的解析式，并写出顶点坐标及对称轴方程。

(2)在抛物线上是否存在一点P使△PBC≌△OBC，
若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。