因式分解(超全方法)

因式分解(超全方法)
因式分解的常用方法
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。

本文将在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍。

一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
1) (a+b)(a-b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
2) a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
3) (a+b)(a-ab+b) = a^2+b^2，a^2+b^2=(a+b)(a-ab+b)；
4) (a-b)(a+ab+b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a-b)(a+ab+b)。

下面再补充两个常用的公式：
5) a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2；
6) a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)。

练题：已知a，b，c是三角形ABC的三边，且
a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
三、分组分解法
一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：am+an+bm+bn=
m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)
例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b)(x-5y)
练题：分解因式1、a-ab+ac-bc2、xy-x-y+1
二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：x-y+ax+ay=(a+1)(x-y)
例4、分解因式：a-2ab+b-c=(a-b)(1-2b)-c
练题：分解因式3、x-x-9y-3y^2 4、x-y-z-2yz
综合练：
1) x+xy-xy-y=(x-y)(1+x)
2) ax-bx+bx-ax+a-b=2(a-b)
3) x+6xy+9y-16a+8a-1=(x+3y-4a+1)^2
4) a-6ab+12b+9b-4a=-(2a-3b)^2
四、十字相乘法。

一）二次项系数为1的二次三项式
可以直接利用公式——x＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？
例如，已知＜a≤5，且a为整数，若2x＋3x＋a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a。

例5、分解因式：x＋5x＋6
例6、分解因式：x－7x＋6
练5、分解因式：(1)x＋14x＋24 (2)a－15a＋36 (3)x＋4x －5
练6、分解因式：(1)x＋x－2 (2)y－2y－15 (3)x－10x－24
二）二次项系数不为1的二次三项式——ax＋bx＋c
条件：（1）a＝a1a2；（2）c＝c1c2；（3）b＝a1c2＋
a2c1
分解结果：ax＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)
例如，分解因式：3x－11x＋10
分析：1－2，3－5，(-6)+(－5)=－11
解：3x－11x＋10＝(x－2)(3x－5)
练7、分解因式：（1）5x＋7x－6（2）3x－7x＋2（3）10x－17x＋3（4）－6y＋11y＋10
三）二次项系数为1的齐次多项式
例如，分解因式：a－8ab－128b
分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

18b，1－16b，8b+(－16b)=－8b
解：a－8ab－128b＝a＋[8b＋(－16b)]a＋8b×(－16b)2＝(a ＋8b)(a－16b)
Exercise 8: n
1) x - 3xy + 2y
2) m - 6mn + 8n
3) a - ab - 6b
XXX that is not equal to 1:
Example 9: 2x - 7xy + 6y
Example 10: xy - 3xy + 2 = -2xy + 2
1.Factor out xy as a whole in xy - 5xy - 6x to get xy(1 - 5 - 6) = -10xy
2.Factor out a common factor in m^2 - 4mn + 4n^2 - 3m + 6n + 2 to get (m - 2n)^2 - (m - 2n) - 4
3.Factorize the following:
1) 15x + 7xy - 4y
2) ax - 6ax + 8
Comprehensive Exercise:
1) 8x - 7x - 1 = x - 1
2) 12x - 11xy - 15y = y(11x - 15) - 12x
3) (x + y)^3 - (x + y)^2 - 10 = (x + y - 2)((x + y)^2 + x + y + 5)
4) (a + b)^4 - a - 4b + 3 = (a + b - 1)^2(a + b + 3)^2
5) xy - 5xy - 6x = -10xy
6) m^2 - 4mn + 4n^2 - 3m + 6n + 2 = (m - 2n)^2 - (m - 2n) - 4
7) x + 4xy + 4y - 2x - 4y - 3 = 4xy - 1
8) 5(a + b) + 23(a - b) - 10(a - b) = 28a + 8b
9) 12(x + y) + 11(x - y) + 2(x - y) = 25(x + y)
10) 4x - 4xy - 6x + 3y + y - 10 = -4xy - 2x + 4y - 10
XXX 13: XXX
1) (x + xy + y) - 4xy(x + y)
2) (x + 3x + 2)(4x + 8x + 3) + 90
3) (a + 1) + (a + 5) - 4(a + 3)
Example 14: n of 2x^4 - x^3 - 6x^2 - x + 2
n: XXX a decreasing power of x。

with each term having a coefficient that is axis-symmetric。

This is an "XXX".
Method: Factor out the variable and its exponent from the middle term。

then use n.
n: 2x^4 - x^3 - 6x^2 - x + 2 = x^2(2x^2 - x - 6) - x^2 + x^2 - x + 2
x^2(2x^2 - x - 6) - (x - 1)(x - 2)
2) $x^4-4x^3+x^2+4x+1$
解法：原式$=x^2(x^2-4x+1)+4x+1$
x^2(x^2-2\cdot2x+4-5)+4x+1$
x^2[(x-2)^2-5]+4x+1$
设$x-2=t$，则原式$=x^2(t^2-5)+4x+1$
t^2x^2+4x+t^2-5x^2+1$
t^2-5)x^2+4x+t^2+1$
t-1)(t+1)-5]x^2+4x+(t^2+1)$
t-1)(t+1)x^2+4x+(t^2+1)$
代回$t=x-2$，得原式$=(x-3)(x-1)x^2+4x+(x^2-4x+5)$
x-3)(x^3-x^2+x-5)+(x-1)(x^2-4x+5)$
练15：
1) $x^3-9x+8$
解法：设原式$=(x-a)(x^2+bx+c)$，则$a$为原式的一个根。

根据韦达定理，$a^3-9a+8=0$，解得$a=1$。

代入原式，得$x^3-9x+8=(x-1)(x^2+x-8)$
x-1)(x-2)(x+4)$
3) $x^4-7x^2+1$
解法：设原式$=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$，则$b,d$为原式
的两个根的乘积，$a+c$为原式的二次项系数，$ad+bc$为原式的常数项。

将原式表示为$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$，展开后比较系数，得：
a+c=0$
ac+b+d=-7$
bd=1$
解得$a=c=0$，$b=d=\pm1$，即原式$=(x^2+1)(x^2-7)$。

4) $x^4+x^2+2ax+1-a^2$
解法：设原式$=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$，同理展开比较系数，得：
a+c=0$
ac+b+d=1$
ad+bc=2a$
bd=1-a^2$
解得$a=c=0$，$b=d=\pm1$，即原式$=(x^2+1)(x^2-(a^2-1))$。

5) $x+y+(x+y)$
解法：原式$=2(x+y)$，即原式$=2(x+y)(1)$，其中$1$为
任意常数。

6) $2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4$
解法：设原式$=(ab+bc+ca+p)(ab+bc+ca+q)$，同理展开比
较系数，得：
p+q=0$
pq=-(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)$
解得$p=q=-a^2-b^2-c^2$，即原式$=(-a^2-b^2-
c^2+ab+bc+ca)^2$。

1.当m为何值时，多项式x-y+mx+5y-6能分解因式。

答：m=±1.
2.如果x+ax+bx+8有两个因式为x+1和x+2，求a+b的值。

答：a+b=21.
3.将多项式x^3-2x^2-11x+12分解因式。

答：(x-1)(x-
3)(x+4)。

4.将多项式4x^3-12x^2+5x-15分解因式。

答：4(x-
3)(x+1)(x-1/4)。

5.将多项式9x^2+12xy+4y^2分解因式。

答：(3x+2y)^2.
二、选择题
1.多项式x^2-5x+6可以分解为：（）
A。

(x-2)(x-3) B。

(x+2)(x+3) C。

(x-2)(x+3) D。

(x+2)(x-3) 答：A。

2.多项式x^3+3x^2-4x-12可以分解为：（）
A。

(x+2)(x-2)(x+3) B。

(x-2)(x+2)(x-3) C。

(x+2)(x-2)(x-3) D。

(x-2)(x+2)(x+3)
答：B。

3.多项式2x^2+5xy+2y^2可以分解为：（）
A。

(x+y)(2x+y) B。

(2x+y)(x+2y) C。

(x+2y)(2x+y) D。

(x+y)(x+2y)
答：C。

4.多项式x^3-6x^2+11x-6可以分解为：（）
A。

(x-1)^3 B。

(x-1)^2(x-2) C。

(x-1)(x-2)^2 D。

(x-1)(x-2)(x-3)
答：C。

5.多项式5x^2-11xy+6y^2可以分解为：（）
A。

(5x-3y)(x-2y) B。

(5x-2y)(x-3y) C。

(5x-2y)(x-3y) D。

(5x-3y)(x-4y)
答：A。

三、计算题
1.将多项式x^3-3x^2-4x+12分解因式。

解：x^3-3x^2-4x+12 = (x-3)(x+2)(x-2)。

2.将多项式2x^3-7x^2+3x+2分解因式。

解：2x^3-7x^2+3x+2 = (2x-1)(x-2)(x+1)。

3.将多项式4x^2-12xy+9y^2分解因式。

解：4x^2-12xy+9y^2 = (2x-3y)^2.
4.将多项式x^3+4x^2-11x-30分解因式。

解：x^3+4x^2-11x-30 = (x+2)(x-3)(x+5)。

5.将多项式3x^2-5xy-2y^2分解因式。

解：3x^2-5xy-2y^2 = (3x+2y)(x- y)。

1.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式。

2.分解因式：m - 4m = -3m.
3.分解因式：x - 4y = (x + 2y)(x - 2y).
4.分解因式：-x - 4x - 4 = -5x - 4.
5.将x - y分解因式的结果为(x - y)(x + y)(x + y)，则n的值为10.
6.若2xy - xy^2 + 2yx - y = 5.xy = 6，则x = 3，y = 2.
7.多项式15mn + 5mn - 20mn的公因式是5mn。

8.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。

10.下列多项式能分解因式的是（A）x - y。

11.把（x - y） - （y - x）分解因式为2(x - y)。

12.下列各个分解因式中正确的是（A）10abc + 6ac + 2ac
= 2ac(5b + 3c)。

13.若k - 12xy + 9x是一个完全平方式，那么k应为4y^2.
14.分解因式：nx - ny = n(x - y)。

15.分解因式：4m - 9n = (2m - 3n)(2m + 3n)。

16.分解因式：m(m - n) + n(n - m) = 0.
17.分解因式：a - 2ab + ab^2 = a(1 - b)^2.
18.分解因式：(x^2 + 4) - 16x^2 = (x - 2)(x + 2)^2.
19.分解因式：9(m + n) - 16(m - n) = 25n。

20.纸片剩余部分的面积为(6.67 - 3.33)^2 = 9.96平方厘米。

21.空心混凝土管道的外径为d = 45 + 10 = 55厘米。

题目一：
一根管道的外径为75cm，长度为3m。

利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？（取π取3.14，结果保留2位有效数字）
解：管道的截面积为π*(75/2)^2=4417.81cm^2，管道的体
积为4417.81*300=xxxxxxxcm^3，转化为立方米为1.33m^3.
题目二：
观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。

1)x^2-1=(x+1)(x-1)
2)x^4-1=(x^2+1)(x+1)(x-1)
3)x^8-1=(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)
4)x^16-1=(x^8+1)(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)
5)x^32-1=(x^16+1)(x^8+1)(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)
解：根据观察规律，第5个等式应该是x^32-
1=(x^16+1)(x^8+1)(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)。

经典二：
因式分解小结
因式分解是将一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，研究本章知识时，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；
2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7.因式分解的一般步骤是：
1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、
待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
下面我们一起来回顾本章所学的内容。

1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式x^5-x^4+x^3-x^2+x-1
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把
x^5-x^4+x^3和-x^2+x-1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x^5-x^4，x^3-x^2，x-1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后
再进行分解。

解一：原式=(x^5-x^4+x^3)-(x^2-x+1)
x^3(x^2-x+1)-(x^2-x+1)
x^3-1)(x^2-x+1)
x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)
a+3b)2-(c+5b)2
a+3b+c+5b)(a+3b-c-5b)
a+8b+c)(a-2b-c)
又因为a2+2ab+b2=(a+b)2=a2-16b2+c2+10bc-6ab 2ab+17b2=c2+10bc
代入原式得
a+8b+c)(a-2b-c)=(a+8b+c)(a+2b-c-2b)
a-2b-c=a+2b-c-2b
a+2b=c
a+c=2b
故证毕。

例2.分解因式x3+3x2-4
解：将3x2拆成2x2+x2，则有
x3+2x2+(x2-4)
x2(x+2)+(x+2)(x-2)
x+2)(x2+x-2)
x+2)(x-1)(x+2)
或将常数-4拆成-1-3，则有
x3-1+(3x2-3)
x-1)(x2+x+1)+(x-1)(3x+3)
x-1)(x2+4x+4)
x-1)(x+2)2
中考真题
例3.已知x2+px+q=(x+1)(x-2)，求3x2+px+q的值。

解：将x=1和x=2代入x2+px+q=(x+1)(x-2)中得
1+p+q=0，4+2p+q=0
解得p=-5，q=4
代入3x2+px+q得
3x2-5x+4=(x-1)(3x-4)+8
当x=1或x=2时，3x2-5x+4=8
故3x2-5x+4的值为8.
1.分解因式：
1）$3x^5-10x^4-8x^3-3x^2+10x+8$
x-1)(3x^4-7x^3-x^2+3x-8)$
2）$(a+3a-3)(a+3a+1)-5^2$
10a^2+6a-14$
2(5a+1)(a-1)$
3）$x^2-2xy-3y^2+3x-5y+2$
x-3y+2)(x+y-1)$
4）$x-7x+63$
x-9)(x-7)$
2.已知：$x+y=6$，$xy=-1$，求：$x^3+y^3$的值。

由公式$(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3+3xy(x+y)$，代入已知条件得：
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)-3xy=6(37)-3(-1)=222$
3.矩形的周长是28cm，两边$x,y$使$x^3+x^2y-xy^2-
y^3=0$，求矩形的面积。

根据题意得：
x-y)(x^2+xy-y^2)=0$
当$x=y$时，周长为$2(x+y)=2(2x)=28$，解得$x=7$，即矩形为正方形，面积为$49$。

当$x^2+xy-y^2=0$时，由周长公式得$2(x+y)=28$，解得$x+y=14$，$xy=-4$。

由公式$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$，代入已知条件得$x^3+y^3=1904$。

又因为$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=196$，所以矩形的面积为$xy(x+y)=56$。

4.求证：$n^3+5n$是6的倍数。

（其中$n$为整数）
当$n$为偶数时，显然$n^3+5n$为6的倍数。

当$n$为奇数时，$n^3+5n=n(n^2+5)$，因为$n$为奇数，
所以$n^2$为奇数，$n^2+5$为偶数，所以$n(n^2+5)$为6的倍数。

综上所述，$n^3+5n$是6的倍数。

5.已知：$a$、$b$、$c$是非零实数，且$a^2+b^2+c^2=1$，$a(\sqrt{3}-1)+b(\sqrt{3}+1)+c(\sqrt{3}-2)=-3$，求$a+b+c$的值。

将第二个式子化简得：
sqrt{3}-1)a+(\sqrt{3}+1)b+(\sqrt{3}-2)c=-3$
sqrt{3}-1)^2a+(\sqrt{3}+1)^2b+(\sqrt{3}-2)^2c+2(\sqrt{3}-
1)(\sqrt{3}+1)ab+2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-
2)ac+2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-2)bc=9$
2a+2b+2c-2ab-4ac-2bc=9$
a+b+c-ab-ac-bc=\frac{9}{2}$
a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=2(ab+ac+bc)$
代入已知条件得：
a+b+c)^2-1=2(\sqrt{3}-1)a+2(\sqrt{3}+1)b+2(\sqrt{3}-2)c=-
6$
a+b+c)^2=5$
因为$a$、$b$、$c$是非零实数，所以$a+b+c=\sqrt{5}$。

已知三角形的三边为a、b、c，比较a²+b²-c²和4a²b²的大小。

填空题：
1.若x+2(m-3)x+16是完全平方数，则m的值等于4.
2.若x+x+m=(x-n)，则m=-2，n=2.
3.2xy与12xy的公因式是2xy。

4.若x-y=(x+y)(x-y)(x+y)，则m=1，n=-1.
5.在多项式3y²-5y中，可以用平方差公式分解因式的是3y²和5y，其结果是(√3y-√5)(√3y+√5)。

6.若x+2(m-3)x+16是完全平方数，则m=4.
7.x+(√2)x+2=(x+2)(x+√2)。

8.已知1+x+x²+。

+x²⁰⁰⁴=，则x²⁰⁰⁶=1.
9.若16(a-b)+M+25是完全平方数，则M=16b-9a。

10.x+6x+(27/4)=(x+3)，x+(-3/2)+9=(x-3)。

11.若9x+k+y是完全平方数，则k=12-9x-y。

12.若x+4x-4的值为4，则3x+12x-5的值是35.
13.若x-ax-15=(x+1)(x-15)，则a=16.
14.若x+y=4，x-y=6，则xy=-1.
15.方程x+4√x=5的解是1.
选择题：
1.多项式-a(a-x)(x-b)+ab(a-x)(b-x)的公因式是a(a-x)。

2.若mx+kx+9=(2x-3)，则m=-2，k=6.
3.下列名式：x-y，-x+y，-x-y，(-x)+(-y)，x-y中能用平方差公式分解因式的有3个。

4.计算(1-1/2)(1-1/3)。

(1-1/102)的值是20.
三、分解因式：
1、x4-2x3-35x2
分解为：x2(x2-2x-35)=(x-7)(x+5)x2
2、3x6-3x2
分解为：3x2(x2-1)(x2+1)=3x2(x-1)(x+1)(x2+1)
3、25(x-2y)2-4(2y-x)2
化简得：25(x-2y+2y-x)(x-2y-2y+x)=25(x-2y)(x-2y-
4y+4x)=25(x-2y)(x+2y-4y)=25(x-2y)(x-2y+2y)=25(x-2y)(x-y)
4、x2-4xy-1+4y2
分解为：(x-2y)2-5=(x-2y-√5)(x-2y+√5)
5、x5-x
分解为：x(x4-1)=x(x2-1)(x2+1)(x+1)(x-1)
6、x3-1
分解为：(x-1)(x2+x+1)
7、ax2-bx2-bx+ax+b-a
化简得：(a-b)x2-bx+(b-a)
8、x4-18x2+81
分解为：(x2-9)(x2-9)=(x-3)(x+3)(x-3)(x+3)=(x-3)2(x+3)2
9、9x4-36y2
分解为：9(x2+2y)(x2-2y)=9(x+√2y)(x-√2y)(x+√2y)(x-
√2y)=9(x+√2y)(x-√2y)2(x+√2y)
10、(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24
化简得：(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-24=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-24=(x2+5x+5)2-49
四、代数式求值
1、已知2x-y=3，代入xy=2得y=1，所以2xy-xy=xy=2
2、设x=-y，代入(x+2)-(y+1)=4得y=-3，所以x=3，代入(a-b)-8(a+b)得-10
五、计算：
1) 0.75×3.66-2001//22/3×2.66/4+2000
化简得：2.745-2001//22/3×0.665+2000=2.745-
0.15+2000=2002.595
2) -1/2+1/2=0
3)
2×56+8×56×22+2×44=2×56+8×2×28×56+2×2×22=56(1+4×28)+8
8=1260
六、试说明：
1、对于任意自然数n，(n+7)-(n-5)=12，12能被
2、
3、
4、6、12整除，因此(n+7)-(n-5)能被2、3、4、6、12整除，即
(n+7)-(n-5)能被12整除。

2、设两个连续奇数为2n-1和2n+1，则它们的积为4n^2-1，加上较大的数2n+1得4n^2+2n=2n(2n+1)，而夹在两个连
续奇数之间的偶数为2n，因此2n(2n+1)即为所求。

七、利用分解因式计算
1、一种光盘的面积为π(D^2-d^2)/4，代入D=11.9，d=3.7
得面积为π(11.9^2-3.7^2)/4≈97.72（保留两位有效数字）
2、设正方形1的边长为x，则正方形2的边长为x-24，
由此得出(x-24)^2=x^2-960，解得x=42，x-24=18，因此正方
形1的边长为42，正方形2的边长为18.
八、构造一个同时满足四个描述的多项式为(x-1)(x+1)(x-
2)+1，分解因式得(x-2)(x^2-x+2)+1.
1、2x2－4xy－2x = 2x(x－2y－1)
2、4a3b2－10a2b3= 2a2b2(2ab－5b2)
3、(1－a)mn＋a－1=(1－a)(mn－1)
4、m(m－n)2－(n－m)2=(m－n)(m－n－n+m)=(m－n)(2m －2n)
5、x2－(4y)2= (x－4y)(x＋4y)
6、x2－(5y)2=(x＋5y)(x－5y)
7、a2－4(a－b)2=(a－2b)(a＋2b)
8、a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)= (x＋y－z)·(a＋b －c)
9、16(x－y)2－9(x＋y)2=(4(x－y)－3(x＋y))(4(x－y)+3(x ＋y))=(x－y)(7x－5y)(7x＋5y)
10、(a+b)3-(a+b)=(a+b)(a2+2ab+b2-1)
11、x2+3x+2=(x+1)(x+2)
12、已知x2+px+12=(x-2)(x-6)，则p=4.
三、解答题
1、把下列各式因式分解。

1)x2-2x3=x(x-2)
2)3y3-6y2+3y=3y(y-1)(y-2)
3)a2(x-2a)2-a(x-2a)2=(a(x-2a)-1)(a(x-2a)-a)
4)(x-2)2-x+2=(x-3)(x-1)
5)25m2-10mn+n2=(5m-n)2
6)12a2b(x-y)-4ab(y-x)=4ab(y-x)(3a-1)
7)(x-1)2(3x-2)+(2-3x)(8)=3(x-1)(x-2)(3x-2)
8)a2+5a+6=(a+2)(a+3)
9)x2-11x+24=(x-3)(x-8)
10)y2-12y-28=(y-7)(y-4)
11)x2+4x-5=(x+5)(x-1)
12)y4-3y3-28y2=y2(y+4)(y-7)
2、用简便方法计算。

1）XXX=
2）2022-542+256×352=
3）1997/(-1996×1998)=1
3、已知：x+y=2/3,xy=1.求x3y+2x2y2+xy3的值。

由(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3可得：
x3+3x2y+3xy2+y3=8/27
所以x3y+2x2y2+xy3=x2y(3x+2y)=2/27
四、探究创新乐园
1、若a-b=2,a-c=19,求(b-c)2+3(b-c)+1的值。

解：(b-c)2+3(b-c)+1=(b-c+1)2=22
2、求证：1111-1110-119=119×109
证明：1111-1110-119=1111-1229=-118
119×109=
118≠，原命题不成立。

经典五：
2．(a-3)(3-2a)=-(a-3)(2a-3)；
12．若m2-3m+2=(m+a)(m+b)，则a=1，b=2；
15．当m=3时，x2+2(m-3)x+25是完全平方式，即(x+m-
3)2=4.解得x=-m+5或x=-m-1.
二、选择题：
1．下列各式的因式分解结果中，正确的是
B．3x2y-3xy-6y=3y(x-2)(x+1)
2．多项式m(n-2)-m2(2-n)分解因式等于
B．(n-2)(m-m2)
3．在下列等式中，属于因式分解的是
C．(a+b)2=a2+2ab+b2
1.a(x-y) + b(m+n) = ax + bm - ay + bn
2.a^2 - 2ab + b^2 + 1 = (a-b)^2 + 1
3.-4a^2 + 9b^2 = (-2a + 3b)(2a + 3b)
4.可以用平方差公式分解因式的是：(A) a^2 + b^2
5.若9x^2 + mxy + 16y^2是一个完全平方式，那么m的值是：(D) ±12
6.把多项式an+4 - an+1分解得：(C) an+1(a-1)(a^2-a+1)
7.若a^2 + a = -1，则a^4 + 2a^3 - 3a^2 - 4a + 3的值为：(B) 7
8.已知x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = 0，那么x，y的值分别为：
(A) x=1，y=3
9.把(m^2 + 3m)^4 - 8(m^2 + 3m)^2 + 16分解因式得：(D) (m+1)^2(m+2)^2(m^2+3m-2)^2
10.把x^2 - 7x - 60分解因式，得：(B) (x+5)(x-12)
11.把3x^2 - 2xy - 8y^2分解因式，得：(C) (3x+4y)(x-2y)
12.把a^2 + 8ab - 33b^2分解因式，得：(C) (a+11b)(a-3b)
13.把x^4 - 3x^2 + 2分解因式，得：(A) (x^2-2)(x^2-1)
14.多项式x^2 - ax - bx + ab可分解因式为：(B) (x-a)(x-b)
15.一个二次三项式，其$x^2$项系数为1，常数项为$-12$，且能分解因式，那么这个二次三项式可以表示为$(x-
3)(x+4)$或$(x-4)(x+3)$。

答案为D。

16.第一个多项式$x^3-x^2-x+1$不含有因式$(x-1)$，第二
个多项式$x^2+y-xy-x$不含有因式$(x-1)$，第三个多项式
$x^2-2x-y^2+1$不含有因式$(x-1)$，第四个多项式
$(x^2+3x)^2-(2x+1)^2$可以化简为$(x+1)(x+7)(x-1)(x-5)$，不含有因式$(x-1)$的有2个。

答案为B。

17.把$9-x^2+12xy-36y^2$分解因式得到$(3-x+6y)(3+x-
6y)$，答案为A。

18.因式分解错误的是C，正确的应该是$x^2+3xy-
2y^2=(x-2y)(x+y)$。

答案为C。

19.已知$a^2x^2\pm2x+b^2$是完全平方形式，且$a$和$b$都不为0，那么$a$和$b$必须满足$a=b$或$a=-b$，即互为相反数或互为倒数或互为负倒数。

答案为A。

20.$x^4+4$可以因式分解为$(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$。

答案为B。

21.$a^4+2a^2b^2+b^4-a^2b^2$可以化简为$(a^2+b^2)^2-a^2b^2$，然后再因式分解为$(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$。

答案为B。

22.$-(3x-1)(x+2y)$可以化简为$-3x^2+6xy+x-2y$。

答案为A。

23.$64a^8-b^2$可以化简为$(8a^4-b)(8a^4+b)$，然后再因
式分解为$(2a^2-\sqrt{b})(2a^2+\sqrt{b})(4a^4+b)$。

答案为D。

24．将9(x-y)2+12(x2-y2)+4(x+y)2进行因式分解，得到
(5x-y)2.
25．将(2y-3x)2-2(3x-2y)+1进行因式分解，得到(3x-
2y+1)2.
26．将(a+b)2-4(a2-b2)+4(a-b)2进行因式分解，得到(3a-
b)2.
27．将a2(b+c)2-2ab(a-c)(b+c)+b2(a-c)2进行因式分解，得
到c(a-b)2.
28．根据题目条件可得4xy-4x2-y2-k=(1-2x+y)(ax+by-c)，
将其展开得到4xy-4x2-y2-k=ax2+(b-2a)x+by-c-ay。

由于(1-
2x+y)是4xy-4x2-y2-k的一个因式，因此(1-2x+y)也是ax2+(b-
2a)x+by-c-ay的一个因式。

将(1-2x+y)代入ax2+(b-2a)x+by-c-ay 中，得到a(1-2x+y)2+(b-2a)(1-2x+y)+b(1-2x+y)-c-a(1-2x+y)。

由于(1-2x+y)是ax2+(b-2a)x+by-c-ay的一个因式，因此a(1-
2x+y)+(b-2a)+b-c-a(1-2x+y)=0.将题目中给出的4xy-4x2-y2-
k=(1-2x+y)(ax+by-c)代入上式中，可得到k=-1.
29．将3a2x-4b2y-3b2x+4a2y进行因式分解，得到(a+b)(a-b)(3x+4y)。

30．将2a2+4ab+2b2-8c2进行因式分解，得到
2(a+b+2c)(a+b-2c)。

1．将m2(p-q)-p+q进行因式分解，得到(m-p+q)(m+p-q)。

2．将a(ab+bc+ac)-abc进行因式分解，得到a(b+c)(a-b)。

3．将x4-2y4-2x3y+xy3进行因式分解，得到(x-
y)(x+y)(x2+y2-2xy-2x2y-2y2x+2xy3)。

4．将abc(a2+b2+c2)-a3bc+2ab2c2进行因式分解，得到(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)。

5．将a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)进行因式分解，得到(a-b)(b-c)(c-a)。

6．将(x2-2x)2+2x(x-2)+1进行因式分解，得到(x-1)2(x-
1+2i)(x-1-2i)。

7．将(x-y)2+12(y-x)z+36z2进行因式分解，得到(x-6z+y)2.
8．将x2-4ax+8ab-4b2进行因式分解，得到(x-2a)2+4ab-
4b2.
9．将(ax+by)2+(ay-bx)2+2(ax+by)(ay-bx)进行因式分解，得到(a+b)2(x2+y2)。

10．将(1-a2)(1-b2)-(a2-1)2(b2-1)2进行因式分解，得到(1-a2-b2+2a2b2)。

11．将(x+1)2-9(x-1)2进行因式分解，得到-8(x-2)(x+4)。

12．将4a2b2-(a2+b2-c2)2进行因式分解，得到
(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)。

13．将ab2-ac2+4ac-4a进行因式分解，得到a(b-c+2)(b-c-2)。

14．将x3n+y3n进行因式分解，得到(xn+y^n)(x2n-x^n
y^n+y2n)。

15．将(x+y)3+125进行因式分解，得到(x+y+5)(x2-5x+25)。

料。

v。

16.将 (3m-2n)3 和 (3m+2n)3 展开后相加，得到 54m3.
17.将 x6(x2-y2) 和 y6(y2-x2) 展开后相加，得到 x8+y8-
2x4y4.
18.将 8(x+y)3 展开后加上 1，得到
8x3+24x2y+24xy2+8y3+1.
19.将 (a+b+c)3 展开后减去 a3-b3-c3，得到
6a2b+6ab2+6ac2+6a2c+6b2c+6bc2.
20.将 x2+4xy+3y2 因式分解为 (x+3y)(x+y)，得到
(x+3y)(x+y)。

21.将 x2+18x-144 因式分解为 (x+12)(x-6)，得到 (x+12)(x-6)。

22.将 x4+2x2-8 因式分解为 (x2-2)(x2+4)，得到 (x2-
2)(x2+4)。

23.将 -m4+18m2-17 因式分解为 -(m2-1)(m2-17)，得到 -(m2-1)(m2-17)。

24.将 x5-2x3-8x 因式分解为 x(x2-4)(x2+2)，得到 x(x2-4)(x2+2)。

25.将 x8+19x5-216x2 因式分解为 (x2-
8)(x2+6)(x2+9)(x4+6x2+36)，得到 (x2-
8)(x2+6)(x2+9)(x4+6x2+36)。

26.将 (x2-7x)2+10(x2-7x)-24 因式分解为 (x-4)(x-3)(x2-
7x+6)，得到 (x-4)(x-3)(x2-7x+6)。

27.将 5+7(a+1)-6(a+1)2 展开后，得到 -6a2-5a-4.
28.将 (x2+x)(x2+x-1)-2 展开后，得到 x4+2x3-x2-x-2.
29.将 x2+y2-x2y2-4xy-1 因式分解为 (x-y)2(x+y)2-1，得到(x-y)2(x+y)2-1.
30.将 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-48 展开后，得到 x4-10x3+35x2-50x+24.
31.将 x2-y2-x-y 因式分解为 (x-y)(x+y-1)，得到 (x-y)(x+y-1)。

32.将 ax2-bx2-bx+ax-3a+3b 因式分解为 (a-b)(x2+1)-(b-
a)(x-3)，得到 (a-b)(x2+1)-(b-a)(x-3)。

33.将 m4+m2+1 因式分解为 (m2+m+1)(m2-m+1)，得到(m2+m+1)(m2-m+1)。

34.将 a2-b2+2ac+c2 因式分解为 (a+c)2-(b-c)2，得到
(a+c+b-c)(a+c-b+c)。

35.将 a3-ab2+a-b 因式分解为 a(a-b)(a+1)-(a-b)，得到 a(a-
b)(a+1)-(a-b)。

36.将 625b4-(a-b)4 因式分解为 (25b2+a-b)(25b2-a+b)，得到 (25b2+a-b)(25b2-a+b)。

37.将 x6-y6+3x2y4-3x4y2 因式分解为 (x-
y)(x+y)(x2+y2+3xy)(x2-y2)，得到 (x-y)(x+y)(x2+y2+3xy)(x2-y2)。

38.将x2+4xy+4y2-2x-4y-35 因式分解为(x+2y-7)(x+2y+5)，得到 (x+2y-7)(x+2y+5)。

39.将 m2-a2+4ab-4b2 因式分解为 (m-2b-a)(m+2b-a)，得到(m-2b-a)(m+2b-a)。

40.将 5m-5n-m2+2mn-n2 展开后，得到 -m2+2mn-5m-
5n+n2.
1.a3-2b3+a2b-2ab2 = a3-2b3+ab(a-2b)-2b(a-b) = a3-2b3-
ab(a-b)-2b(a-b) = (a-b)(a2+ab+b2-2b-2a) = (a-b)(a2+b2+ab-2a-2b) = (a-b)(a+b)2-2(a+b)(a-b) = -2(a+b)(a-b)。

2.设四个连续自然数分别为 n-1.n。

n+1.n+2，则它们的积
为 (n-1)n(n+1)(n+2)。

将其展开后加上 1，得到 (n4+3n3-n2-
3n+2)。

而 (n2+n-1)2=n4+2n3-n2+2n-1，将其展开后加上 3n3-
3n+3，得到 n4+3n3-n2-3n+2，与上式相等，因此四个连续自
然数的积再加上 1是一个完全平方数。

3.(ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2-2abcd+b2d2+b2c2+2abcd+a2d2 = a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 = (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2 =
(a2+b2)(c2+d2)。

4.a2+b2+c2+2ab-2bc-2ac = (a+b)2+(b-c)2+(a-c)2 =
(a+b)2+(a-c)2+(b-c)2 = 2(a+b-c)2+2c2-2ac-2bc = 2(k+2)2+18k2-3k-6k-6 = 20k2+13k+10.
5.将 x2+mx+n 展开后，得到 x2+mx+n=(x-3)(x+4)，即
n=12-7m，代入 m+n，得到 m+n=1-7m，因此 (m+n)2=49m2-14m+1.
6.当 a=49 时，多项式 x2+7xy+ay2-5x+43y-24 可以分解为(x+7y-8)(x+y-3)。

7.由平方差公式可得 x2+9y2-6xy=(x-3y)2+8y2，因此
x2+9y2>6xy，即 x2+9y2>x2+y2.
8.设两个连续偶数为 2n 和 2n+2，则它们的平方差为
4n2+8n+4-4n2=8n+4=4(2n+1)，是 4 的倍数。