正弦和余弦的诱导公式

①sin(180°+α)=sinαcos(180°+α)=cosα②sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα
1,利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值
x
y
o
P(x,y)
(1,0)．α的终边
．y
x
o
P(x,y)
(1,0)
．
α的终边．x
y
o
P(x,y)
(1,0)
．
α的终边
．x
y
o
P(x,y)
(1,0)．α的终边
．如左图，
由定义，都有：sinα= y cosα= x
1,利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值
x
y
o
P(x,y)
(1,0)．α的终边
．y
x
o
P(x,y)
(1,0)
．
α的终边．如左图，
由定义，都有：sinα= y cosα= x
2,诱导公式一及其用途
sin(α+k·360°) = sinα
cos(α+k·360°) = cosα
tan(α+k·360°) = tanα 其中k ∈Z
任意角的三角函数值
公式一的用途
0 °~ 360 °角的三角函数值
本单元的内容
0 °~ 90 °角的三角函数值
（1）0 °~ 90 °角的正弦值、余弦值用何法可求得？
（2）90 °~ 360 °的角β能否与锐角α相联系？
设0°≤α≤90 °，那么，对于
90°~ 180 °间的角，可表示成：180 °-α;
180°~ 270 °间的角，可表示成：180 °+α;
270°~ 360 °间的角，可表示成：360 °-α;
（1）锐角α的终边与180 °+α角的终边，位置关系如何？
（2）任意角α与180 °+α呢？
y
x
o
P(x,y)
(1,0)．
α的终边．x
y
o
P(x,y)
(1,0)．α
的终边
．α
180 °+α的终边
180 °+α的终边
．
P’
．P’
由分析可得：
角α180 °+α终边关系关于原点对称
点的关系P(x,y)P’(-x,-y)
函数关系sinα= y
cosα= x
sin(180 °+α)= -y
cos(180 °+α)= -x
因此，可得：
sin(180 °+α) = -sinαcos(180 °+α) = -cosα
公式二
2，同理可研究-α与α
的三角函数值的关系
y
x
o
P(x,y)
(1,0)
．α的终边．-α的终边
．P’
角α-α
终边关系
关于X 轴对称点的关系P(x,y)P’(x,-y)
函数关系
sinα= y cosα= x
sin(-α) = -y cos(-α) = x
因此，可得：sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
公式三sin(180 °+α) = -sinα
cos(180 °+α) = -cosα
公式二：
公式二与公式三的成立条件，以及它们的特点，用途。

sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
公式三：sin(180 °+α) = -sinα
cos(180 °+α) = -cosα公式二：
例1 求下列三角函数值：
（1）225
°
；（2）π
10
11
sin =
cos225(1):解=+)45180cos(
2
2
45cos -=-
=+=)101
sin(1011sin )2(ππππ
10
1sin -3090
.018sin -=-=
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
公式三：sin(180 °+α) = -sinα
cos(180 °+α) = -cosα公式二：
例2 求下列三角函数值：)
12240cos()2(;)3
sin()1('
--π=-)3sin( (1) :π解23
3sin -
=-π='-)21240cos( )2( 21240cos '
)
2160180cos('+=
4970
.02160cos -='-=
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
公式三：sin(180 °+α) = -sinα
cos(180 °+α) = -cosα
公式二：
例3 化简：)
180cos()180sin()360sin()180cos(
αααα--⋅--+⋅+
)
180cos()180sin(sin cos :ααα
α+⋅+-⋅-=
原式解)
cos (sin sin cos αααα-⋅-⋅=1=
课本P 30–1;
3(3),(4);4;
, Z)(k cos )cos(sin )sin(k A :∈+++=α
απααπk 已知则A 的值构成的集合是____________
小结回顾1，化归思想。

（参阅《巧思妙练》P 23 ）sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα公式三：sin(180 °+α) = -sinα
cos(180 °+α) = -cosα公式二：2，3，掌握公式二、三的特征，明确选择公式的依据，能正确运用公式进行化简、求值。

aga@ 课本P 33–1(1) ~ (5);
2(1);。