2020-2021北京大学附属中学高中必修二数学下期中模拟试题含答案

2020-2021北京大学附属中学高中必修二数学下期中模拟试题含答案
一、选择题
1．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．202π+
B ．203π+
C ．242π+
D ．243π+
2．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(
,]124
B ．51(,]122
C ．13(,]24
D ．1[,)2
+∞
3．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8π
B ．12π
C ．20π
D ．24π
4．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）
A ． 22
B ． 42
C ．4
D ．8
5．已知圆O ：2
2
24110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和
BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）
A ．42
B ．24
C ．21
2
D ．6
6．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ）
A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭
B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭
C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭
D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭
7．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角
B A
C
D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）
A ．
125
12
π B ．
125
9
π C ．
125
6
π D ．
125
3
π 8．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中
心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A ．
31+ B ．31-
C ．
22
D ．
51
- 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知AB 是圆22
620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）
A 3
B ．2
C ．23
D ．2511．若圆2
2
240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2
2
，则a 的值为( ) A ．-2或2
B ．
12或32
C ．2或0
D ．-2或0
12．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( ) A 15B 5C 6D 10 二、填空题
13．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面
ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O
的表面积为__________.
14．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条.
15．已知圆O ：22
4x y +=, 则圆O 在点3)A 处的切线的方程是___________.
16．已知动点,A B 分别在x 轴和直线y x =上，C 为定点()2,1，则ABC ∆周长的最小值为_______.
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面
,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足
BE AC ⊥，则
PE
EC
=__________．
18．如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===
，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.
19．直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，则a =__________． 20．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆
22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，
则实数k 的值为__________．
三、解答题
21．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. （1）求BC 边所在直线的方程；
（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 22．如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.
（1）求证：EF P 平面ABD ；
（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD . 23．已知圆C 的圆心坐标()1,1，直线l ：1x y +=被圆C
截得弦长为2. （
1）求圆C 的方程；
（2）从圆C 外一点()2,3P 向圆引切线，求切线方程.
24．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，
PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点．
（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面POD ．
25．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为22cos()4
π
ρθ=-
.
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度.
26．如图，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB V 以直线AO 为轴旋转得到，且平面AOB ⊥平面AOC ．动点D 在斜边AB 上．
（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；
（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为
221
5221122032
S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论. 【详解】
曲线可化简为()22
(1)40x y x +-=≤，如图所示：
直线()1:24l y k x =-+23221
k k -=+，解得512
k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12
k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122
k <≤. 故选：B. 【点睛】
本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离
公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面
ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.
【详解】
三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2
ABC π
∠=
，2223BC AC AB ∴=
-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是
直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，
则球O 的表面积2420S R ππ==.
故选：C 【点睛】
本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.
4．C
解析：C 【解析】
分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.
详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为1
2442
S =⨯⨯=. 选C.
点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
5．B
解析：B
【解析】 【分析】
设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222
128d d MO +==，
1
2S AC BD =
⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()2
2
1216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.
()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.
11
22
S AC BD =
⋅=⨯=2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.
故选：B . 【点睛】
本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.
6．D
解析：D 【解析】
试题分析：A.}r r
ααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.
}m l l m β
β⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.
}m r
m n n r
⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。

考点：本题主要考查立体几何中线线、线面、面面平行及垂直。

点评：典型题，要求牢记立体几何中的定理。

7．C
解析：C 【解析】 【分析】
由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 【详解】
因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，
即1522r AC ===，所以3
34451253326
V r π
ππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.
故选：C 【点睛】
本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率. 【详解】
由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥， 又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-， 在12Rt PF F ∆中，2
2
2
(2)4a c c c -+=， 即2222a ac c -= 所以2
220,(0,1)e e e +-=∈，
解得212
31e -+=
=-， 故选：B 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.
9．D
解析：D 【解析】
该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为
,选D.
10．D
解析：D 【解析】
【分析】
求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可． 【详解】
圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为
过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE ==，
则|AB |==， 故选D ． 【点睛】
本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程,求出方程的解得到a 的值即可. 【详解】
把圆的方程化为标准式为:2
2
(1)(2)5x y -+-=,所以圆心坐标为(1,2).
则圆心到直线0x y a -+=的距离
2
d =
=
, 即11a -=,化简得11a -=或11a -=-,解得:2a =或0a =. 所以a 的值为0或2. 故选C. 【点睛】
本题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程,灵活运用点到直线的距离公式化简求值.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线
AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．
【详解】
由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N , 所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，
设正三棱柱的各棱长为2,则11C N BC BN === 设直线AM 与1C N 所成角为θ，
在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10
cos 2522
θ+-==
⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为
10
4
，故选D ．
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
二、填空题
13．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个 解析：20π
【解析】 【分析】
由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得25PC =22PB =PBC V 为直角三角形，可得23BC =PB BC ⊥，因此
AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径
2
22
2152PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭
O 的表面积．
【详解】
本题主要考查空间几何体．
由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，
2PA AB ==，4AC =，25PC =22PB =
因为PBC V 为直角三角形，
因此23BC =7BC =（舍）． 所以只可能是23BC =
此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥， 所以平面ABC 所在小圆的半径即为22
AC
r ==， 又因为2PA =，
所以外接球O 的半径2
2
2
2152PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪
⎝⎭
， 所以球O 的表面积为24π20πS R ==． 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．
14．【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCD ﹣A1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D1 解析：4
【解析】 【分析】
将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数． 【详解】
解：设ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1边长为1． 第一条：AC 1是满足条件的直线；
第二条：延长C 1D 1到C 1且D 1C 2＝1，AC 2是满足条件的直线； 第三条：延长C 1B 1到C 3且B 1C 3＝1，AC 3是满足条件的直线； 第四条：延长C 1A 1到C 4且C 4A 12=
，AC 4是满足条件的直线．
故答案为4． 【点睛】
本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题．
15．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的
30y +-=
【解析】 【分析】
先求出k OA ，从而圆O 在点(处的切线的方程的斜率
k = ，由此能出圆O
在点A 处的切线的方程． 【详解】
k OA =O 在点(处的切线的方程的斜率
k =，
∴圆O 在点A (处的切线的方程1
y x =-） ，
30y +-=．
30y +-=. 【点睛】
本题考查圆的切线方程的求法，属中档题.
16．【解析】【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关于x 轴的对称点为（2﹣1）三角形PAB 周长的最小值为（12）与（2﹣1）两点之间的直线距离【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关
【解析】 【分析】
点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离． 【详解】
点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），
点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离，
|C C '''（2，﹣1）．
【点睛】
本题考查点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
17．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定
解析：1
3
【解析】 【分析】
过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PE
EC
的值. 【详解】
过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故
AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π
1,4
AB BAF =∠=，所以22
22
AF AB =
=
，而22AC =，故:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.
【点睛】
本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.
18．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为 解析：
26
2
【解析】 【分析】
首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最
小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解．
【详解】
在POB V 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒， 所以22112PB =+=
，同理2PC =PB PC BC ==，
在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，
使之与平面ABP 共面，如图所示，
当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值， 又因为OP OB =，C P C B '='， 所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点， 从而2626
222
OC OE EC ''=+=
+= 亦即CE OE +的最小值为：
26
2
， 26
+ 【点睛】
本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
19．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题 解析：1-
【解析】 【分析】
根据直线垂直的条件计算即可. 【详解】
因为直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直， 所以110a ⨯+= 解得1a =-.故填1-. 【点睛】
本题主要考查了两条直线垂直的条件，属于中档题.
20．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的
解析：【解析】
分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理．
详解：根据题意画出图形如下图所示．
由题意得圆2
2
:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，
由圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，四边形PACB 的最小面积是2， ∴PBC S V 的最小值1
12
S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，
∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值， 2
2
2
1251k
+==+
又0k >， ∴2k =．
点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．
三、解答题
21．（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0- 【解析】 【分析】
（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；
（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ∆=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标. 【详解】
（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为12
3122
y x --=---，即240x y +-=. （2）224225BC =
+=A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为
24
5
m n d +-=
A 在直线2360x y -+=上，故17
2
2360
ABC S BC d m n ∆⎧
=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即
247
2360
m n m n ⎧+-=⎨
-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 【点睛】
本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据线面平行的判定定理，在平面ABD 中找EF 的平行线，转化为线线平行的证明；
（2）根据面面垂直的判定定理，转化为CD ⊥平面AEF . 【详解】
（1）E Q ，F 分别是BC ，CD 的中点，EF ∴P BD ； 又Q EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，
EF ∴P 平面ABD .
（2）BD CD ⊥Q ，EF P BD ，EF CD ∴⊥；
AE ^Q 平面BCD ，AE CD ∴⊥；
又EF ⊂平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，
CD \^平面AEF ，又CD ⊂平面ACD ， ∴平面AEF ⊥平面ACD .
【点睛】
本题考查了面面垂直的证明，难点在于转化为线面垂直,方法：结合已知条件，选定其中一个面为垂面，在另外一个面中找垂线，不行再换另外一个面. 23．（1）()()2
2
111x y -+-=；（2）2x =和3460x y -+=. 【解析】 【分析】
()1设圆C 的半径为r ，根据圆心坐标写出圆的标准方程，利用点到直线的距离公式求出
圆心到直线l 的距离即为弦心距，然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点，由弦长的一半，圆心距及半径构成的直角三角形，根据勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到r 的值，从而确定圆C 的方程；
()2当切线方程的斜率不存在时，显然得到2x =为圆的切线；
当切线方程的斜率存在时，设出切线的斜率为k ，由p 的坐标和k 写出切线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离d ，根据直线与圆相切，得到d 等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，从而确定出切线的方程，综上，得到所求圆的两条切线方程. 【详解】
（1）设圆C 的标准方程为： ()()22
211x y r -+-= (0)r > 圆心()1,1C 到直线10x y +-=的距离：
2
d =
=
，
则2
22
111222r d ⎛=+=+= ⎝⎭
∴圆C 的标准方程： ()()2
2
111x y -+-=
（2）①当切线斜率不存在时，设切线： 2x =，此时满足直线与圆相切. ②当切线斜率存在时，设切线： ()32y k x -=-，即23y kx k =-+ 则圆心()1,1C 到直线230kx y k --+=的距离：
1d =
=
解得： 43k =，即34k =
则切线方程为： 3460x y -+=
综上，切线方程为： 2x =和3460x y -+= 24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）取PD 中点G ，连接AG 、FG ，由题意结合中位线性质可得//FG AE 且
FG AE =，即可得四边形FGAE 为平行四边形，进而可得//FE AG ，再由线面平行的判定即可得证；
（Ⅱ）由线面垂直的性质和正方形的性质可得DO ⊥平面PAC ，进而可得DO AF ⊥，由平面几何知识可得AF PO ⊥，再由线面垂直的判定即可得证. 【详解】
（Ⅰ）证明：取PD 中点G ，连接AG 、FG ，
Q E ，F 分别为AB ，PC 的中点，底面ABCD 为正方形
∴//FG CD 且12
FG CD =，//AE CD 且1
2AE CD =，
∴//FG AE 且FG AE =，∴四边形FGAE 为平行四边形， ∴//FE AG ,
又FE ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， ∴//EF 平面PAD .
（Ⅱ）证明：Q 底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，
∴PA DO ⊥，AC DO ⊥，Q PA AC A =I ，∴DO ⊥平面PAC ， ∴DO AF ⊥，
在PAC V 中，设PO AF H =I ，如图，
由题知90PAC ∠=o ， O ，F 分别为AC ，PC 的中点，
∴AF FC =即CAF
FCA ??，
设PA a =，则2AC a =
，2
AO =
， ∴APO ACP V V ∽，∴APO PCA ??，
∴90AHP ∠=o 即AF PO ⊥，
又PO OD O =I ，∴AF ⊥平面POD . 【点睛】
本题考查了线面平行和线面垂直的判定，考查了空间思维能力，属于中档题. 25．（1）2
2
220x y x y +--=；（27 【解析】 【分析】 （1）由公式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
可得曲线C 的直角坐标方程；
（2）把直线参数方程化为普通方程，曲线C 是圆，因此由垂径定理计算弦长，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长． 【详解】
（1）因为22)4
π
ρθ=-
，所以()22cos cos sin sin 2cos sin 44
ππ
ρθθθθ⎫
=+=+⎪⎭
即()2
2cos sin ρρθρθ=+.
因为222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，所以222()x y x y +=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为2
2
220x y x y +--=
（2）因为直线l
的参数方程为2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t
为参数），所以)x -=
-= 所以l
的直角坐标方程为0x -+= 所以圆心()1,1到直线l 的距离
1
2d =
=
，
所以AB ==
=AB 【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化．考查圆的弦长问题．求圆弦长，一般用几何方法，即求出圆心到弦所在直线距离（弦心距），由勾股定理计算弦长．
26．（1
）证明见解析；（2）3
. 【解析】 【分析】
（1）平面AOB ⊥平面AOC ，OC OA ⊥，可证OC ⊥平面AOB ，即可证明结论； （2）取OB 中点E ，连DE ，则//DE AO ，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，解Rt CDE ∆，即可求出结论. 【详解】
（1）平面AOB ⊥平面AOC ，平面AOB I 平面AOC OA =，
,OC OA OC ⊥⊂平面,AOC OC ∴⊥平面AOB ，
OC ⊂Q 平面,COD ∴平面COD ⊥平面AOB ；
（2）取OB 中点E ，连DE ，D 为AB 的中点，
//DE AO ∴，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，
,,,OA OB OA OC OB OC O OA ⊥⊥=∴⊥Q I 平面BOC ，
DE ∴⊥平面BOC ，CE ⊂平面,BOC DE CE ∴⊥，
在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4
AB =，
2,OA OB OC DE CE ∴===∴===
15
tan 3
CE CDE DE ∴∠=
=
， 所以异面直线AO 与CD 所成角的正切值为
15
3
.
【点睛】
本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直，注意空间垂直间的相互转化，求异面直线所成的角，要掌握空间角的解题步骤，“做”“证”“算”缺一不可，考查直观想象能力，属于中档题.。