相似三角形(一)(word版)

中考培优课程 相似三角形
模块一 知识导航
一、相似三角形的概念 1.相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.
如图△ABC 与△A ’B ’C ’相似，记作△ABC ∽△A ’B ’C ’，符号∽读作“相似于”
2.相似比
相似三角形对应边的比叫做相似比. 全等三角形的相似比是1.“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”. 二、相似三角形的性质
1. 似三角形的对应角相等
如图，△ABC 与△A ’B ’C ’相似，则有∠A =∠A ’，∠B =∠B ’，∠C =∠C ’. 2.相似三角形的对应边成比例
如图，△ABC 与△A ’B ’C ’相似，则有
''''''
AB BC AC
k A B B C A C ===（k 为相似比） 3. 相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比. 4.相似三角形周长的比等于相似比
5.相似三角形面积的比等于相似比的平方. 三、相似三角形的判定
1，平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似.
3.如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
4.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似.
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似(常用但要证明)
7.如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似;如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似. 例1
1、关于相似三角形，下列命题中不正确的是（ ） A .两个等腰直角三角形相似 B .含有30°角的两个直角三角形相似； C .相似三角形的面积比等于相似比 D .相似三角形的周长比等于相似比.
2、下列命题中，正确的是（ ）
A .所有的等腰三角形都相似
B .所有的直角三角形都相似
C .所有的等边三角形都相似
D . 所有的矩形都相似 A'B'C'C B
A
F
D
C 2
3、如图，∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形共有（）
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
4、如图，△ABC中，D为AB上一点，在下列四个条件中：①∠B=∠ACD；②∠
ADC=∠ACB；③A C A B
C D B C
=；④2
A C A D A B
=.能够判定△ABC与△ACD相似
的条件是（）
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
AC AD AB
=
ABD=∠ACB，
AC
CDO，
OA OC OD OB
=
EA EB ED EC
=
AB，BC BA，
HA HB
∠DBE.
BCE
A
B C
D
1、如图，平行四边形ABCD 中，点E 在BA 的延长线上，连接CE ，与AD 相交于点F .若BC =8，CD =3，AE =1，求AF 的长.
2、如图，在△ADE ， ∠D =90°，∠A =60°，点C 是线段DE 的中点，过C 点作CB ⊥AE 于B ，CB =2，求AB 的长.
3、在△ABC 中，AB =AC ，BD =CD ，CE ⊥AB 于E .求证：△ABD ∽△CBE .
4、如图，在Rt △ABC ，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点0是AC 边上一点，连接BO 交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 边于点E .求证：△ABF ∽△COE .
例3
1、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC
于点D ，在AB 上找到一点E ，使得∠EDB =∠BAC ，连接CE ，求证：CE
⊥AB .
A B C D E
2、如图，已知CD 是直角ABC 的斜边中线，过点D 作垂直AB 的直线交BC 于点F ，交AC 的延长线于点E ，求证：2CD DF DE =
3、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：
2FD FB FC =
例4
1、如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，求证：△CEF ∽△CBA .
2、如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°. 过C 点作对角线BD 的垂线，分别交BD 、AD 于点E 、 F ，求证：△DCF ∽△DAC .
3、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，交BE 于G ，FD 、AC 的延长
线交于点H ，求证：2
FD FG FH =.
A
B C D F E A B C
D E
F A
B C
D E F G F E D
C B
A
例5
1、如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B =90°，E 为BC 上一点，且AE ⊥ED ，若AB =3，BE =4，DC =8，求DE 的长.
2、如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB =6，CD =16，BD =20，一动点P 从点B 向点D 运动，当BP 的值是多少时△P AB 与△PCD 是相似三角形?
3、如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ， EF ⊥BD ，垂足为F .证明：
111
AB CD EF
+=
4、如图，已知AB ∥EF ∥CD ，找出S △ABD 、S △BED 、S △BCD 之间的关系，并证明你的结论.
例6
1、在△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC 边上的高ÀD =10，求S 四边形EFGH .
2、如图，已知△ABC 中，四边形DEGF 为正方形，D ， E 在线段AC ，BC 上，F ， G 在AB 上，如果S △ADF =S △CDE =1，S △BEG =3，求△ABC 的面积.
A B C D E
F D C B A H
G F C D E
3、如图，已知△ABC 中，AC =5，AB =11，BC
=DEGF 为正方形，其中D ，E 在边AC ，BC 上，F ，G 在AB 上，求正方形的边长.
例7
1、如图，△ABC 中，∠ABC =60°，点P 是△ABC 内一点，使得∠APB =∠BPC =∠CP A ，P A =8，PC =6，求PB 的长.
2、如图，△ABC 中，∠ACB =120°，AC
，BC
=，D 、E 是线段AB 上两点，且△CDE 为等边三角形，求DE 的长.
3、如图，在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，∠DAE =45°，求证：2AB BE CD
第13讲 相似三角形
A 基础巩固
1、下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是（ ）
A .都含有一个30°的内角
B .都含有一个45°的内角;
C .都含有一个60°的内角
D .都含有一个80°的内角
2、如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD =∠A =∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ ）
A .1对
B .2对
C . 3对
D .4对
A B C
D E
3、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是（ ）
4、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD =1，BD =2，那么
DE
BC
的值为（ ） A . 12 B . 13 C . 1
4
D . 19
5、如图，在梯形ABDC 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD =1，BC =3，则AO
CO
的值为（ ） A .
12 B . 13 C . 1
4
D . 19
6、如图，在△ABC 中，∠ABC =80°，∠BAC =40°，AB 的垂直平分线分别与AC 、AB 交于点D 、E ，连接BD ，求证：△ABC ∽△BDC
7、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，△ABC 的面积是△BDE 面积的4倍，AC =6，求DE 的长.
A B C
D
E
O
D
C B A
A
B
C E
D
E D C B A
8、如图，己知AB =12， AB ⊥BC 于点B ，AB ⊥AD 于点A ，AD =5，BC =10.点E 是CD 的中点，求AE 的长.
B 综合训练
9、如图，BC =60，高AD =40，△ABC 的内接矩形EFGH 中，EH ：EF =2：1，求EF 的长.
10、如图，在△ABC 中，2FD FB FC =，AD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 的延长线于F ，求证AD 平分∠BAC .
11、如图，己知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，BG ⊥AP 垂足为G ，交CE 于D ，求证：2CE PE DE =.
12、如图，在△ABC 中，D 是BC ，边上一点，且满足AD =AB ，∠ADE =∠C . （1）求证：△ADE ∽△ACD ；
（2）若S △ADE ：S △CDE =2：3，且AE =4，求AB 的长； （3）求证：AC EC DC BC =.
A
D
B C E
M H B C D E F A E
F D C B A。