高2013级高三文科中档题训练15教师版

高2013级高三文科中档题训练（15）
出题人：邓成兵 审核人：王维
17.（本小题满分10分）设向量(
)
()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤
=
=∈⎢⎥⎣⎦
（I ）若a b =，求x 的值；（II ）设函数()f x a b =⋅，求()x f 的最大值。

（I ）由2
222)(sin )4sin a
x x x =+=，
2
22(cos )(sin )1b x x =+=，及2
,4sin 1a b x ==得 又1[0,
],sin 2
2x x π
∈=
从而，所以 6
x π
=
（II ）2
()cos sin f x a b x x x =⋅=⋅+
111
2cos 2sin(2)2262
x x x π-+=-+. 当[0.]sin 2- 1.326x x π
ππ=
∈时，（）取最大值所以3().2
f x 的最大值为 18. （本小题满分12分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单
位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （Ⅱ）求频率分布直方图中的a ，b 的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）
解：（I ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有 6=2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是10
10.9100
-
=.
从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9. （II ）课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以0.17
0.0852
a =
==频率组距，
课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252
b =
==频率组距. （III ）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.
19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形， 侧棱ABCD PD 底面⊥,2,PD DC E ==是PC 的中点. （Ⅰ）证明EDB PA 平面//； （Ⅱ）求三棱锥A -BDP 的体积.
证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O,连接OE ∴ABCD 是正方形
∵ O 是AC 中点. 又E 是PC 中点，∵ OE ∥PA ,
,.PA BDE OE BDE ⊄⊂平面平面
∴EDB PA 平面// （Ⅱ）1
3
A BDP P ABD ABD V V S PD --∆==⋅ 12242323
⨯=
⨯⨯= 19\设函数f(x)=ax 2
1n x ＋b(x －1)(x ＞0)，曲线y ＝f(x)过点(e ，e 2
－e ＋1)，且在点（1，0)处的切线方程为y ＝0.
(Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ)证明：当x ≥1时，f(x)≥(x －1)2
； (Ⅲ)若当x ≥1时f(x)≥m(x －1)2
恒成立，求实数m 的取值范围．
解：(1)()2ln f x a x ax b '=++，
(1)0f a b '=+=，22()(1)(1)f e ae b e a e e =+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ．
(2)2()ln 1f x x x x =-+，
设22()ln g x x x x x =+-，(1)x ≥，()2ln 1g x x x x '=-+
(())2ln 0g x x ''=>，∴)(x g '在[)+∞,0上单调递增，
∴()(1)0g x g ''≥=，∴)(x g 在[)+∞,0上单调递增，
∴()(1)0g x g ≥=．∴2()(1)f x x ≥-．
（3）设22()ln (1)1h x x x x m x =---+，
()2ln 2(1)1h x x x x m x '=+---，
由(2) 中知22ln (1)1(1)x x x x x x ≥-+-=-，∴ln 1x x x ≥-，
∴()3(1)2(1)h x x m x '≥---，
①当023≥-m 即2
3
≤
m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[1,)+∞单调递增，()(1)0h x h ∴≥=，成立．
②当320m -<即2
3
>
m 时，()2ln (12)(1)h x x x m x '=+-- (())2ln 32h x x m ''=+-，令(())0h x '
'
=，得232
01m x e
-=>，
当[)01,x x ∈时，()(1)0h x h ''<=，)(x h ∴在[)01,x 上单调递减()(1)0h x h ∴<=，不成立．综上，2
3≤
m .。