(尖子生培优)专题04优化问题-四年级数学思维拓展培优讲义(通用版)

专题04优化问题
有的放矢
一、在日常生活或企业管理中经常会遇到这样的问题：在某一段时间内做好几件事或完成各项任
务，怎样省时、省力、效率高；在生产中急样才能使原材料的消耗少，运费尽量低等。

这类问题常常披称为“统筹规划”，我们可以运用优化策略进行解决。

二、合理安排时问题
1、烙饼问题
节省时间的最佳方案是每一次尽可能地让锅里按要求放上最多的饼，这样既没有浪费资源，又节省时间。

(1）在每次只能烙两张饼，两面都要烙的情况下:
①烙3张饼:先烙1，2号饼的正面，接着烙1号饼的反面和3号饼的正面，最后烙2，3号饼的
反面。

②烙多张饼:如果要烙的饼的张数是双数，2张2张的烙就可以了;如果要烙的饼的张数是单数，
可以先2个2个的烙，最后3张饼按①的方法烙，最节省时间。

(2）烙饼的时间计算:总时间=饼数×烙每面的时间2、彻茶问题
解决合理安排的问题需要明确以下内容:①完成一项工作要做哪些事情
②每项事情各需要多少时间
③合理安排工作的顺序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。

三、比赛中的策略
在与对方进行比赛时，要详细地分析自己与对方的情况，反复研究各种策略，在所有可能采取的策略中，选择一·个利多弊少的最优策略，从而使劣势变为优势，最终取得胜利。

田忌用下等马对齐王的上等马，用上等马对齐王的中等马，用中等马对齐王的下等马。

三场两胜，田忌胜出。

能力巩固提升
1．四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分。

比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？
2．李明晚上的时间是这样的安排．
整理书包：6分钟刷牙：3分钟听音乐：15分钟
洗脸：5分钟读英语：15分钟洗脚：15分钟
李明怎样合理安排做这些事情，所用时间最少？最少用多少分钟？
请问王老师有几种购买方案？分别写出这几种方案？
现在有成人4人，儿童6人要去游玩，想一想，他们应该选用哪种方案买票最省钱？
12．用平底锅烙饼，每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面3分钟，烙6张饼最少需要多少分钟？请说明安排的方法。

13．姐姐要出门，出门之前她要完成以下几件事。

怎样安排最合理？姐姐最少过多少分钟就可以出。

14．星期六，爸爸送小明去学校参加课外活动，他还要去菜市场买菜．
上面是他们行走路线和所用时间，他们办完这些事回到家，至少需要多长时间？
15．四（1）班有31人参加假日小队活动，为了环保出行，如何租车最省油？
小轿车限乘客4人耗油30升
商务车限乘客9人耗油50升
16．小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。

烙一个饼的正反两面各需2分钟，小红烙6个饼用了6分钟。

她是怎样做的？
17．中午妈妈要烙饼给客人吃，每次最多能烙两张饼，两面都要烙，每面烙3分钟．烙2张饼最快需要几综合拔高拓展
24．光华小学五年级158名师生去海军坐游艇，游艇分大小两种，大游艇可坐50人，每只租金800元，
28．动物园推出“一日游”的活动价：
（1）成人6人，儿童4人，选哪种方案合算？
33．中午，妈妈要包饺子，为了尽早地吃到饺子，她让小红先安排一下在包饺子的过程中完成每件事的顺序，请计算一下，最快多长时间吃上饺子？
买菜8分钟包饺子25分钟烧开水10分钟煮饺子5分钟吃前洗碗2分钟
34．红、蓝两队举行围棋比赛，两队各派3名同学参加，采取三局两胜制．假设每队3名同学按棋艺从强到弱分为1级、2级、3级，该如何安排对阵，才能增大红队同学获胜的可能性？
35．四（1）班与四（2）班进行男子50米跑“一对一”对抗赛，三局两胜制，两班参赛队员平时最好成绩如下：
假如你是四（1）班的班主任，应该如何安排对抗方法呢？
1．3局
【分析】四名棋手进行单循环比赛，一共比6局，总分是12分，因为没有人全胜，所以得分最高的选手最多是两胜一平得5分，然后分析他们的胜负关系。

【详解】4326
⨯÷=（局）
6212
⨯=（分）
1.如果全部是平局，则4个人的分数只能分别为5，3，2，2，就会出现分数相同的情况，如图所示（图中箭头表示有胜负，箭头指向输者，虚线表示平局）
2.如果有2局是平局，则可以出现满足条件的情况：4人分数分别为5，4，2，1，如图所示
所以至少有3局是平局；
参考答案
答：至少有3局平局。

【点睛】本题考查的是体育比赛中的逻辑推理问题，求解问题时，可以需要考虑到每一种情况。

2．30分钟
【分析】根据题干，听英语的15分钟内，同时整理书包6分钟，刷牙3分钟，洗脸5分钟，一共需要14分钟，由此可节约14分钟；洗脚的同时读英语，又可以节约15分钟，由此即可解答问题．
【详解】根据题干分析，要使所用的时间最少，可设计如下：
15+15=30（分钟），
答：最少需要30分钟．
3．选用方案一合算，最少花600元．
【分析】：根据方案一：成人每人100元，儿童每人50元
方案二：团体10人以上（含10人）每人80元
分别算出方案一花费100×1+50×10=600元，方案二所花的钱数80×（10+1）=880元，然后比较即可得出答案．
【详解】方案一：100×1+50×10
=100+500
=600（元）
方案二：80×（10+1）
=80×11
=880（元）
因为：600＜880
所以选用方案一合算．
答：选用方案一合算，最少花600元．
4．（1）见详解
（2）10场
【分析】（1）把5个人看作五个点，然后两两连线画图即可。

（2）数一数，然后列式计算即可。

【详解】（1）作图如下：
（2）1＋2＋3＋4
9．当成人购买团体票，儿童购买儿童票时，这样最省钱
【分析】方案一：分开买票，成人每人130元；儿童每人60元，用成人每人需要的钱数乘6人，求出成人需要总钱数，同理求出儿童需要的总钱数，再相加，求出这种方案需要的总钱数；
方案二：购买团体票，先把成人和儿童的人数相加，求出一共有多少人，再乘团体票的单价，即可求出方案二需要的钱数；
方案三：6名成人购买团体票，4名儿童购买儿童票，分别根据总价＝单价×数量求出需要的钱数，再相加，求出这种方案需要的总钱数；然后比较三种方案，即可得出最省钱的方案。

【详解】方案一：当成人购买成人票，儿童购买儿童票，需要钱数为：
130×6＋60×4
＝780＋240
＝1020（元）
方案二：当成人、儿童一起购买团体票，需要钱数为：
6＋4＝10（人）
10×100＝1000（元）
方案三：当成人6人购买团体票，儿童4人购买儿童票，需要钱数为：
100×6＋60×4
＝600＋240
＝840（元）
840＜1000＜1020
答：当成人购买团体票，儿童购买儿童票时，这样最省钱。

【点睛】本题考查学生在日常生活中，注意运用优化法解决问题；此题告诉学生掌握理解优惠措施，对于购票进行合理调配，是十分有效的。

10．有2种购买方案，是B型和C型
【详解】根据总价=单价×数量计算出购买每种类型的汽车的总价，再比较，即可解答．解决本题关键是根据总价=单价×数量，分别求出需要的钱数，再与2000元比较即可．
A型：24×94=2256（元）
B型：24×82=1968（元）
C型：24×74=1776（元）
2256＞2000
1968＜2000
1776＜2000
所以有2种购买方案，是B型和C型这两种
答：有2种购买方案，是B型和C型这两种
11．方案二
【分析】将每个方案的费用总和计算出来，然后进行比较，哪一种方案的费用少，哪一种方案就最省钱。

【详解】方案一：150×4＝600（元）
60×6＝360（元）
600＋360＝960（元）
方案二：4＋6＝10（人）
10＞5，即购买团体票
95×10＝950（元）
950＜960
方案二最省钱
答：应该选用方案二买票最省钱。

【点睛】此题考查的是优化问题，分别计算出每种方案所需要的费用是解答此题的关键。

12．18分钟；烙饼的方法是：先分别烙第一、二张的正面和反面；再分别烙第三、四张的正面和反面；然后分别烙第五、六张的正面和反面，这样2张2张地烙好即可。

【分析】由于每次只能烙两张饼，6张饼只要两张两张的分别烙熟即可，求出烙两张饼用的时间，即是（3＋3）分钟，再乘（6÷2）即可。

【详解】（3＋3）×（6÷2）
＝6×3
＝18（分钟）
答：烙6张饼最少需要18分钟。

烙饼的方法是：先分别烙第一、二张的正面和反面；再分别烙第三、四张的正面和反面；然后分别烙第五、六张的正面和反面，这样2张2张地烙好即可。

【点睛】本题考查了学生的利用统筹思想进行合理安排事情的能力，抓住锅内始终有2张饼在烙是本题的关键。

13．姐姐按照如下步骤安排最合理：
18分钟
【分析】先把衣服和水放入洗衣机需要1分钟，洗衣机自动洗衣服需要15分钟，同时可以擦皮鞋、整理房间可以节约3＋6＝9分钟，最后在晾衣服2分钟，据此即可解答问题。

【详解】姐姐按照如下步骤安排最合理：
1＋15＋2＝18（分钟）
答：姐姐最少过18分钟就可以出发了。

14．72分钟
【解析】略
15．租3辆商务车和1辆小轿车
【分析】由题图可知，商务车限乘客9人，耗油50升，从而得知商务车平均每人耗油量是5升多；小轿车限乘客4人，耗油30升，从而得知小轿车平均每人耗油量是7升多，所以尽可能多安排商务车降低耗
÷=油量。

此外还需要考虑不管租几辆车，要尽可能不空座位，因为空座位会增加平均每人耗油量。

3193（辆）……4（人），租3辆商务车后，剩余的4人再租1辆小轿车，这样耗油量最少。

÷=（辆）……4（人）
【详解】3193
441
÷=（辆）
答：租3辆商务车和1辆小轿车最省油。

【点睛】解决这类问题需要注意两个方面：一要考虑租哪种车平均每人耗油量少，二要尽量少空座位。

16．把饼按1、2、3、4、5、6编号，第一次烙1、2、3、4正面，第二次烙1、2反面和5、6正面；第三次烙3、4、5、6反面。

一共正好需要3×2＝6分钟。

【分析】要想用时最短，就要效率最大化，合理安排不空锅即可。

【详解】把饼按1、2、3、4、5、6编号，第一次烙1、2、3、4正面，第二次烙1、2反面和5、6正面；第三次烙3、4、5、6反面。

一共正好需要3×2＝6分钟。

【点睛】此题考查效率最大化，解答此题的关键，每次烤饼时尽量让锅放满，不做无用功。

17．烙2张饼最快需要6分钟，2张饼可以同时烙正、反两面，需要6分钟，烙4张饼最快需要12分钟.【分析】烙饼问题的解题方法：如果饼数是偶数时，时间=一张饼正反都烙的时间×个数÷2，如果饼数是奇数时，时间=一张饼正反都烙的时间×（饼数-3）÷2+3张饼的最佳时间，据此分析解答.
【详解】烙2张饼最快需要6分钟，2张饼可以同时烙正、反两面，需要6分钟，烙4张饼最快需要12分钟.
烙2张饼有不同的方法，算一下最快需要多少分钟，再比较哪种最快，
方法一：一张一张地烙，烙一张正、反两面需要6分钟，烙2张共需6×2=12（分钟），烙4张共需要
6×4=24（分钟）
方法二：锅中每次能烙两张饼，所以2张饼可以同时烙正、反两面，需要：6×2÷2=6（分钟），烙4张饼共需要6×4÷2=12（分钟）
答：烙2张饼最快需要6分钟，2张饼可以同时烙正、反两面，需要6分钟，烙4张饼最快需要12分钟. 18．乙店买更便宜
【分析】甲商店需要：每个足球优惠5元。

即每个足球（45－5）＝40元，36个足球就是（36×40）元；乙商店需要：36是由3个十和6个一组成，3个10可以免费赠送2×3＝6（个）足球，所以原价买30个足球就可以得到36个足球，需要花费（30×45）元，比较甲乙商店的结果即可解答。

【详解】根据分析可得：
甲：36×（45－5）
＝36×40
＝1440（元）
乙：30×45＝1350（元）；
1350元﹤1440元，所以乙店买更便宜。

答：乙店买更便宜。

【点睛】本题考查了优化问题在生活中的实际应用，根据优惠方式算出具体的金额比较是解题的关键。

19．可以租7条小船或租4条小船和2条大船或租1条小船和4条大船。

【分析】根据坐船的总人数与大船和小船可以乘坐的人数，将28拆分含有数字4和6的乘加算式，找到符合题意的租船方案即可。

【详解】28＝4×7，即可以租7条小船；
28＝4×4＋6×2，即可以租4条小船和2条大船；
28＝4×1＋6×4，即可以租1条小船和4条大船。

答：如果每条船都坐满，可以租7条小船或租4条小船和2条大船或租1条小船和4条大船。

【点睛】本题主要考查优化问题，关键根据每种船可坐人数及总人数，找到合适的租船方案。

20．5格
【分析】一开始棋子已占一格，棋子的右面有1110个空格，由于每次移动1~7个格，那么只要甲始终留给乙8的倍数加1格，就可获胜。

【详解】1111－1＝1110（个）
1＋7＝8
÷=
110981385
所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1.以后无论以移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜。

答：第一步必须移5格。

【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，对于必胜策略的问题，首先要判断先后手，然后判断如何进行操作。

21．先洗锅1分钟，把水烧热6分钟，可以同时打鸡蛋、切葱花、准备佐料，最后汤出锅3分钟，这样节省6分钟完成打鸡蛋汤。

【分析】此类题目要奔着节约时间又不使每道程序互相矛盾的情况下进行分析解决，根据题干可知先洗锅1分钟，把水烧热6分钟，可以同时打鸡蛋、切葱花、准备佐料，最后汤出锅3分钟，由此即可设计出打鸡蛋汤的工序，从而计算得出所用的时间。

【详解】先洗锅1分钟，把水烧热6分钟，可以同时打鸡蛋、切葱花、准备佐料，最后汤出锅3分钟，
6+1+3=10（分钟），16-10=6（分钟）
答：先洗锅1分钟，把水烧热6分钟，可以同时打鸡蛋、切葱花、准备佐料，最后汤出锅3分钟，这样节省6分钟完成打鸡蛋汤。

22．先给小欢讲解，再给小熙讲解，最后给小茗讲解所花的总时间最少。

【分析】由题意可知，给一位同学讲解时，其余同学需要等待，所以人数多时先解决讲解用时少同学的问题，总等待时间最少。

所以先给小欢讲解，再给小熙讲解，最后给小茗讲解说话时间最少，据此解答。

【详解】根据分析可知，先给小欢讲解，再给小熙讲解，最后给小茗讲解所花的总时间最少，为：
⨯+⨯+⨯
312316
++
=366
=96
+
=15（分钟）
答：先给小欢讲解，再给小熙讲解，最后给小茗讲解所花的总时间最少。

【点睛】解答本题的关键是明确人数多时先解决讲解用时少同学的问题，总的等待时间最少。

23．①8辆出租车；②5辆出租车，2辆面包车；③2辆出租车，4辆面包车
【分析】根据题意要求全都坐满，也就是如果只坐一种车，此车的辆数×此车限坐人数＝总人数；如果两种车都坐：面包车数×面包车限坐人数＋出租车辆数×出租车限乘人数＝总人数，找出符合题意的解答即可。

【详解】①8辆出租车
32÷4＝8（辆）
32人可以租8辆出租车。

②5辆出租车，2辆面包车
4×5＋6×2
＝20＋12
＝32（人）
32人正好可以坐满5辆出租车，2辆面包车；
③2辆出租车，4辆面包车。

4×2＋6×4
＝8＋24
＝32（人）
答：可以这样租车：①8辆出租车②5辆出租车，2辆面包车③2辆出租车，4辆面包车。

【点睛】本题考查了优化租车问题，也可以用列表法一一排列组合，筛选出符合要求的结果。

24．租2个大游艇和2个小游艇时最合适
【分析】用每只游艇的租金÷游艇可坐的人数即可得出游艇每人的租金，比较大游艇和小游艇的每人租金的大小。

接下来进行讨论，租3个大游艇时，租几个小游艇且计算出费用；租2个大游艇时，需要租几个小游艇，并计算出费用；租1个大游艇时，需要租几个小游艇且计算出费用，最后比较大小即可得出答案。

【详解】大游艇：800÷50＝16（元）
小游艇：500÷30＝16（元）……20（元）
所以尽可能多的租大游艇。

158÷50＝3（个）……8（人）
当租3个大游艇，1个小游艇时，
800×3＋500
＝2400＋500
＝2900（元）
当租2个大游艇，2个小游艇时，
800×2＋500×2
＝1600＋1000
＝2600（元）
当租1个大游艇时，需要租4个小游艇，
800＋500×4
＝800＋2000
＝2800（元）
2600＜2800＜2900
答：租2个大游艇和2个小游艇时最合适，费用为2600元。

【点睛】租船最省钱满足两个条件：一是尽量租大游艇，因为大游艇便宜；二是不能有空位，因为有空位达不到最省钱目的。

25．包船；480元
【分析】分别计算出两种方案的花费，再比较即可。

【详解】方案1：包船
6＋2＝8（人），正好包一条船，花费480元。

方案2：拼船
70×6＋70÷2×2
＝420＋35×2
＝420＋70
＝490（元）
480元＜490元
答：乐乐一家应该选择包船方案，需要480元。

【点睛】准确计算出每种方案的花费是解答此题的关键。

26．8+12+12+10+2+2+8=54(分钟)
【详解】略
27．114元
【分析】先看整箱买可以买几箱，剩下的再3盒一买，再剩下的就一盒一买。

【详解】36÷20＝1（箱）……16（盒）
16÷3＝5（个）……1（盒）
60＋5×10＋4
＝60＋50＋4
＝114（元）
答：买1箱20盒装的、5个3盒装的和1个单盒装的最省钱，需付114元。

【点睛】本题主要考查学生如何合理购买，使花的钱最少。

28．4名成人和1名儿童组成团体，购买团体票，剩下的6名儿童购买儿童票，这样买票最省钱。

【分析】根据题意可得出三种购票方案：
方案一：全体购买团体票。

方案二：成人购买团体票，儿童购买儿童票。

方案三：4名成人和1名儿童购买团体票，剩余6名儿童购买儿童票。

分别求出每个方案的总票价，再进行比较。

【详解】根据分析可得：
方案一：全体购买团体票
（4＋7）×100
＝11×100
＝1100（元）
方案二：成人购买团体票，儿童购买儿童票
4×150＋7×60
＝600＋420
＝1020（元）
方案三：4名成人和1名儿童购买团体票，剩余6名儿童购买儿童票。

5×100＋6×60
＝500＋360
＝860（元）
860＜＜1020＜1100，方案三最省钱。

答：4名成人和1名儿童组成团体，购买团体票，剩下的6名儿童购买儿童票，这样买票最省钱。

29．见详解
【分析】找杯子倒开水→等开水变温（找感冒药、量体温），所以总共的用时为找杯子倒开水和等开水变温的时间和。

【详解】找杯子倒开水：1分钟→等开水变温：6分钟（找感冒药：1分钟、量体温：5分钟），共7分钟。

【点睛】合理安排，能同时进行的事情安排在同时间里完成，这样用时最少。

30．方案二
【分析】方案一，需要买6张成人票和4张儿童票，花费（30×6＋30÷2×4）元。

方案二，义工有6＋4＝10人，可以买10张团体票，花费（20×10）元。

比较两个方案花费钱数的大小解答。

【详解】若选择方案一：
30×6＋30÷2×4
＝180＋15×4
＝180＋60
＝240（元）
若选择方案二：
20×（6＋4）
＝20×10
＝200（元）
240＞200
答：选择方案二购票省钱。

【点睛】本题考查经济问题，关键是明确购买数量和票价，根据总价＝单价×数量求出两个方案花费的钱数。

31．B方案更省钱
【详解】A方案:300×7+120×4=2580(元)
B方案:220×(7+4)=2420(元)
2420<2580
B方案更省钱。

32．（1）方案二
（2）方案一
【分析】分别计算出两种方案需要的钱，钱少的方案合算。

【详解】（1）方案一：
150×6＋60×4
＝900＋240
＝1140（元）
方案二：
100×（6＋4）
＝100×10
＝1000（元）
1000＜1140，方案二合算。

答：选方案二合算。

（2）方案一：
150×4＋60×6
＝600＋360
＝960（元）
方案二：
100×（6＋4）
＝100×10
＝1000（元）
960＜1000，方案一合算。

答：选方案一合算。

【点睛】熟练掌握整数乘法计算方法是解答本题的关键。

33．38分钟
【分析】根据题意可知，要想需要时间最短，则有些事情需要同时做，这样可以节省时间，包饺子过程就可以烧水；煮饺子过程就可以吃前洗碗。

【详解】先买菜，再包饺子同时烧水、煮饺子同时洗碗，这样用的时间最少。

8＋25＋5
＝33＋5
＝38（分钟）
答：最快38分钟吃上饺子。

【点睛】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应不互相干扰。

34．(1)用红队1级选手和蓝队2级选手对阵，红队胜．
(2)用红队2级选手和蓝队3级选手对阵，红队胜．
(3)用红队3级选手和蓝队1级选手对阵，红队负．
三场比赛可赢得两场，红队获胜．
【解析】略
35．学生甲对抗学生戊学生乙对抗学生丁学生丙对抗学生己
【详解】50米跑中，时间越短，跑的越快．三局两胜，学生甲对抗学生戊学生乙对抗学生丁学生丙对抗学生己。