专题训练平行四边形中的动态问题

专题训练（三）平行四边形中的动态问题
班别______________ 姓名_____________
（教材P68习题第13题的变式与应用）
【原题】（人教版八年级下册教材第68页第13题）
如图，在四边形ABCDK AD// BC, / B= 90°, A吐8 cm, AD= 24 cm, BO26 cm
点P从点A出发，以1 cmfs的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cms的速
度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动•从运动开
始，使PQ= CD分别需经过多少时间？为什么?
1 •如图，在四边形ABCD中AD// BC AD= 6, BO 16,点E是BC的中点•点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CB向点B运动•点P停止运动时，点Q也随之停止运动•求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q E、D为顶点的四边形是平行四边形.
2.如图，A, B, C, D为矩形ABCD勺四个顶点，A吐25 cm, AD= 8 cm,动点P, Q分别从点
A C同时出发，点P以3 cmfs的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 cm/s 的速度向点D移动.
⑴P , Q两点从出发开始到第几秒时，PQ/ AD?
⑵ 试问：P, Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ勺面积为84平方厘米.
3.如图，平行四边形ABCD中, AO6, BD= 8,点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC 移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动.
(1)经过几秒，以P, Q, B, D为顶点的四边形为矩形？
⑵ 若BCL AC垂足为C,求(1)中矩形边BQ的长.
0D
4.如图，在四边形ABCD中，-AD// BC, / B= 90°, A吐8 cm, AD= 12 cm, BO 18 cm, 点P从点A出发以1 cms的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cms的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒.
⑴作DEL BC于E,贝U CD边的长度为10cm
⑵ 从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA1矩形？
⑶ 在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD1菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由.
备用图
5.如图，已知矩形ABCD AD= 4, CD= 10, P是AB上一动点，M N E分别是PD PC CD的中点.
⑴ 求证：四边形PMEN是平行四边形；
⑵ 请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
⑶ 四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由.
参考答案
【例】（人教版八年级下册教材第68页第13题）
如图，在四边形ABCDK AD// BC, / B= 90°, A吐8 cm, AD= 24 cm, BO26 cm 点P 从点A出发，以1 cmfs的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cms的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动•从运动开始，使PQ= CD 分别需经过多少时间？为什么？
【解答】①设经过t s时，四边形PQCD1平行四边形，
••• A吐t，CQ= 3t，DA 24-1，
二DP^ CQ「. 24 —t = 3t.
••• t = 6,即经过6s时，四边形PQCD!平行四边形，此时PQ/ CD且PQ= CD.
②设经过t s时，PQ= CD即四边形PQCD!等腰梯形，
••• A吐t，BQ= 26 —3t，
••• t = 26—3t + 2，t = 7.
综上所述当t = 6 s或7 s时，PQ= CD.
【方法归纳】根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解.
1 •如图，在四边形 ABCD 中，AD// BC AD= 6, BO 16,点E 是BC 的中点•点P 以每秒 1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速 度从点C 出发，沿CB 向点B 运动•点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动•求 当运动 时间t 为多少秒时，以点P 、Q E 、D 为顶点的四边形是平行四边形.
1
解：由题意可知，A= t ，CQ= 2t ，CE=尹O 8. v AD
// BC ，•••当PD= EQ 时，以点P 、Q E 、D 为顶点的四边形
是平行四边形.
当2t V 8,即t V 4时，点Q 在C 、E 之间，如图甲.
此时，PD= AD- AP ^ 6-1，EQ= CE- CQ= 8- 2t ， 由 6-1 = 8-2t 得 t = 2.
当8<2t<16，且t<6，即4<t<6时，点Q 在B 、E 之间，如图乙.此时，PD= AD-AP
=6-1，EQ= CQ- CE= 2t — 8,由 6-1 = 2t — 8 得 t
2.如图，A ，B ，C, D 为矩形ABCD 勺四个顶点，A 吐25 cm, AD= 8 cm,动点P ，Q 分别 从点
A C 同时出发，点P 以3 cmfs 的速度向点
B 移动，运动到点B 为止，点Q 以2 cms 的速度向点D 移动.
(1)P , Q 两点从出发开始到第几秒时，PQ/ AD?
⑵ 试问：P, Q 两点从出发开始到第几秒时，四边形 PBCQ 勺面积为84平方厘米.
B E Q C
14
亍
•••当运动时间
图甲 图乙
解：(1)设P, Q两点从出发开始到第x秒时，PQ// AD •••四边形
ABCD是平行四边形，
••• AB// CD，即AP// DQ.
••• PQ/ AD
•••四边形APQD1平行四边形.
••• A吐DQ.
••• 3x= 25-2x.解得x = 5.
答：P, Q两点从出发开始到第5秒时，PQ// AD.
⑵设P, Q两点从出发开始到第a秒时，四边形PBCQ勺面积为84平方厘米,
T BP= 25—3a，CQ= 2a，
•••根据梯形面积公式得：
1
2(25 —3a+ 2a) • 8= 84.解得a= 4.
答：P，Q两点从出发开始到第4秒时，四边形PBCQ勺面积为84平方厘米.
3•如图，平行四边形ABCD中, AC= 6，BD= 8,点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动.
(1)经过几秒，以P, Q, B, D为顶点的四边形为矩形？
⑵ 若BCL AC垂足为C,求⑴ 中矩形边BQ的长.
解：(1)当t = 7秒时，四边形BPDQ为矩形.
理由如下：当t = 7秒时，PA= QC= 7,
••• AC= 6,
•CP= AC= 1.
•PQ= BD= 8.
•••四边形ABCD为平行四边形,
BD= 8, AC= 6,
•A0= C0= 3.
•BO= DO= 4.
•03 OP= 4.
•四边形BPDQ为平形四边形.
••• PQ= BD= 8,
•四边形BPDQ为矩形.
⑵由⑴得B84, CQ= 7,
••• BCL AC,
•/ BCA= 90° .
•B C+C Q=B Q.
• BQ= , 56= 2 ,14.
4.如图，在四边形ABCD中, AD// BC / B= 90°, A吐8 cm, AD= 12 cm, BC= 18 cm, 点P从点A出发以1 cms的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B 运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒.
(1 )作DE L BC于E,贝U CD边的长度为10cm
⑵ 从运动开始，当t取何值时，四边形PQR/是矩形？
(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由.
备用图
解：⑵ 如图1,由题意得：A吐t , D吐12-1 , C*2t , BQ= 18- 2t.
要使四边形PQBA是矩形，已有/ B= 90°, AD// BC即AP// BP,只需满足A吐BQ即t = 18-2t，解得t = 6,因此，当t = 6秒时，四边形PQBA1矩形.
(3)不存在，理由：
如图2,要使四边形PQC是平行四边形，已有AD// BC即DP//CQ
只需满足D吐CQ即12-1 = 2t ,
••• t二4时，四边形PQC是平行四边形，
但D吐12-1 = 8工10,即DP^ DC
•••按已经速度运动，四边形PQC只能是平行四边形，但不可能是菱形.
5.如图，已知矩形ABCD AD= 4, CD= 10, P是AB上一动点，M N E分别是PD PC CD的中点.
⑴ 求证：四边形PMEN是平行四边形;
⑵ 请直接写出当AP为何值时，四边形PMEI是菱形;
(3)四边形PMENt可能是矩形吗？若有可能，求出
的长；若不可能，请说明理由.
解：(1) T M N E分别是PD PC CD的中点, •••
ME是PC的中位线，NE是PD的中位线.
••• ME/ PC，EN// PD.
•••四边形PMEN!平行四边形.
⑵当A9 5时，
A吐BP,
在Rt△ PAD和Rt△ PBC中, / A=Z B, AD= BC, •••△ PAD^A PBCSAS .
••• PD= PC.
T M N E分别是PD PC CD的中点，
••• NE= PM= 1PD ME= PN= 2PC.
••• PM= ME= EN= PN.
•••四边形PMEN!菱形.
(3)四边形PMEN可能是矩形.
若四边形PMEN1矩形，则/ DP& 90° .
设PA= x, PB= 10 -x,
则DP= .'42+ x2, CP= ;'42+( 10- x) 2.
T D P+C P=D C,
即16 + x2+ 16+ (10 —x) 2= 102,
2
--x —10x+ 16—0.
解得x—2或x —8.
故当AF—2或AF—8时，四边形PMEN1矩形.。