数学 必修5 新课标人教A版 第二章 2.5 2.5.1 等比数列

当 a1＝2，q＝3 时， Sn＝a111－－qqn＝23n2－1>400⇒3n>401，∴n≥6； 当 a1＝－2，q＝－3 时， Sn＝－2[－－43n－1]>400⇒(－3)n>801， ∵n∈N*，且必须为偶数，∴n≥8，且 n 为偶数．
题型 3 等差数列和等比数列的综合应用 【例 3】(2012 年山东)已知等差数列{an}的前 5 项和为 105， 且 a10＝2a5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意 m∈N*，将数列{an}中不大于 72m 的项的个数记 为 bm.求数列{bm}的前 m 项和 Sm.
(1)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 S5； (2)若a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式． 思维突破：求等比数列前 n 项和或已知前 n 项和求数列的 通项的思路都是根据已知条件建立方程组求出 a1 与 q.
解：(1)由已知，得
a1＋a1q2＝10，
a11＋q2＝10，
解：设公比为 q，∵S2n≠2Sn，∴q≠1.由已知，得
Sn＝a111－－qqn＝80，
①
S2n＝a111－－qq2n＝6560. ②
由②÷①，解得 qn＝81，q>1(∵S2n－Sn>Sn)，可知最大项为 an＝a1qn－1. ③
qn＝81 代入①③，得 a1＝2，q＝3. (1)前 100 项之和 S100＝211－－33100＝3100－1.
项和公式应注意公式成立的前提条件． 2．等比数列{ an}的前 n 项和的两个公式涉及几个量？至少
知道几个量才能求解其他的几个量？ 答案：涉及五个量．已知 a1，an，q，n，Sn 中任意三个，
可求其余两个，称为“知三求二”．
题型1 利用方程思想求a1，n，q，an，Sn中有关的量 【例1】 已知在等比数列{an}中，公比q＜1.
式． (1)证明：∵an＝13×13n－1＝31n，∴Sn＝1－2 an. (2)解：bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn2＋1.
【例 4】已知在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求 a3 和q.
易错分析：没有讨论公比 q 是否为 1，就直接使用等比数 列的前 n 项和公式 Sn＝a111－－qqn，从而出现漏解．
解：(1)由已知，得a51a＋1＋9d1＝0d2＝a110＋5，4d.
解得da＝1＝77. ， ∴数列{an}的通项公式为 an＝7＋(n－1)·7＝7n. (2)由 an＝7n≤72m，得 n≤72m－1，即 bm＝72m－1. ∵bbmm＋1＝7722mm＋ －11＝49， ∴{bm}是公比为 49 的等比数列． ∴Sm＝711－－4499m＝478(49m－1)．
B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an
题型 2 等比数列前 n 项和公式的应用 【例 2】 等比数列{an}的各项均为正数，其前 n 项中，数 值最大的一项是 54，若该数列的前 n 项之和为 Sn，且 Sn＝80， S2n＝6560，求： (1)前 100 项之和 S100； (2)通项公式 an.
(2．在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60，Sn>400，求 n 的取值范围．
解：∵a1a3＝a21q2＝36，∴a1q＝±6. 又∵a2＋a4＝a1q(1＋q2)＝60，且1＋q2>0， ∴a1q>0，得a1q＝6,1＋q2＝10. 解得qa＝1＝32， 或qa＝1＝－－32.，
2．5 等比数列的前 n 项和
2．5.1 等比数列的前 n 项和
【学习目标】 1．掌握等比数列{ an}前 n 项和公式． 2．通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程，体会错位相 减法以及分类讨论的思想方法．
等比数列{ an}的前 n 项和
等比数列前 n 项和公式为___S_n＝__a_1_1_1－_－_q_q_n___ (q≠1)，
a1q3＋a1q5＝54， 即a1q31＋q2＝54.
∵a1≠0,1＋q2≠0， ∴两式相除，得 q3＝18.
∴q＝12，a1＝8.
∴S5＝811－－12125＝321.
a1q2＝2， (2)由已知，得a111－－qq4＝5×a111－－qq2.
当 q＝1 时，__S_n_＝__n_a_1__.
练习：设{an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1，a5＝16，
则数列{an}前 7 项的和为( C )
A．63
B．64
C．127
D．128
【问题探究】 1．等比数列前 n 项和公式 Sn＝a111－－qqn的使用条件是什
么？ 答案：公比 q≠1.当 q＝1 时，Sn＝na1 ，使用等比数列前 n
在解决等差、等比数列的综合题时，重点在 于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及 前 n 项和公式是解决问题的关键．
【变式与拓展】 3．已知在等比数列{an}中，a1＝13，q＝13. (1)Sn 为数列{an}前 n 项的和，证明：Sn＝1－2an；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公
(2)运用等比数列的前 n 项和公式要注意公比 q＝1 和 q≠1 两种情形，在解有关的方程组时，通常用约分或两式相除的方 法进行消元．
【变式与拓展】
1．(2013 年新课标Ⅰ)设首项为 1，公比为23的等比数列{an}
的前 n 项和为 Sn，则( D ) A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an
① ②
由②，得 1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0.
∵q＜1，
∴q＝－1 或 q＝－2.
当 q＝－1 时，代入①，得 a1＝2. 通项公式为 an＝2×(－1)n－1； 当 q＝－2 时，代入①，得 a1＝12，通项公式为
an＝12×(－2)n－1.
(1)a1，n，q，an，Sn 中知道三个可求另外两个， 需建立方程组求解，此法为“基本量法”．