2021年河南省洛阳市拖一高高三数学理月考试题含解析

2021年河南省洛阳市拖一高高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数，在下列区间中，包含的零点的区间是()
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
2. 已知命题p：?x∈R，log2（3x+1）≤0，则（）
A．p是假命题；￢p：?x∈R，log2（3x+1）≤0
B．p是假命题；￢p：?x∈R，log2（3x+1）＞0
C．p是真命题；￢p：?x∈R，log2（3x+1）≤0
D．p是真命题；￢p：?x∈R，log2（3x+1）＞0
参考答案：
B
考点：命题的否定；特称命题．
专题：简易逻辑．
分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
解答：解：∵3x＞0，
∴3x+1＞1，则log2（3x+1）＞0，
∴p是假命题；
￢p：?x∈R，log2（3x+1）＞0．
故选：B．
点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3. 已知集合，则（）A． B． C． D．
参考答案：
A
,所以，选A.
4. 已知数列中，，且数列是等差数列，则等于
A． B． C．5
D．
参考答案：
【知识点】等差数列的通项公式．D2
【答案解析】B 解析：∵数列{a n}中，a3=2，a7=1，且数列是等差数列，设公差为d，则
=+4d，解得 d=．故=+4d=+4d=，∴a11=．
故选 B．
【思路点拨】设公差为d，则由=+4d，解得 d=，再由=+4d 求出a11的值．5. 对于函数f(x)=a sinx+bx+c(其中a,b R,c Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1)所得出的正确结果一定不可能是
(A).4和6 (B).1和2 (C).2和4 (D). 3和1
参考答案：
B
6. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为
(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14
参考答案：
B
由题设可知区间[481，720]长度为240，落在区间内的人数为12人。

7. （5分）设点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
【考点】：双曲线的简单性质．
【专题】：计算题．
【分析】：先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率
解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，
∴|PF1|=3a，|PF2|=a，
∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c，
∴F1F2是圆的直径，
∴∠F1PF2=90°
在直角三角形F1PF2中
由（3a）2+a2=（2c）2，得
故选 D
【点评】：本题考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率的求法
8. 函数在区间内
A．没有零点B．有且仅有1个零点
C．有且仅有2个零点D．有且仅有3个零点
参考答案：
B
略
9. 两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】几何概型．
【分析】由题意知本题是几何概型问题，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω：{（x，y）
|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出集合对应的面积是边长为30的正方形面积，写出满足条件的事件对应的集合与面积，根据面积之比计算概率．
【解答】解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，
故样本点由两个数（甲、乙两人各自到达的时刻）组成；
以5：30作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系，
设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为：
Ω：{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，画成图为一正方形；
会面的充要条件是|x﹣y|≤15，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分，
∴由几何概型公式知所求概率为面积之比，
即P（A）==．
故选：D．
【点评】本题考查了把时间分别用x，y坐标来表示，把时间一维问题转化为平面图形的二维面积问题，计算面积型的几何概型问题．
10. 如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为
（）
A．6B．9C．12D．18
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以侧视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．
【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，
其底面底边长为2+=3，底边上的高为：，
故底面积S=3×=3，
又因为棱柱的高为3，
故V=3×3=9，
故选B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何体的形状及相应底面面积和高是解答本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数在区间
上的零点的个数为
参考答案：
5
12. 在右图的圆中，弦AB、CD相交于E且互相垂直，若线段AE、EB和ED的长分别为2、
6和3，则圆的直径长为。

参考答案：
略
13. 已知P是椭圆上的一点，Q，R分别是圆和上的点，则的最小值是.
参考答案：
7
设两圆圆心为M,N,则M,N为椭圆焦点，因此，即的最小值是7
14. 已知公差为零的等差数列的前n项和为则等于 .
参考答案：
4
由得，即。

所以
，所以。

15. 若实数x 、y 满足约束条件，则z=4x+y 的最大值为
．
参考答案：
14
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图：
联立
，解得A （3，2），
化z=4x+y 为y=﹣4x+z ，由图可知，当直线y=﹣4x+z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为14． 故答案为：14．
16. 函数的图象如图所示，则
的值等于
参考答案：
由图知，，，所以周期
，又
，所以
，所以
，即，所以
，所以
，又
，所以。

17. 若函数与的图象关于直线对称，则
.
参考答案：
lnx-1(x>0)
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分） 为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：
组别 候车时间 人数 一 [0，5） 2 二 [5，10） 6 三 [10，15） 4
四 [15，20） 2
五 [20，25] 1
（Ⅰ）求这15名乘客的平均候车时间；
（Ⅱ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（Ⅲ）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．
参考答案：
【考点】：古典概型及其概率计算公式；频率分布表．
【专题】：概率与统计．
【分析】：（Ⅰ）用每一段的中间值乘以每一段的频率然后作和即得15名乘客的平均候车时间；
（Ⅱ）查出15名乘客中候车时间少于10分钟的人数，得到15名乘客中候车时间少于10分钟的频率，用频率乘以60即可得到答案；
（Ⅲ）用列举法写出从第三组和第四组中随机各抽取1人的所有事件总数，查出两人恰好来自不同组的事件个数，则两人恰好来自不同组的概率可求．
解：（Ⅰ）由图表得：，
所以这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟．
（Ⅱ）由图表得：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，
所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于．
（Ⅲ）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为e，f，“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A．
所得基本事件共有15种，即（ac），（ab），（ad），（ae），（af），（bc），（bd），（be），（bf），（cd），（ce），（cf），（de），（df），（ef），抽到的两人恰好来自不同组的事件共8种，分别是（ae），（af），（be），（bf），（ce），（cf），（df），（df）．
其中事件A包含基本事件8种，由古典概型可得，即所求概率等于．
【点评】：本题考查了频率分布表，考查了古典概型及其概率计算公式，考查了学生读取图表的能力，是基础的计算题．
19. 如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2．
（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；
（Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣O1的大小．
参考答案：
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．
【专题】计算题；证明题．
【分析】本题可用两种方法来解答：
（解法一）（I）利用几何体中的垂直关系建立空间直角坐标系，求?=0来证明垂直；
（II）求平面OAC和平面O1AC的法向量，再求二面角O﹣AC﹣O1的平面角的余弦值．
（解法二）（I）由题意知证出AO⊥平面OBCO1，再由给出的长度求出OC⊥BO1，由三垂线定理
AC⊥BO1；
（II）由（I）证出BO1⊥平面AOC，利用其垂直关系作出二面角O﹣AC﹣O1的平面角，在直角
三角形中解．
【解答】解：解法一（I）证明：由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1．
∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB．
故可以O为原点，OA、OB、OO1，
所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）．
∴=（﹣3，1，），=（0，﹣3，），?=﹣3+?=0．∴AC⊥BO1．
（II）解：∵ ?=﹣3+?=0，∴BO1⊥OC，
由（I）AC⊥BO1，∴BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量．
设=（x，y，z）是平面O1AC的一个法向量，
由?，取z=，得=（1，0，）．
设二面角O﹣AC﹣O1的大小为θ，由、的方向知，
cosθ=cos＜，＞==
即二面角O﹣AC﹣O1的大小是arccos．解法二（I）证明：由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，
∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB．则AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影．
∵tan∠OO1B==，tan∠O1OC==，
∴∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，则OC⊥BO1
由三垂线定理得AC⊥BO1．
（II）解：由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC．
设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连接O1F（如图4），
则EF是O1F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC．
∴∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角．
由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，
∴O1A==2，AC==，
∴O1F==，又O1E=OO1?sin30°=，
∴sin∠O1FE==即二面角O﹣AC﹣O1的大小是arcsin．
【点评】本题为一题多解的情况，一种是向量法，需要利用已有的垂直关系建立空间直角坐标系，向量的数量积来证垂直，求平面的法向量来求二面角的余弦值；另一种用垂直关系的定义和定理，三垂线定理来证明垂直，作出二面角O﹣AC﹣O1的平面角．向量法简单．
20. (12分)已知函数．
(1)求的最小正周期及其单调增区间；
(2)当时，求的值域．
参考答案：
(1).
．函数的最小正周期．
由正弦函数的性质知，当，
即时，函数为单调增函数，所以函数的单调增区间为，．
(2)因为，所以，所以，
所以，所以的值域为[1，3]．
21. （本题满分14分）已知为正数，记为“正数的对数平均数”。

（1）求函数的单调区间；
（2），比较的“算术平均数”，“几何平均数”和“对数平均数”的大小并证明。

参考答案：
22. （12分）椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且短轴长与长轴长的比是
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
参考答案：
故有4m≥4，解得m≥1.
又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.
故实数m的取值范围是m∈[1,4]．。