专题八第31讲事件的相互独立频率与概率课件 高考数学学业水平测试复习

0.1×0.8×0.8＝0.352，
故至少进2球的概率为0.576＋0.352＝0.928，
故选C.
3．(2023·广东模拟)甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，
其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0
分．若甲、乙两人射击的命中率分别为0.6和P，且甲、乙两人
各射击一次得分之和为2的概率为0.45.假设甲、乙两人射击互
(2)随机模拟来估计概率事件的特点： ①对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我 们可采取随机模拟方法来估计概率． ②对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重 复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的 概率问题，可用随机模拟方法来估计概率．
1．事件独立性的判断 (1)抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件
对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如
表所示：
分组 [500，900) [900，1 100)
频数 48 121
频率
[1 100，1 300)
208
[1 300，1 500)
223
[1 500，1 700)
193
[1 700，1 900)
165
[1 900，＋∞)
42
①求各组的频率； ②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
(2)解：①频率依次是：0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165， 0.042. ②样本中寿命不足 1 500 小时的频数是 48＋121＋208＋223＝600， 所以样本中寿命不足 1 500 小时的频率是1600000＝0.6. 即灯管使用寿命不足 1 500 小时的概率约为 0.6. 剖析：(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利 用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大 时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率． (2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率， 然后用频率估计概率．
不影响，则P值为( )
A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.25
B 由题意知甲、乙两人射击互不影响，则本题是一个相互独
立事件同时发生的概率，根据题意可设“甲射击一次，击中目
标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，由相互
独立事件的概率公式可得，可得关于p的方程，解方程即可得
答案．
详解：设“甲射击一次，击中目标”为事件 A，“乙射击一次， 击中目标”为事件 B， 则“甲射击一次，未击中目标”为事件－A ，“乙射击一次，未击 中目标”为事件－B ， 则 P(A)＝35，P(－A )＝1－35＝25，P(B)＝P，P(－B )＝1－P， 依题意得：35×(1－p)＋25×p＝290， 解可得，p＝34， 立性的定义，得 P(AB)＝ P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72. ②“恰好有一人中靶”＝A－B ∪－A B，且 A－B 与－A B 互斥，根据概 率的加法公式和事件独立性定义，得 P(A－B ∪－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26. ③事件“两人都脱靶”＝－A －B ，所以 P(－A －B )＝P(－A )P(－B )＝(1－ 0.8)×(1－0.9)＝0.02.
8．据平安保险公司统计，某地车主购买车损险的概率为0.5， 购买第三者人身安全险的概率为0.6.购买两种保险相互独立， 各车主间相互独立．求： (1)一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率； (2)一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率． 解：记 A 表示事件“购买车损险”，B 表示事件“购买第三者人 身安全险”， 则由题意得，A 与 B，A 与－B ，－A 与 B，－B 与－A 都是相互独立事件， 且 P(A)＝0.5，P(B)＝0.6. (1)记 C 表示事件“同时购买两种保险”，则 C＝AB，
④法一 事件“至少有一人中靶”＝AB∪A－B ∪－A B，且 AB、A－B 、
－ AB
两两互斥，所以
P(AB∪A－B ∪－A B)＝P(AB)＋P(A－B )＋P(－A B)
＝0.8×0.9＋0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.98.
法二 由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱
靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率
且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则两人
都命中的概率为( )
A．0.08
B．0.18
C．0.25
D．0.72
(2)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，
乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
①两人都中靶；
②恰好有一人中靶；
③两人都脱靶；
④至少有一人中靶．
(1)解析：篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且 两人罚球是否命中相互独立． 甲、乙各罚球一次，则两人都命中的概率为 P＝0.9×0.8＝0.72. 故选D. 答案：D (2)解：设 A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，则－A ＝“甲脱靶”， －B ＝“乙脱靶”．由于两个人射击的结果互不影响，所以 A 与 B 相互独立，A 与－B ，－A 与 B，－A 与－A 都相互独立．由已知可得， P(A)＝0.8，P(B)＝0.9，P(－A )＝0.2，P(－B )＝0.1.
概率为0.9，球员乙、丙进球的概率均为0.8.若3人各踢点球1次，
且进球与否相互独立，则至少进2球的概率是( )
A．0.784
B．0.864
C．0.928
D．0.993
C 由题意知：由相互独立事件的概率公式得，
3人都进球的概率为0.9×0.8×0.8＝0.576，
3 人 中 恰 有 2 人 进 球 的 概 率 0.9×0.8×0.2 ＋ 0.9×0.8×0.2 ＋
为 1－P(－A －B )＝1－0.2×0.1＝0.98.
剖析：(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤： ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②确定这些事件可以同时发生． ③求出每个事件的概率，再求积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公 式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发 生．
5．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四 场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队 的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的 概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 则甲队以4∶1获胜的概率是__________． 解析：记事件M为“甲队以4∶1获胜”，则甲队共比赛五场， 且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场， 所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18. 故答案为0.18. 答案：0.18
(1)解析：对于①，根据频数和频率的定义知，频数和频率都 能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度，所以①正确； 对于②，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数， 所以②正确； 对于③，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，所以③错 误； 对于④，频率是一个实验值，是随实验结果变化的，概率是稳 定值，是不随实验结果变化的，所以④错误． 综上知，正确的命题序号是①②.故选C. 答案：C
(1)解析：“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3点”， “第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独 立，而对于“两次得到的点数和是12”则第一次一定是6点， 第二次也是6点，故不是相互独立．故选A. 答案：A (2)解：①P(A)＝542＝113，P(B)＝2562＝12， 事件 AB 即为“既抽得 K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃 K 或方 块 K”，故 P(AB)＝522＝216，从而有 P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件 A 与 B 相互独立． ②事件 A 与事件 C 是互斥的，因此事件 A 与 C 不是相互独立事件．
6．假设P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A与B相互独立，则P(AB)＝ ________，P(A∪B)＝__________． 解析：事件A，B是相互独立的，P(A)＝0.7，P(B)＝0.8， 则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.7×0.8＝0.56， P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝ 0．7＋0.8－0.56＝0.94. 答案：0.56 0.94
4．(2023·广东模拟)口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，
从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是
0.28，则摸出黑球的概率是( )
A．0.42
B．0.28
C．0.7
D．0.3
D 从中摸出一个球，摸出红球、摸出白球、摸出黑球是互斥 的，所以由互斥事件概率的加法公式知摸出黑球的概率是1－ 0.42－0.28＝0.3，故选D.
7．自2018年国家实施乡村振兴战略以来，农村电商行业蓬勃 发展，规模不断扩大．农村电商畅通了农产品进城渠道，加速 推进了农业数字化．图1为我国2018年至2022年农村电商行业 农产品网络零售额的变化情况，图2为A市2022年农产品网络 零售量占比扇形图．
(1)从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的 产品是粮油或茶叶的概率；
剖析：(1)两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个 事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率 没有影响． (2)一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事 件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为 前提．
2．相互独立事件概率的实际应用
(1)已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，
“第一次得到6点”不互相独立的事件是( ) A．“两次得到的点数和是12” B．“第二次得到6点” C．“第二次的点数不超过3点” D．“第二次的点数是奇数” (2)从52张扑克牌(不含大小王)中任抽一张，记事件A为“抽得 K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽到J”．判断 下列每对事件是否相互独立？为什么？ ①A与B； ②C与A.
1．把标有1，2的两张卡片随机地分给甲、乙；把标有3，4的两
张卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得1号纸片”与
“丙得4号纸片”是( )
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．相互独立事件
D．以上答案都不对
C 相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，因此它
们不可能互斥．故选C.
2．某足球队进行点球训练，假设守门员不变，球员甲进球的
3．频率的稳定性
(1)给出下列说法：
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度；
②每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④频率就是概率．
其中正确的是( )
A．①
B．①②④
C．①②
D．③④
(2)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司
专题八 统计和概率
第31讲 事件的相互独立、频率与概率
1．事件的相互独立性 (1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则 称事件A与事件B相互独立． (2)性质：如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与－B ，－A 与 B，－A 与 －B 也都相互独立．
2．频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小， 即 事 件 A 发 生 的 频 率 fn(A) 会 逐 渐 稳 定 于 事 件 A 发 生 的 概 率 P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可 以用频率fn(A)估计概率P(A)． 3．随机模拟 (1)随机模拟的定义：利用计算器或计算机软件可以产生随机 数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机 数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了．我们称 利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛(Monte Carlo)方法．
(2)已知某农产品带货主播每天零售额超过1万元的概率为0.6， 假定每天的销售情况互不影响，求该主播任意两天中至少有一 天零售额超过1万元的概率． 解：(1)由题意得扇形图中茶叶的占比为 1－14%－11%－5%－30% －22%＝18%， 故从 A 市 2022 年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产 品是粮油或茶叶的概率为 18%＋22%＝40%＝25. (2)记任意两天中至少有一天零售额超过 1 万元为事件 A， 则－A 为两天零售额都没有超过 1 万元， P(A)＝1－P(－A )＝1－0.4×0.4＝0.84.