初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案模板

初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案模板
初中数学特殊平行四边形的证明
一．解答题（共30小题）
1．（2015?泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于
D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．
2．（2015?福建模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．求证：四边形BCFE是菱形．
3．（2015?深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD
交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
4．（2015?济南模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．
求证：EB=EC．
5．（2015?临淄区校级模拟）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AC的长为多少？
6．（2015春?宿城区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE．
7．（2014?雅安）如图：在?ABCD中，AC为其对角线，过点D 作AC的平行线与BC 的延长线交于E．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．
8．（2014?贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．
9．（2014?遂宁）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是
CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点
F，连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
10．（2014?宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD 是矩形．
11．（2014?钦州）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF．求证：CE=DF．
12．（2014?贵港）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC 上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．（1）求证：DF=AE；
（2）当AB=2时，求BE2的值．
13．（2014?吴中区一模）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠BAF=∠DAE．
（1）求证：AE=AF；
（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．
14．（2014?新乡一模）小明设计了一个如图的风筝，其中，四边形ABCD与四边形AEFG 都是菱形，点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD=135°，∠EAG=75°，AE=100cm，求菱形ABCD的边长．
15．（2014?槐荫区三模）如图，菱形ABCD的边长为1，∠D=120°．求对角线AC的长．
16．（2014?历城区一模）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，求AE的长．
17．（2014?湖南校级模拟）如图，AE=AF，点B、D分别在AE、AF上，四边形ABCD 是菱形，连接EC、FC
（1）求证：EC=FC；
（2）若AE=2，∠A=60°，求△AEF的周长．
18．（2014?清河区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．
求证：四边形ADEF是菱形．
19．（2014春?防城区期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E，F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．
20．（2014?通州区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC
的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．
21．（2014?顺义区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
22．（2014?祁阳县校级模拟）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形．（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的周长．
23．（2014?荔湾区校级一模）已知点E是矩形ABCD的边AD 延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，求证：△AOD≌△BOC．
24．（2014?东海县二模）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，
且BF=DE，
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=2，BF=1，求四边形AECF的面积．
25．（2014?玉溪模拟）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接
BE、DG．
求证：BE=DG．
26．（2014?工业园区一模）已知：如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC 延长线上一点，且CE=CF
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠FDC=30°，求∠BEF的度数．
27．（2014?深圳模拟）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
28．（2014?碑林区校级模拟）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连
接EB、ED．求证：∠BEC=∠DEC．
29．（2014?温州一模）如图，AB是CD的垂直平分线，交CD 于点M，过点M作ME⊥A
C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．
30．（2014?湖里区模拟）已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠A BC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．
初中数学特殊平行四边形的证明
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2015?泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．
考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定．专题：证明题．
分析：（1）ED是BC的垂直平分线，根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，则EB=EC，故有∠3=∠4，在直角三角形ACB中，∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，则可得到AE=CE，从而证得△ACE和△EFA都是等腰三角形，又因为FD⊥BC，AC⊥BC，所以AC∥FE，再根据内错角相等得到AF∥CE，故四边形ACEF是平行四边形；
（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．
解答：解：（1）∵ED是BC的垂直平分线
∴EB=EC，ED⊥BC，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=90°，
∴FE∥AC，
∴∠1=∠5，
∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余
∴∠1=∠2，
∴AE=CE，
又∵AF=CE，
∴△ACE和△EFA都是等腰三角形，
∴∠5=∠F，
∴∠2=∠F，
∴在△EFA和△ACE中
∵，
∴△EFA≌△ACE（AAS），
∴∠AEC=∠EAF
∴AF∥CE
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：
∵∠B=30°，∠ACB=90°
∴∠1=∠2=60°
∴∠AEC=60°
∴AC=EC
∴平行四边形ACEF是菱形．
点评：本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱形的判定求解，有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．（2015?福建模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．求证：四边形BCFE是菱形．
考点：菱形的判定．
专题：证明题．
分析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF=BE，∴四边形BCFE是菱形．
解答：解：∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=2DE．（1分）
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE且DE∥BC．（2分）
∴EF=BC．（3分）
又EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．（4分）
又EF=BE，
∴四边形BCFE是菱形．（5分）
点评：此题主要考查菱形的判定，综合利用了平行四边形的性质和判定．
3．（2015?深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
考点：菱形的判定与性质．
专题：几何图形问题．
分析：（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形；
（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB 为直角即可．
解答：解：（1）∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD为平行四边形，∠2=∠3，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=DC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）直角三角形．
理由：∵AE=EC
∴∠2=∠4，
∵AE=EB，
∴EB=EC，
∴∠5=∠B，
又因为三角形内角和为180°，
∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°，
∴∠ACB=∠4+∠5=90°，
∴△ACB为直角三角形．
点评：考查菱形的判定与性质的应用；用到的知识点为：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱
形的4条边都相等．
4．（2015?济南模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．
求证：EB=EC．
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ABE≌△DCE（SAS），即可得出答案．
解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=ED，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴EB=EC．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，得出△ABE≌△DCE是解题关键．
5．（2015?临淄区校级模拟）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AC的长为多少？
考点：矩形的性质．
分析：根据等角的余角相等，得∠BAC=∠ADE=α；根据锐角三角函数定义可求AC的长．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠EAD=∠ACB，
∵在△ABC与△AED中，
∵DE⊥AC于E，∠ABC=90°
∴∠BAC=∠ADE=α．。