Salagean类单叶调和函数的特征解读

Salagean 类单叶调和函数的特征
吴瑞溢 黄心中
(华侨大学数学系 福建 泉州 362021)
摘要 本文研究由Salagean 定义的函数族);,(αn m S H 及其子族);,(αn m S H ，得到
);,(αn m S H 类的子族(,;)HK S m n α具有拟共形映照的性质。

同时，研究);,(αn m S H 函数
类的凸像性质，对Salagean 函数类的偏差定理、拟共形性质及凸像区域性质做进一步的研究，改进了S.Yalçin 得到的结果。

关键词 拟共形映照，调和拟共形映照，凸像
J.Clunie 和T.Sheil-small 在文[1]中研究了单叶调和函数，得到不少类似于单叶函数的性质，如偏差定理、Bloch 常数、凸性区域等。

对单叶调和函数的研究，一方面，可以看成是研究单叶函数的推广； 另一方面又与调和拟共行映照有密切的联系。

最近，在这方面的研究相当活跃，文章[2]、[3]、[4]的结果是很有说服力的。

区域D 上的复值连续函数
()(,)(,)f z u x y iv x y =+是调和的意指),(y x u 和),(y x v 在D 内皆是调和的。

当D 为任何单连
通区域时，()f z 可表示为()()()f z h z g z =+，其中(),()h z g z 是D 上的解析函数。

用H S 表示单位圆盘}1{<=z z U 内调和且满足正规化条件0)0(=f ，1)0(=z f 的单叶函数族，那么对H S g h f ∈+=，解析函数h 和g 可表示为：
2
()k
k k h z z a z ∞==+∑，1
()k k k g z b z ∞
==∑，11<b ，U z ∈ (1)
为进一步研究H S 类的几何性质，Salagean[5]引入作用于具有(1)形式的调和函数的微 分算子如下：
()()(1)()m m m m D f z D h z D g z =+- (2) 其中2
()m
m
k
k k D h z z k
a z ∞
==+
∑，1
()m
m k k k D g z k b z ∞
==∑。

对10<≤α，0{1,2,3,},{0,1,2,}m N n N ∈=∈= ，n m >，用);,(αn m S H 表示
_____________________________________
基金项目 福建省自然科学基金资助项目Z0511025
这样的函数类：)(z f 是由(1)式表示的调和函数，且满足α>})
()
(Re{z f D z f D n m 。

用);,(αn m S H 表示);,(αn m S H 的子族，);,(αn m S g h f H m m ∈+=，h 和m g 可表示为
∑∞
=-
=2
k k
k z
a z h ,∑∞
=--=1
1
)
1(k k
k m m z
b g ，0,≥k k b a . (3)
最近，S.Yalçin[6]对函数族);,(αn m S H 及其子类);,(αn m S H 做了进一步深入的研究，证明了);,(αn m S H 类的单叶性问题，并对);,(αn m S H 类的偏差定理、极值点的条件以及凸像区域等问题进行了系统地研究。

本文将进一步研究);,(αn m S H 、);,(αn m S H 两类函数族的性质，改进文[6]的一些结果。

1、 主要结果及其证明
在文[6]中，S.Yalçin 证明了：
定理[6]
A 设g h f +=为具有形式(1)的调和函数，满足：
2)1)1(1(1
≤---+--∑∞
=-k k n n m m k n m b k k a k k αααα， (4) 其中11=a ，0,m N n N ∈∈，10<≤α；则f 在U 内保向单叶调和且);,(αn m S f H ∈。

定理[6]
B 设m m g h f +=，可表示为(3)的形式；则);,(αn m S f H m ∈当且仅当
∑∞
=--≤--+-1
)1(2]))1(()[(k k n n m m k n m
b k k a k k
ααα， (5)
关于);,(αn m S H 类的偏差定理，S.Yalçin 得到： 定理[6]
C 设);,(αn m S f H m ∈.则对1<=r z ，有
211)2)1(121(21)1()(r b r b z f n
m n m n m n m αααα------++≤---， 1||<=r z , 2
11111(1)()(1)()222m n m n m n m n
f z b r b r αααα
------≥-----, 1||<=r z 。

本文将对Salagena 函数类的偏差定理、拟共形性质及凸像区域性质做进一步的研究，
改进S.Yalçin 得到的一些结果。

我们先引入拟共形映照的定义：
平面区域Ω到'Ω的一个同胚映照f , 称为区域Ω上的K —拟共形映照(K.q.c.映照)， 如果满足：
(1) f 在Ω上是ACL 的;
(2) 对几乎所有的z ∈Ω，满足 Beltrami 方程()()()z z f z z f z μ=,其中
1
sup ()1,1
z K ess z k k K μ∈Ω
-=<=
+ 。

对于具有形式(1)的调和函数类，我们引进(,;)HK S m n α为：)(z f 满足条件(4)式。

下面我们得到(,;)HK S m n α函数族的拟共形性质：
定理1 若(,;)HK f h g S m n α=+∈，则除0,1,0===αm n 外，f 为K.q.c.映照。

证明：当0,1,0===αm n 时，我们取2
012
f z z =+
，由定义有0(1,0;0)HK f S ∈，但此时0f 不是K.q.c.映照；说明(1,0;0)HK S 并非完全K.q.c.。

由定理A 知(,;)HK S m n α函数类是单叶调和函数，下面证明其拟共形映照性质。

当0≠n 时，由α
ααααα--≥--=------122111
111n m n m n m k k k k k k (2≥k )，故
111221m n m n k k k αααα--⎛⎫--≤ ⎪--⎝⎭
, (2≥k ). (6)
当0=n 时，1
2(1)2
21m m m m
m k k k αααα-⎛⎫
--≤≤ ⎪--⎝⎭
(2≥k )，故
2(1)21m m k k αααα⎛⎫--≤ ⎪--⎝⎭
, ( 2≥k ). (7)
记n m m n m n n n m A 22)1(20
,2)1(20,2
21);,(11ααα
ααα
α--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--≠--=--，则由(6)、(7)得： α
αα--≤1);,(n
m k k n m A k (2≥k ) . (8)
当0n =时，2(1)2(1)
(,;)1,(0)22m
A m n αααααα
--=
<<≠--
当0≠n 时，2(1)2(1)11
(,;)222(2)22
m n n m n
A m n ααααααα----=
=<≤---, 因此 0(,;)1A m n α<< (1,0,0m n α≠≠≠), (9)
由(4)式可得:122
(1)111m m n n m n
k k k k k k k k b b a αααα-∞
∞
==---≤----∑∑, (10)
又由(9)、(10)知：2
01(,;)11m n
k k k k A m n a ααα∞
=-<-<-∑. (11)
故由(8),(9),(10),(11)可推得：
∑∑∑∑∑∑∞
=∞
=∞=∞
=∞=∞
=-------+≤-----+≤-≤2
2
11221211);,(1)11)(;,(1);,(11);,(1'
'k k
n m k k n
m k k n m k k n m k k k k a k k n m A a k k b n m A b a k k n m A b k k n m A b a k b k h g αααααααααααα∑∑∑∞
=∞=∞
=------=-------+=2
122
111);,(1));,(1)(1(11);,(11);,()1)(;,(k k
n
m k k n m k k
n
m a k k n m A n m A b a k k n m A a k k n m A b n m A b ααααααααααα));,(1)(1(11αn m A b ---≤. (12)
故除0,1,0===αm n 外，11(1)(1(,;))b A m n α---为严格小于1的常数，从而f 为K.q.c.映照。

注：取2
11(1)(1)22m n b f z b z z αα
--=++
-(m n -为偶数)，则(,;)HK f S m n α∈，
112(1)(1)22z f m
n
z
f b u b z f αα
--=
=+
-，
1112(1)(1)
1(1)(1(,;))22f
m n b u b b A m n ααα
∞
--=+
=----,
由此可知此时(12)式的估计是精确的。

在文[6]中，S.Yalçin 考虑了);,(αn m S H 类的凸像区域性质，证明了以下结果： 定理D [6]
若(,;)H m f S m n α∈，则m f 在圆盘
1
1
11(1)(1)
min [1(1(1))]k m n k b z k b ααα--⎧⎫--≤⎨⎬----⎩⎭
，2,3,k = 上凸像。

下面我们改进了定理D 的结果，得到：
定理2 若);,(αn m S f H m ∈，则除1,0==m n 外，)(U f m 是凸像的。

证明：由文[7]知:若H S g h f ∈+=,∑∞
=+
=2
)(k k
k z
a z z h ,∑∞
==
1
)(k k k z b z g , 当
12
21)(b b a k k k k -≤+∑∞
=时，则)(U f 凸像； 首先，我们注意到：
当0≠n 时， 21)
(1)(1k k k k k k k n m n n m >-->--=---αααααα ， (13)
当2,0≥=m n 时， 211k k k k m n m >--=--α
α
αα ， (14)
故当0,1n m ≠≠时，由(13)、(14)得：
∑∑∑∑∞=∞=-∞
=∞
=---+--≤+--≤+22222
1)1(1)(1)(k k k n
n m m k n m k k k n m k k k b k k a k k b a k k b a k αααααα.(15) 故当);,(αn m S f H m ∈，0≠n 且1≠m 时，由定理B 及(15)得：
12
2
2
2
11)1(1)(b b k k a k k b a k
k k k n
n m m k n
m k k k -≤---+
--≤
+∑
∑
∑∞
=∞
=-∞
=α
αα
α,
又因为H H S n m S ⊂);,(α，故当0,1n m ≠≠时,)(U f m 为凸像。

注：当1,0==m n 时，取2
112
f z z =-
，则1(1,0;0)H f S ∈，但1()f U 非凸。

对);,(αn m S H 的偏差定理，定理C 已给出很好的估计，但没有指出精确性，为此，我们有下列：
定理3 设);,(αn m S f H m ∈。

则对1<=r z ，我们有
211)2
)1(12
1(
2
1)(r b r b z z f n
m n m n
m n
m α
αα
α----
--+
≤----， 1||<=r
z (16)
等号可由下面的函数达到：
211
1(1)22m m n
f z b z b z αα-=++
--，1m -、m n -为偶数。

证明：(16)式的证明可由定理C 给出，下面主要给出达到等号的函数来。

当1-m 、n m -为偶数时，对任何);,(αn m S f H m ∈，∑∑∞
=∞=+-
=1
2
k k k k k
k m z b z a z f ，(5)
式可表为
∑
∞
=-≤-+-1
)1(2])()[(k k n m k n m b k k a k k ααα.若取2111(1)22
m m n
f z b z b z αα-=++
--， 检验条件，有：
∑
∞
=----+-+-=-+-1
11)1(2
21)
22()1(1])()[(k n
m
n m k n m k n m b b b k k a k k ααααααα
)1(2α-=
故由定理B 知，);,(αn m S f H m ∈.当取z r =时，211)1(221)(r b r b z z f n
m m ---+=-αα，
故(16)式可取得等号。

参 考 文 献
1 J. Clunie, T. Shell-small. Harmonic univalent functions[J]. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 1984,(9): 3～25
2 H. Chen, P.M. Gauthier, and W. Hengartner. Bloch constants for planar harmonic mappings[J]. Poc. Amer. Math. Soc., 2000,128(11): 3231～3240
3 M. Pavlovic, Boundary correspondence under harmonic quasiconformal homeomorphisms of the unit disk[J]. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 2002,(27): 365～372
4 D. Kalaj, and M. Pavlovi ć, Boundary correspondence under quasiconformal harmonic diffeomorphisms of a half-plane[J]. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 2005,(30): 159～165
5 G. S. Salagean. Subclass of univalent functions[M]. Complex Analysis-Fifth Romanian Finish Seminar,Bucharest, 1983,(1): 362～372
6 S.Yal çin. A new class of Salagean-type harmonic univalent functions[J]. Applied Mathe- matics Letters, 2005,(18): 191～198
7 J. Jahangiri and H. Silverman. Harmonic close-to-convex mappings[J]. Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 2002,15(1): 23～28
The characteristic of Salagean-type univalent harmonic
functions
Wu Ruiyi Huang Xinzhong
(Department of Mathematics, Huaqiao University, 362021, Quanzhou, China)
Abstract In this paper, we mainly investigate the classes (,;)H S m n α and (,;)H S m n α defined by Salagean. It is proved that functions belonging to (,;)HK S m n α,which is a subclass of
(,;)H S m n α, are quasiconformal mappings. Meanwhile, we obtain the convex characteristic of
the class (,;)H S m n α. Our results improve some results of S.Yalçin ’s .
Keywords quasiconformal mapping, harmonic quasiconformal functions, convex。