2016-2017学年高中数学苏教版选修2-1学业分层测评2.6.2 求曲线的方程 含解析

学业分层测评
（建议用时：45分钟)
［学业达标］
一、填空题
1．已知点A（－2，0）,B(3，0)，动点P(x，y）满足错误!·错误!＝x2－6，则点P的轨迹方程是________．
【解析】错误!＝（3－x,－y）,错误!＝（－2－x,－y），
∴错误!·错误!＝（3－x）·（－2－x）＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2＝x。

【答案】y2＝x
2．“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y)＝0的解”是“方程f（x，y)＝0是曲线C的方程”的__________条件．
【解析】“方程f(x,y）＝0是曲线C的方程"⇒“曲线C上的点的坐标都是方程f（x,y)＝0的解”,反之不成立．
【答案】必要不充分
3．平面内有两定点A，B，且AB＝4，动点P满足｜错误!＋错误!|＝4，则点P的轨迹方程是________．
【解析】以AB的中点为原点,以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设A（－2，0）,B（2,0）．∵|错误!＋错误!|＝|2错误!|
＝4，
∴｜PO，→|＝2。

设P（x，y），∴错误!＝2,即x2＋y2＝4，
∴点P的轨迹方程是x2＋y2＝4.
【答案】x2＋y2＝4
4．已知定点F(1，0），动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且错误!·错误!＝0，延长MP到点N,使得｜错误!|＝|错误!|，则点N的轨迹方程是__________________．
【解析】由于|错误!｜＝｜错误!｜，则P为MN的中点．设N(x,y），则M（－x，0)，P错误!，由错误!·错误!＝0，得错误!·错误!＝0,所以（－x)·1＋错误!·错误!＝0,则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.
【答案】y2＝4x
5．已知A（－1，0),B（2，4)，△ABC的面积为10，则动点C 的轨迹方程是________．
【解析】由两点式，得直线AB的方程是错误!＝错误!，即4x－3y＋4＝0，AB＝错误!＝5。

设C点的坐标为（x，y），则错误!×5×错误!＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0。

【答案】4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
6．(2016·沈阳高二检测）已知AB＝3,A，B分别在x轴和y轴上滑动,O为坐标原点，错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，则动点P的轨迹方程是________。

【导学号：09390060】【解析】设P（x，y）,A（x0，0），B（0，y0）．∵AB＝3,∴x2，0＋y错误!＝9，错误!＝（x，y）＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!（x0，0）＋错误!(0，y0）＝错误!。

所以错误!即错误!又x错误!＋y错误!＝9，所以错误!x2＋9y2＝9，即错误!＋y2＝1。

【答案】错误!＋y2＝1
7．△ABC的顶点A(－5,0），B（5，0),△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
【解析】如图，AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF,
所以CA－CB＝8－2＝6。

根据双曲线定义，所求轨迹是以A,B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支,方程为错误!－错误!＝1（x〉3)．【答案】错误!－错误!＝1（x>3）
8．已知点A（1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点,若错误!＝错误!，则点P的轨迹方程是________．
【解析】∵错误!＝错误!，∴R,A，P三点共线，且A为RP的中点，设P（x，y)，R（x1,y1）,则由错误!＝错误!，得（1－x1，－y1）＝（x －1,y），则错误!即x1＝2－x，y1＝－y，将其代入直线y＝2x－4中，得y＝2x，∴点P的轨迹方程为y＝2x.
【答案】y＝2x
二、解答题
9．已知点Q在椭圆C：错误!＋错误!＝1上，点P满足错误!＝错误!(错误!＋错误!）(其中O为坐标原点,F1为椭圆C的左焦点),求点P的轨迹方程．
【解】因为点P满足错误!＝错误!(错误!＋错误!）,所以P是线段QF1的中点，设P(x,y)，由于F1为椭圆C：错误!＋错误!＝1的左焦点，则F1（－错误!，0），故Q错误!,由点Q在椭圆C:错误!＋错误!＝1上，则点P的轨迹方程为错误!＋错误!＝1，故点P的轨迹方程为错误!＋错误!＝1。

10．如图2。

6。

4，过点P（2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2,若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
图2.6.4
【解】法一：设点M的坐标为（x，y）．
∵M为线段AB的中点,
∴A的坐标为(2x，0）,B的坐标为（0，2y）．
∵l1⊥l2，且l1,l2过点P(2，4)，
∴PA⊥PB，k PA·k PB＝－1.
而k PA＝错误!(x≠1），k PB＝错误!,∴错误!·错误!＝－1（x≠1）．
整理，得x＋2y－5＝0（x≠1）．
∵当x＝1时,A，B的坐标分别为（2，0)，(0，4),
∴线段AB的中点坐标是(1，2），它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0。

法二:设M的坐标为（x，y),则A，B两点的坐标分别是（2x，0）,(0，2y）,连结PM。

∵l1⊥l2，∴2PM＝AB.
而PM＝x－22＋y－42，
AB＝错误!，
∴2错误!＝错误!，
化简，得x＋2y－5＝0，即为所求轨迹方程．
法三:∵l1⊥l2，OA⊥OB,
∴O,A，P，B四点共圆，且该圆的圆心为M，
∴MP＝MO，∴点M的轨迹为线段OP的垂直平分线．
∵k OP＝错误!＝2，OP的中点坐标为（1，2），
∴点M的轨迹方程是y－2＝－错误!(x－1)，
即x＋2y－5＝0。

［能力提升]
1．已知M(－2，0)，N(2，0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．
【解析】设P(x,y），∵△MPN为直角三角形，
∴MP2＋NP2＝MN2,
∴(x＋2）2＋y2＋（x－2)2＋y2＝16，整理得x2＋y2＝4。

∵M,N,P 不共线，∴x≠±2，
∴轨迹方程为x2＋y2＝4（x≠±2）．
【答案】x2＋y2＝4（x≠±2)
2．P是椭圆错误!＋错误!＝1上的任意一点,F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，错误!＝错误!1＋错误!2,则动点Q的轨迹方程是________．【解析】由错误!＝错误!1＋错误!2，又错误!1＋错误!2＝错误!＝2错误!＝－2错误!，
设Q (x ，y ），则错误!＝－错误!错误!
＝－错误!（x ，y ）＝错误!，
即P 点坐标为错误!，又P 在椭圆上，
则有错误!＋错误!＝1，即错误!＋错误!＝1.
【答案】 错误!＋错误!＝1
3．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点,P 是l 上满足错误!·错误!＝1的点,则点P 的轨迹方程是________．
【解析】 如图，设P 点的坐标为（x ,y )，
则由方程x 2＋2y 2＝4得2y 2＝4－x 2，
∴y ＝±错误!，
∴A ，B 两点的坐标分别为
错误!，错误!.
又错误!·错误!＝1，
∴错误!·错误!＝1，
即y 2－4－x 22
＝1， ∴错误!＋错误!＝1.
又直线l 与椭圆交于两点,∴－2<x 〈2，
∴点P 的轨迹方程为错误!＋错误!＝1(－2〈x <2）．
【答案】x2
6
＋错误!＝1(－2〈x〈2）
4．过点A(2,1)的直线l与椭圆错误!＋y2＝1相交,求l被截得的弦的中点的轨迹方程．
【解】法一：设直线l的斜率为k,则l的方程为y－1＝k(x－2)，设弦两端点为P（x1,y1），Q（x2,y2),中点为M（x,y）,则把l方程代入椭圆方程消去y，得
（1＋2k2)x2＋4k(1－2k）x＋2（1－2k）2－2＝0，
Δ＝16k2（1－2k)2－8（1＋2k2）［(1－2k）2－1］>0，得－2k2＋4k>0，
∴0<k<2，x＝错误!＝－错误!。

∵中点满足错误!消去k得轨迹方程x2＋2y2－2x－2y＝0,
所以弦的中点的轨迹方程为x2＋2y2－2x－2y＝0（椭圆内部）．法二：设弦两端点为P(x1，y1），Q(x2，y2），中点为M（x,y），由错误!得错误!＋(y1＋y2)(y1－y2）＝0,∴错误!＝－错误!×错误!,又∵k PQ＝k AM,∴错误!＝－错误!×错误!，∴2y（y－1）＝－x（x－2），即x2＋2y2－2x－2y＝0，所以弦的中点的轨迹方程为x2＋2y2－2x－2y＝0(椭圆内部)．。