无锡市2023届新高考高一数学下学期期末预测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a ，2812,a a +=则9S 等于（ ） A ．120
B ．60
C ．54
D ．108
2．在一个平面上，机器人到与点(3,3)C -的距离为8的地方绕C 点顺时针而行，它在行进过程中到经过点0()10,A -与(0,10)B 的直线的最近距离为（ ） A ．828-
B ．828+
C ．82
D ．122
3．在等差数列{}n a 中，若3456745a a a a a ++++=，则28a a +的值为( ) A ．15
B ．21
C ．24
D ．18
4．在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，60PBC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的体积为( ) A ．100π
B ．
5003
π
C ．125π
D ．
1253
π
5．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s 为（ ） A ．
5
2
B ．3
C ．
72
D ．4
6．如果连续抛掷一枚质地均匀的骰子100次，那么第95次出现正面朝上的点数为4的概率为（ ） A ．
1920
B ．
16
C ．
120
D ．
195
7．平面向量(,1)a n =与(4,)b n =共线且方向相同，则n 的值为（ ） A ．0
B ．2±
C ．2
D ．2-
8．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度（单位：mm ），将样本数据作成如下的频率分布直方图：下列关于这批棉花质量状况的分析，不合理的是（ ）
A ．这批棉花的纤维长度不是特别均匀
D ．这批棉花有可能混进了一些次品
9．如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中正确的是（ ）
A ．该超市这五个月中，利润随营业额的增长在增长
B ．该超市这五个月中，利润基本保持不变
C ．该超市这五个月中，三月份的利润最高
D ．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关
10．已知数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（n *∈N 且2n ≥），且数列21{}n a -是递增数列，数列2{}
n a 是递减数列，又12a a >，则100a = A ．5050-
B ．5050
C ．4950-
D ．4950
11．已知向量(2,3),(,4)a b x ==，若()a a b ⊥-，则x =（ ） A ．1
B ．
1
2
C ．2
D ．3
12．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列四个命题中正确的是（ ）．
（1）l m αβ⇒⊥∥ （2）l m αβ⊥⇒∥ （3）l m αβ⇒⊥∥ （4）
l m αβ⊥⇒∥
A ．（1）与（2）
B ．（3）与（4）
C ．（2）与（4）
D ．（1）与（3）
二、填空题：本题共4小题
13．某小区拟对如图一直角△ABC 区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形DEF ,在其内建造文化景观．已知2010AB m AC m ==，,则DEF 面积最小值为____
14．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
15．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______． 16．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,2
2π
πωϕ⎛⎫
>-<<
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则()f x 的单调增区间是______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况，某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，计算得：
20
1
160i
i x
==∑，
20
1
40i
i y
==∑，20
1
()360i i i x y ==∑，20
21
1480i i x ==∑，1,2,3,
20i =.
（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y a bx =+；
（2）指出（1）中所求出方程的系数，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关； （3）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄. 18．已知圆A ：22650x y y +++=，圆B ：224640x y x y +--+=. （Ⅰ）求经过圆A 与圆B 的圆心的直线方程；
（Ⅱ）已知直线l ：70x y +-=，设圆心A 关于直线l 的对称点为A '，点C 在直线l 上，当A BC '∆的面
件测量，测得数据如下（单位：mm ）： 甲：99，100，98，100，100，103； 乙：99，100，102，99，100，100.
（1）分别计算上述两组数据的平均数和方差
（2）根据（1）的计算结果，说明哪一台机床加工的零件更符合要求.
20．（6分）已知函数()()()()()2
cos
cos 0f x x x x ωωωω=>的最小正周期为π.
（1）求ω的值和函数()f x 的值域；
（2）求函数()f x 的单调递增区间及其图像的对称轴方程.
21．（6分）已知4sin ,(,)52x x π=∈π．
（1）求tan()x π-的值：
（2）求sin(2))33
x x ππ
++的值．
22．（8分）（1）任意向x 轴上()0,1这一区间内投掷一个点，则该点落在区间10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
内的概率是多少？ （2）已知向量()2,1a =-，(),b x y =，若x ，y 分别表示一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足0a b ⋅>的概率.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
题干中只有一个等式，要求前9项的和，可利用等差数列的性质解决。

【详解】
1928199()9
12,542
a a a a a a S ++=+==
=，选C. 【点睛】
题干中只有一个等式，要求前9项的和，可利用等差数列的性质2m n p q r +=+=
由题意知机器人的运行轨迹为圆，利用圆心到直线的距离求出最近距离． 【详解】
解：机器人到与点C (3,3)-距离为8的地方绕C 点顺时针而行， 在行进过程中保持与点C 的距离不变，
∴机器人的运行轨迹方程为22(3)(3)64x y -++=，如图所示；
(10,0)A -与(0,10)B ，
∴直线AB 的方程为
11010
x y
+=-，即为100x y -+=， 则圆心C 到直线AB 的距离为82811
d =
=>+， ∴最近距离为828-．
故选A ．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于基础题． 3．D 【解析】 【分析】
利用等差数列的性质，将等式全部化为28a a +的形式，再计算。

【详解】
因为3456745a a a a a ++++=，且374652a a a a a +=+=， 则59a =，所以285218a a a +==． 故选D
在三棱锥P ABC -中，求得5BC =,又由PC ⊥底面ABC ，所以PC BC ⊥,在直角PBC ∆中，求得
10PC =,进而得到三棱锥P ABC -外接球的直径，得到5R =，利用体积公式，即可求解.
【详解】
由题意知，在三棱锥P ABC -中，90BAC ∠=，3AB =，4AC =，所以5BC =, 又由PC ⊥底面ABC ，所以PC BC ⊥,
在直角PBC ∆中，0
5,60BC PBC =∠=，所以10PC =,
根据球的性质，可得三棱锥P ABC -外接球的直径为210R PC ==，即5R =， 所以球的体积为33445005333
V R π
ππ==⨯=，故选B. 【点睛】
本题主要考查了与球有关的组合体中球的体积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征和球的性质，准确求解球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 5．C 【解析】 【分析】
由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差． 【详解】
因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，
由平均数和方差的计算公式可得75558x ⨯+==，()2
27455782
s ⨯+-==. 故选：C. 【点睛】
本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键． 6．B 【解析】 【分析】
由随机事件的概念作答．
的，都是
1
6
，不会随机抛掷次数的变化而变化． 故选：B ． 【点睛】
本题考查随机事件的概率，属于基础题． 7．C 【解析】 【分析】
利用向量共线的坐标运算求解n ，验证得答案． 【详解】
向量(,1)a n =与(4,)b n =共线，240n ∴-=，解得2n ．
当2n =时，(2,1)a =，(4,2)2b a ==，
∴a 与b 共线且方向相同．
当2n =-时，(2,1)a =-，(4,2)2b a =-=-，
∴a 与b 共线且方向相反，舍去．
故选C ． 【点睛】
本题考查向量共线的坐标运算，是基础的计算题． 8．C 【解析】 【分析】
根据频率分布直方图计算纤维长度超过300mm 的频率，可知不超过一半，从而得到结果. 【详解】
由频率分布直方图可知，纤维长度超过300mm 的频率为：()0.00530.0033500.43+⨯=
0.430.5< ∴棉花纤维长度达到300mm 以上的不超过一半 C ∴不合理
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查利用频率分布直方图估计总体数据的分布特征，关键是能够熟练掌握利用频率分布直方图计算频率的方法. 9．D
根据折线图，分析出超市五个月中利润的情况以及营业额和支出的相关性. 【详解】
对于A 选项，五个月的利润依次为：0.5,0.7,0.8,0.5,1，其中四月比三月是下降的，故A 选项错误. 对于B 选项，五月的月份是一月和四月的两倍，说明利润有比较大的波动，故B 选项错误. 对于C 选项，五个月的利润依次为：0.5,0.7,0.8,0.5,1，所以五月的利润最高，故C 选项错误. 对于D 选项，根据图像可知，超市这五个月中的营业额和支出呈正相关，故D 选项正确. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查折线图的分析与理解，属于基础题. 10．A 【解析】 【分析】
根据已知条件可以推出，当n 为奇数时，0n a >，当n 为偶数时，0n a <，因此2
1n n a a n --=去绝对值可以得到，12
1(1)n n n a a n +--=-⋅，利用累加法继而算出结果．
【详解】
2212a a -=，即214a -=，
25a ∴=或3-，
又12a a >，
23a ∴=-．
数列21{}n a -为递增数列，数列2{}n a 为递减数列，
∴当n 为奇数时，0n a >，当n 为偶数时，0n a <， ∴121(1)n n n a a n +--=-⋅．
1001009999989897211()()()()a a a a a a a a a a ∴=-+-+-+⋯+-+ 2222222100999897969521=-+-+-+-
-+
22222222))(10099(9897(96195)(2)----=-----
(10099989796321)=-+++++⋯+++
1001
+
本题主要考查了通过递推式求数列的通项公式，数列单调性的应用，以及并项求和法的应用。

11．B 【解析】 【分析】
可求出()21a b x -=--，，根据()
a a
b ⊥-即可得出()
0a a b ⋅-=，进行数量积的坐标运算即可求出x ． 【详解】
()21a b x -=--，；
∵()
a a
b ⊥-；
∴()
()2230a a b x ⋅-=--=； 解得1
2
x =． 故选B. 【点睛】
本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题． 12．D 【解析】 【分析】 【详解】
∵直线l ⊥平面α，若α∥β，则直线l ⊥平面β，又∵直线m ⊂平面β，∴l ⊥m ，即(1)正确； ∵直线l ⊥平面α，若α⊥β，则l 与m 可能平行、异面也可能相交，故(2)错误； ∵直线l ⊥平面α，若l ∥m ，则m ⊥平面α，∵直线m ⊂平面β，∴α⊥β；故(3)正确； ∵直线l ⊥平面α，若l ⊥m ，则m ∥α或m ⊂α，则α与β平行或相交，故(4)错误； 故选D.
二、填空题：本题共4小题
13
【解析】 【分析】
设,DE x CED θ=∠=，然后分别表示,BE FEB ∠，利用正弦定理建立等式用θ表示x ，从而利用三角函数的性质得到x 的最小值，从而得到面积的最小值. 【详解】
显然，,6
3
B A π
π
∠=
∠=
，
设,DE x CED θ=∠=，则3
6
6
EFB CEF B π
π
π
θθ∠=∠-∠=+-
=+
，且02
π
θ<<
，
则cos CE x θ=
，所以cos BE x θ=，
在BEF ∆
中，由正弦定理可得：
cos sin()
sin
6
6
x x θ
π
πθ=
+，
求得x =
=，
其中cos ,sin 7ϕϕ=
=
02πϕ<<， 因为0θϕπ<+<，所以当2
π
θϕ+=时，sin()θϕ+取得最大值1，
则x
的最小值为
7
，
所以面积最小值为2
477
S ⎛== ⎝⎭， 【点睛】
本题主要考查了利用三角函数求解实际问题的最值，涉及到正弦定理的应用，属于难题.对于这类型题，关键是能够选取恰当的参数表示需求的量，从而建立相关的函数，利用函数的性质求解最值. 14．如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【解析】 【分析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】
将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m. 正确； （2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；
（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 【点睛】
本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 15．2
根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果. 【详解】
城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8. 本市共有城市数24 ,
∴用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本， ∴每个个体被抽到的概率是
61244
=， 丙组中对应的城市数8，
∴则丙组中应抽取的城市数为1
824
⨯=,故答案为2.
【点睛】
本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同. 16．()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦
（区间端点开闭均可）
【解析】 【分析】
由已知函数图象求得T ，进一步得到ω，再由五点作图的第二点求得ϕ，则得到函数的解析式，然后利用复合函数的单调性求出()f x 的单调增区间． 【详解】 由图可知，
115212122
T πππ=-=，则T π=，2ω∴=． 又52122ππ
ϕ⨯+=，3ϕπ∴=-．则()sin()f x x π=-223
． 由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+-
+，k Z ∈，解得512
12
k x
k π
π
ππ-
++，k Z ∈． ()f x ∴的单调增区间是5[,
]()12
12
k k k Z π
π
ππ-
++∈． 【点睛】
本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式以及复合函数单调区间的求法． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）12
55
y x =+；（2）正相关；（3）2.2千元. 【解析】 【分析】
（1）直接利用公式计算回归方程为：1255
y x =+. （2）由（1）1
05
b =
>，故正相关. （3）把9x =代入1255
y x =+得：11
2.25y ==.
【详解】
（1）∵2011160820i i x x ====∑，20
1
1220i i y y ===∑，样本中心点(),x y 为：(8,2) ∴由公式得：()20
1
20
2
21
2036020821
148020645
20i i
i i i x y xy
b x x
==--⨯⨯=
=
=-⨯-∑∑
把(8,2)代入15
y a bx a x =+=+得：25a =
所求回归方程为：12
55
y x =
+； （2）由（1）知，所求出方程的系数为：15
b =
，2
5a =，
∵1
05
b =
>， ∴x 与y 之间是正相关.
（3）把9x =代入1255
y x =
+得：11
2.25y ==（千元）
即该居民区某家庭月收入为9千元时,预测该家庭的月储蓄为2.2千元. 【点睛】
本题考查了回归方程的计算和预测，意在考查学生的计算能力. 18．（I ）330x y --=（Ⅱ）()1,6C 或174,33C ⎛⎫
⎪⎝
⎭ 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由已知求得A ，B 的坐标，再由直线方程的两点式得答案；
（Ⅱ）求出A '的坐标，再求出A B '以及A B '所在直线方程，设(),7C m m -，利用点到直线的距离公式求出C 到A B '所在直线的距离，代入三角形面积公式解得m 值，进而可得C 的坐标. 【详解】
（Ⅰ）将圆A ：2
2
650x y y +++=化为：()2
234x y ++=，所以()0,3A -，
圆
B ：224640x y x y +--+=化为：()()2
2
239x y -+-=，所以()2,3B ，
所以经过圆A 与圆B 的圆心的直线方程为：30
3320
y x +-=+-，即330x y --=. （Ⅱ）如图，
设(),A a b '，由题意可得37022
31a b b a
-⎧+-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得107a b =⎧⎨=⎩，即()10,7A '，
∴()()
22
1027345A B '=
-+-=
A B '所在直线方程为
3273102
y x --=--，即240x y -+=， 设(),7C m m -，则C 到A B '所在直线的距离1424
310
5
5
m m m d -++-=
=
由3101451425
A BC m S '∆-=
⨯=，解得1m =或17
3m =， ∴点C 的坐标为()1,6C 或174,33C ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点关于直线的对称点的求法，考查运算求解能力，属于中档题. 19．（1）见解析；（2）乙机床加工的零件更符合要求. 【解析】 【分析】
(1)直接由平均数和方差的计算公式代入数据进行计算即可. (2)由平均数和方差各自说明数据的特征，做出判断. 【详解】 （1）9910098100100103
1006
x +++++=
=甲，
9910010299100100
1006
x +++++=
=乙，
2222222
17(99100)(100100)(98100)(100100)(100100)(103100)63
s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦甲， 22222221(99100)(100100)(102100)(99100)(100100)(100100)16s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣
⎦乙. （2）因为x x =甲乙，22
s s >甲乙，
说明甲、乙机床加工的零件的直径长度的平均值相同. 且甲机床加工的零件的直径长度波动比较大， 因此乙机床加工的零件更符合要求. 【点睛】
本题考查计算数据的平均数和方差以及根据数据的平均数和方差做出相应的判断，属于基础题. 20．（1）1ω=，值域为13,22⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
；（2）单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，对称轴方程为
()ππ
26
k x k =
+∈Z . 【解析】 【分析】
（1）利用二倍角公式降幂，然后化为()sin y A x b ωϕ=++的形式，由周期公式求出ω，同时求得值域； （2）直接利用复合函数的单调性求得增区间，再由()26
2
x k k Z π
π
π+=
+∈求得对称轴方程.
【详解】
（1）()()()()21cos 2cos cos 22x f x x x x x ωωωωω+=+=
+
1sin 262x πω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
由22T π
πω
=
=，得1ω=， ()1sin 262f x x π⎛
⎫∴=++ ⎪⎝
⎭，
则函数()f x 的值域为13,22⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦； （2）由()222262
k x k k πππ
π-≤+≤π+∈Z ， 解得(),3
6
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈，
∴函数()f x 的单调递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦，
令()26
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，解得()6
2
k x k Z π
π
=
+
∈， ∴函数()f x 的对称轴方程为()6
2
k x k Z π
π
=
+
∈. 【点睛】
本题考查了二倍角公式以及三角函数的图像与性质，掌握正弦函数的性质才是解题的关键，考查了基本知识，属于基础题. 21．（1）43
；（2）48
25-
【解析】 【分析】
(1)利用平方关系、诱导公式以及诱导公式即可求解; (2)利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式化简即可求值. 【详解】 （1）因为4
sin 5x =
且(,)2
x ππ∈
所以cos x =3
5
=- tan()tan x x π-=-sin 4
cos 3
x x =-
=；
（2）sin(2))33x x ππ
++
2sin(2)2sin 233x x ππ=+-=484sin cos 25
x x ==-． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简与求值，关键是利用诱导公式、同角三角函数的基本关系以及辅助角公式来求解，属于中档题. 22．（1）1
2（2）16
【解析】 【分析】
（1）几何概型的计算公式求解即可；
（2）求出该骰子先后抛掷两次的基本事件总数，根据数量积公式得出满足0a b ⋅>包含的基本事件个数，由古典概型概率公式求解即可. 【详解】
解：（1）由题意可知，任意向0,1这一区间内掷一点，该点落在0,1内哪个位置是等可能的.
令1|02A x x ⎧
⎫
=<<
⎨⎬⎩
⎭
，则由几何概型的计算公式可知：()11212
P A ==.
（2）将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，共有6636⨯=个基本事件.
由0a b ⋅>，得2y x >
满足0a b ⋅>包含的基本事件(),x y 为()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,5，()2,6共6种情形， 故()
610366
P a b ⋅>==. 【点睛】
本题主要考查了利用几何概型概率公式以及古典概型概率公式计算概率，属于中档题.
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()2462n f n =++++，则(1)f n +比()f n 多了几项（ ）
A ．1
B ．n
C ．1n +
D ．12n -
2．已知0,0x y >>，,,,x a b y 成等差数列，,,,x c d y 成等比数列，则2
()a b cd
+的最小值是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
3．某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（） A ．高一学生被抽到的可能性最大 B ．高二学生被抽到的可能性最大 C ．高三学生被抽到的可能性最大
D ．每位学生被抽到的可能性相等
4．已知等比数列{}n a 中，0n a >，164a a =，则22232425log log log log a a a a +++=（ ） A ．10 B ．7
C ．4
D ．12
5．若,126ππα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则tan 21α>的概率为（ ） A ．
14 B ．
13
C ．
12
D ．
23
6．已知,A B 为锐角，且满足tan tan tan A B A B ++=，则cos()A B +=（ ）
A ．
2
B ．
12
C ．
D ．12
-
7．已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为6π，则它的体积是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()
*
12n n n a a n N +⋅=∈，则2020S =（ ）
A ．202021-
B ．1010323⨯-
C ．1010321⨯-
D ．1010322⨯-
9．设,,a b c 为实数，且0a b >>，则下列不等式成立的是 （ ） A ．22a b <
B ．22ac bc <
C ．
11a b
< D ．
c c a b
< 10．若三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，
且三棱锥P ABC -O 的体积为( )
A B C D ．
11．已知A 、B 是球O 的球面上的两点，AOB 90∠=，点C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体
积的最大值为4
3
，则球O 的表面积为( ) A ．16π
B ．36π
C ．64π
D ．144π
12．若存在正实数b ，使得 (
)a b a b b a +=-，则（ ） A ．实数a 的最大值为21+ B ．实数a 的最小值为21+ C ．实数a 的最大值为21- D ．实数a 的最小值为21-
二、填空题：本题共4小题
13．已知指数函数[]0,2x
y a =在上的最大值与最小值之和为10，则a =____________。

14．在等差数列{}n a 中，23a =-，712a =，则公差d =______. 15．不等式
1
03
x x -≥+的解集是_______. 16．已知数列{}n a 的通项公式2
213n a n n =-,则122334910||||||||a a a a a a a a -+-+-+
+-=_______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知ABC ∆的顶点()1,2A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为50x y +-=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y --=. （1）求C 点坐标； （2）求直线BC 的方程.
18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且48a =，612a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若20n S =，求n 的值.
19．（6分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北45︒的方向上，仰角为30，行驶4km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北60︒的方向上．
（1）求此山的高度（单位：km ）；
（2）设汽车行驶过程中仰望山顶D 的最大仰角为θ，求tan θ．
20．（6分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π
3
BAD ∠=
，PAD △是等边三角形，F 为AD 的中点，PA BF ⊥.
（Ⅰ）求证：PB AD ⊥；
（Ⅱ）若3CB CE =，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ?若存在，求CG 的长. 21．（6分）已知函数()()()()2
23sin cos +2cos 02f x x x x πϕϕϕϕ⎛⎫
=+++<<
⎪⎝
⎭
.
（1）求()f x 的最小正周期； （2）若13f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，求当()2f x =时自变量x 的取值集合. 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2
A -
,3
(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．
(Ⅰ)当1
4
AP BP ⋅=-
时，求α的值； (Ⅱ)在x 轴上是否存在定点M ，使得1
2
AP MP =恒成立？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
由()f n 写出(1)f n +，比较两个等式得多了几项. 【详解】
由题意()2462n f n =+++
+，则
()()
()
(1)2462222242n n n n n f n +++++
+=+
+++++，那么：
()()()
()
242(1)222n n n n f n f n +++
+++=+-，
又1221,422,623,
,222n n -=⨯=⨯=⨯=⨯
∴(1)f n +比()f n 多了12n -项.
故选：D. 【点睛】
本题考查对函数的理解和带值计算问题，属于基础题. 2．D 【解析】
解：∵x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列 根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y ，cd=xy ，
22()()4a b x y cd xy ++=≥= 当且仅当x=y 时取“=”， 3．D 【解析】 【分析】
根据分层抽样是等可能的选出正确答案. 【详解】
由于分层抽样是等可能的，所以每位学生被抽到的可能性相等，故选D. 【点睛】
本小题主要考查随机抽样的公平性，考查分层抽样的知识，属于基础题. 4．C
由等比数列性质可知1625344a a a a a a ===,进而根据对数的运算法则计算即可 【详解】
由题,因为等比数列,所以1625344a a a a a a ===,
则()()2
222232425223452162log log log log log log log 44a a a a a a a a a a +++====, 故选:C 【点睛】
本题考查等比数列的性质的应用,考查对数的运算 5．C 【解析】 【分析】 由,126ππα⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦，得2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2,43ππα⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时tan21α>，，即可求出α的范围，根据几何概型的公式，即可求解． 【详解】 由,126ππα⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦，得2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2,43ππα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即当,86ππα⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，tan21α>，所以tan21α>的概率为
16
82612π
π
ππ-
=-. 【点睛】
本题考查几何概型的公式，属基础题 6．D 【解析】 【分析】
由tan tan tan A B A B ++=
，得tan()A B +=2
3
A B π+=
，即可得到本题答案. 【详解】
由tan tan tan A B A B ++=
，得tan tan tan tan )A B A B +=-，
所以tan tan 1ta t n a an ()n t A B A B A B +=-+=
2
3
A B π+=，
所以21
cos()cos 32
A B π+==-.
本题主要考查两角和的正切公式的应用以及特殊角的三角函数值. 7．D 【解析】 【分析】
圆锥的底面周长，求出底面半径，然后求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】
∵圆锥的底面周长为6π ∴圆锥的底面半径3r = 双∵圆锥的母线长8l = ∴
圆锥的高为h =
=
∴
圆锥的体积为2
13
V r h π== 故选D. 【点睛】
本题是基础题，考查计算能力，圆锥的高的求法，熟练掌握公式是解题的关键． 8．B 【解析】 【分析】 由()*
12n
n n a a n N +⋅=∈可知，数列{}n
a 隔项成等比数列，从而得到结果.
【详解】 由()*
12
n n n a a n N +⋅=∈可知：
当n≥2时，1
12
n n n a a --⋅=，
两式作商可得：()1
1
2n 2n n a a +-=≥ ∴奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列， 偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列， ∴()1011010
10102020
0212121223132
S -⨯-+=---= 故选：B 【点睛】
本题考查数列的递推关系，考查隔项成等比，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.
9．C 【解析】 【分析】
本题首先可根据0a b >>判断出A 项错误，然后令0c 可判断出B 项和D 项错误，即可得出结果。

【详解】
因为0a b >>，所以22a b >，故A 错； 当0c 时，220ac bc ==，故B 错； 当0c
时，0c c a
b
==，故D 错，
故选C 。

【点睛】
本题考查不等式的基本性质，主要考查通过不等式性质与比较法来比较实数的大小，可借助取特殊值的方法来进行判断，是简单题。

10．A 【解析】 【分析】
由P ABC -的体积计算得高P ABC -的外接球，转化为长2，宽2，高体的外接球，求出半径，可得答案． 【详解】
∵2AB AC ==，90BAC ∠=︒，故三棱锥的底面面积为1
=22=22
S ⨯⨯，由PA ⊥平面ABC ，
得1122333P ABC ABC V S PA PA PA -∆=
=⨯⨯=，又三棱锥P ABC -，得PA =
所以三棱锥P ABC -的外接球，相当于长2，宽2，高
故球半径()(2
2
24420R =++=，得R =3
43V R π=球. 故选：A ． 【点睛】
本题考查了三棱锥外接球的体积，三棱锥体积公式的应用，根据已知计算出球的半径是解答的关键，属于中档题． 11．A 【解析】 【分析】
当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，利用三棱锥O ABC -体积的最
大值为
4
3
，求出半径，即可求出球O 的表面积． 【详解】
如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大， 设球O 的半径为R ，此时231114
3263
O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，2R ∴=. 因此，球O 的表面积为2416R ππ=. 故选：A.
【点睛】
本题考查球的半径与表面积的计算，确定点C 的位置是关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12．C 【解析】 【分析】
将题目所给方程转化为关于b 的一元二次方程，根据此方程在0b >上有解列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围，进而求出正确选项. 【详解】
由()ab a b b a +=-得(
)
2
2
10ab a b a +-+=，当0a =时，方程为0,0b b -==不和题意，故这是关于b
的一元二次方程，依题意可知，该方程在0b >上有解，注意到121b b ⋅=，所以由()
2222140
102a a a a
⎧∆=--≥⎪
⎨
-⎪->⎩解得021a <≤，故实数a 21，所以选C.
【点睛】
本小题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题 13．3 【解析】 【分析】
根据1a >和01a <<时x
y a =的单调性可确定最大值和最小值，进而构造方程求得结果. 【详解】
当1a >时，x
y a =在[]0,2上单调递增 2max y a ∴=，0min 1y a ==
2110a ∴+=，解得：3a =或3-（舍）
当01a <<时，x
y a =在[]0,2上单调递减 0max 1y a ∴==，2min y a =
2110a ∴+=，解得：3a =（舍）或3-（舍）
综上所述：3a = 故答案为：3 【点睛】
本题考查利用函数最值求解参数值的问题，关键是能够根据指数函数得单调性确定最值点. 14．3 【解析】 【分析】
根据等差数列公差性质列式得结果. 【详解】
因为23a =-，712a =，所以()721233725
a a d ---===-. 【点睛】
本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．()[),31,-∞-+∞
【解析】 【分析】
1
03
x x -≥⇔+(1)(3)0x x -+≥且30x +≠，然后解一元二次不等式可得解集． 【详解】 解：
1
3
x x -≥+， ∴(1)(3)0x x -+≥且30x +≠，
1x ∴≥或3x <-，
∴不等式的解集为()
[),31,-∞-+∞，
故答案为：()[),31,-∞-+∞．
【点睛】
本题主要考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为其等价形式，属于基础题． 16．101 【解析】 【分析】
本题考查的是数列求和，关键是构造新数列1|||411|n n n b a a n +=-=-，求和时先考虑比较特殊的前两项，剩余7项按照等差数列求和即可． 【详解】
令1|||411|n n n b a a n +=-=-， 则所求式子为{}n b 的前9项和9s ． 其中17b =，23b =，
从第三项起，是一个以1为首项，4为公差的等差数列，
∴976
107141012
s ⨯=+⨯+
⨯=， 故答案为1． 【点睛】
本题考查的是数列求和，关键在于把所求式子转换成为等差数列的前n 项和，另外，带有绝对值的数列在求和时要注意里面的特殊项．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）()5,0；（2）2100x y +-= 【解析】 【分析】
（1）根据点斜式求出AC 边所在的直线方程，再由CM 所在直线方程，两方程联立即可求解. （2）设(),B s t ，根据题意可得220s t --=，
12
5022
s t +++-=，两式联立解得 ,s t 的值，再根据两点式即可得到直线BC 的方程.
【详解】 （1）
AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y --=，且()1,2A
∴1
2
AC k =-
，AC 边所在的直线方程为250x y +-=， 由AB 边上的中线CM 所在直线方程为50x y +-=，
50250
x y x y +-=⎧∴⎨+-=⎩ ，解得5,0x y ==，故C 点坐标为()5,0.
（2）设(),B s t ，则由AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y --=， 可得220s t --=，
AB 边上的中线CM 所在直线方程为50x y +-=，
12
5022
s t ++∴
+-=， 22012502
2s t s t --=⎧⎪
∴⎨+++-=⎪⎩，解得3,4s t ==，故点B 的坐标为()3,4，
则直线BC 的方程为43
0453
y x --=--，即2100x y +-=. 【点睛】
本题考查了点斜式方程、两点式方程，同时考查了解二元一次方程组，属于基础题. 18．（1）2n a n =；（2）4. 【解析】 【分析】
（1）运用等差数列的性质求得公差d ，再由4a 及d 求得通项公式即可． （2）利用前n 项和公式直接求解即可. 【详解】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，∴64
264
a a d -==-， 故4(4)2n a a n d n =+-=. （2）()12(22)
22
n n n a a n n S n n ++=
==+， ∴220n n +=，
解得4n =或5n =-（舍去）， ∴4n =. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及项数的求法，考查了前n 项和公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 19．（1
）km ．
（2
）tan 3
θ= 【解析】
【分析】
(1) 设此山高(km)h ,再根据三角形中三角函数的关系以及正弦定理求解即可.
(2) 由题意可知,当点C 到公路距离最小时,仰望山顶D 的仰角达到最大,再计算C 到直线AB 的距离即可. 【详解】
解：（1）设此山高(km)h ,则tan 30
h
AC =
,
在ABC 中,120ABC ∠=,604515BCA ∠=-=,4AB =．
根据正弦定理得
sin sin AC AB
ABC BCA =∠∠,
即
4
sin120tan 30sin15
h =⋅, 解得2(62)h =+（km ）．
（2）由题意可知,当点C 到公路距离最小时,仰望山顶D 的仰角达到最大, 所以过C 作CE AB ⊥,垂足为E,连接DE ．
则DEC θ∠＝,sin45CE AC =⋅︒,tan30DC AC =⋅︒, 所以6
tan DC CE θ=
=
．
【点睛】
本题主要考查了解三角形在实际中的运用,需要根据题意找到对应的直角三角形中的关系,或利用正弦定理求解.属于中档题. 20．（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）210
5
CG =. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）连接PF ,根据三角形性质可得PF AD ⊥,由底面菱形的线段角度关系可证明BF AD ⊥,即证明
AD ⊥平面PBF ,从而证明PB AD ⊥.
（Ⅱ）易证平面ABCD ⊥平面PAD ,连接CF 交DE 于点H ,过H 作HG
PF 交PC 于G ,即可证明
GH ⊥平面ABCD ,在三角形
【详解】
（Ⅰ）证明：连接PF ,PAD △是等边三角形,F 为AD 的中点,所以PF AD ⊥；
又底面ABCD 是菱形,π3
BAD ∠=, 所以BF AD ⊥,PF BF F ⋂=,
所以AD ⊥平面PBF ,
PB ⊂平面PBF ,所以PB AD ⊥.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BF AD ⊥,BF PA ⊥,AD PA A ⋂= 所以BF ⊥平面PAD ,又BF ⊂平面ABCD 即平面ABCD ⊥平面PAD 平面ABCD
平面PAD AD =,又PF AD ⊥,所以PF ⊥平面ABCD
连接CF 交DE 于点H ,过H 作HG PF 交PC 于G ,如下图所示:
所以GH ⊥平面ABCD ,又GH ⊂平面DEG 所以平面DEG ⊥平面ABCD 因为3CB CE =,所以
23CG CH CE GP HF DF ===,即2
5
CG CP = 在等边三角形PAD △中,可得22213PF =- 在菱形ABCD 中,由余弦定理可得222cos CF DF DC DF DC ADC =
+-⨯⨯∠。