《步步高 学案导学设计》 高中数学北师大版选修22【配套备课资源】第4章 3.1

课
时 栏
所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4 的交点为(－3,5)和(2,0)，
目
开 关
设所求图形面积为 S，根据图形可得 S＝ʃ 2－3(－x＋2)dx－ʃ －2 3(x2－
4)dx＝(2x－12x2)|－2 3－(13x3－4x)|－2 3 ＝225－(－235)＝1265.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 1:22:40 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/132021/9/132021/9/13Sep-2113-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/132021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021
开 关
即 y＝2x0x－x20，令 y＝0，得 x＝x20，即 C(x20，0)，
设由曲线和过点 A 的切线与 x 轴围成图形的面积为 S，
则 S＝S 曲边△AOB－S△ABC，
∵S
＝x
曲边△AOB 0
0 x2dx＝13x3
x 0
0
＝13x30，
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3.1
S△ABC＝12|BC|·|AB|＝12(x0－x20)·x02＝14x30.
时
栏 何求呢？
目
开 关
答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分
别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间
上被积函数均是由上减下．
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3.1
例 2 计算由直线 y＝x－4，曲线 y＝ 2x以及 x 轴所围成图形
的面积 S. 解 方法一 作出直线 y＝x－4，曲线 y＝ 2x的草图．
3.1
探究点三 定积分的综合应用
例 3 在曲线 y＝x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以 及 x 轴所围成的面积为112，试求：
切点 A 的坐标以及在切点 A 的切线方程．
本
课 时
解 如图，设切点 A(x0，y0)，
栏 目
由 y′＝2x，过点 A 的切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，
32π＋sin
π 2
＝1－0＋1＋1＝3.
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3.1
4 3．由曲线 y＝x2 与直线 y＝2x 所围成的平面图形的面积为__3___．
本 课
解析
解方程组yy＝＝2x2x，，
得xy＝＝00，，
x＝2， y＝4.
时
栏 目
∴曲线 y＝x2 与直线 y＝2x 交点为(2,4)，(0,0)．
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3.1
本 探究点一 求不分割型图形的面积
课
时 问题 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
栏
目 答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下
开
关 限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．
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3.1
例 1 计算由曲线 y2＝x，y＝x2 所围成平面图形的面积 S.
∴S＝13x03－14x30＝112x30＝112.
本 所以 x0＝1，
课 时
从而切点为 A(1,1)，
栏
目 开
切线方程为 2x－y－1＝0.
关
小结 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待
定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切
线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月13日星期一2021/9/132021/9/132021/9/13 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/132021/9/13September 13, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/13
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3.1
跟踪训练 2 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的 面积．
解 画出图形，如图所示．
本 课 时 栏
解方程组yx＝ ＋y＝x，2，
y＝ x， y＝－13x，
x＋y＝2， 及y＝－13x，
目 开
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
关
所以 S＝ʃ 10[
目 开 关
又yy＝＝xk－x，x2，
由此可得，抛物线 y＝x－x2 与 y＝kx 两交点的横
坐标为 x3＝0，x4＝1－k，所以，
S2＝ʃ 10－k(x－x2－kx)dx＝1－2 kx2－13x3|10－k＝16(1－k)3. 又知 S＝16，所以(1－k)3＝12，于是 k＝1－ 3 12＝1－
34 2.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
3.1
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3.1
探究点二 分割型图形面积的求解
问题 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不
本 课
同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如
方法二
本
把 y 看成积分变量，则
课 时 栏
S＝ʃ 40(y＋4－12y2)dy＝(12y2＋4y－16y3)|04＝430.
目
开 关
小结
两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，
通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选
x 运算较繁锁，则积分变量可选 y，同时要更换积分上、下限．
本 课 时
解方程组yy＝ ＝x－2x4，
栏 目
得直线 y＝x－4 与曲线 y＝ 2x交点的
开 关
坐标为(8,4)．
直线 y＝x－4 与 x 轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为 S＝S1＋S2
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＝2
3
2
x
3 2
|40＋2
3
2
x
3 2
|84－12(x－4)2|84＝430.
本 课 时 栏 目 开 关
3.1
3．1 平面图形的面积
【学习要求】
本 会应用定积分求两条或多条曲线围成的平面图形的面积．
课 时
【学法指导】
栏
目 本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面
开
关 图形面积问题．在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几
何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求
解 由yy2＝＝xx2， 得交点的横坐标为 x＝0 及 x＝1.
因此，所求图形的面积为 S＝S 曲边梯形 OABC—S 曲边梯形 OABD
本 课 时
＝ʃ
1 0
xdx－ʃ
10x2dx＝23
x
3 2
|10－13x3|10＝23－13＝13.
栏 小结 求由曲线围成图形面积的一般步骤：
目
开 关
(1)根据题意画出图形；
时 栏 (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
目
开 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意
关
区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负
或为零；而平面图形的面积总是非负的.
开
关
∴S＝ʃ 20(2x－x2)dx＝(x2－13x3)|20
＝(4－83)－0＝43.
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3.1
4．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形 19
的面积是____3____．
本 解析 由图形可得S＝ʃ 10(x2＋4－5x)dx＋ʃ 41(5x－x2－4)dx
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3.1
1．在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中，正确的有( )
本
课
时
栏 目
S＝ʃab[f(x)－g(x)]dx S＝ʃ80(2 2x－2x＋8)dx
开 关
①
②
S＝ʃ41f(x)dx－ʃ74f(x)dx
③
④
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3.1
解析 ①应是S＝ʃba[f(x)－g(x)]dx，
栏 目 开
和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 S＝_－___ʃ_ba_f_(_x__)_d_x____.
关 3．当 x∈[a，b]时，若 f(x)>g(x)>0 时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)
和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面 图形的面积 S＝__ʃ_ba_[_f_(_x_)__－___g_(_x__)_]_d_x___.(如图)
本 ②应是S＝ʃ 802 2xdx－ʃ 84(2x－8)dx，
课
时
栏
目 开
③和④正确，故选D.
关
答案 D
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2．曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )
A．2
B．3
C．52
D．4

本
课 解析
时 栏 目 开 关
＝sin
π2－sin 0－sin
平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1
1．当 x∈[a，b]时，若 f(x)>0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0
本
和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 S＝___ʃ_ba_f_(_x_)_d__x_____.
课
时 2．当 x∈[a，b]时，若 f(x)<0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0
课
时 栏 目
＝(13x3＋4x－52x2)|01＋(52x2－13x3－4x)|41
开
关
＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4
＝139.
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3.1
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时
本 课
(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．
(2)找出范围，确定积分上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)将面积用定积分表示；
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
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3.1
跟踪训练 1 求由抛物线 y＝x2－4 与直线 y＝－x＋2 所围成图 形的面积．
解
本
由yy＝ ＝x－2－x＋4 2 得xy＝ ＝－5 3 或xy＝＝20 ，
图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．
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3.1
跟踪训练 3 如图所示，直线 y＝kx 分抛物
线 y＝x－x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两
部分，求 k 的值．
解
本
抛物线 y＝x－x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1＝0，x2＝1，
课 时 栏
所以，抛物线与 x 轴所围图形的面积 S＝ʃ10(x－x2)dx＝x22－31x3|10＝16.
x－(－13x)]dx＋ʃ 13[(2－x)－(－13x)]dx
＝ʃ 10(
x＋13x)dx＋ʃ
31(2－x＋13x)dx＝(23
x
3 2
＋16x2)|10＋(2x－12x2＋16x2)|31
＝23＋16＋(2x－13x2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝163.
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