2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：第四章 三角函数、解三角形4.2

������
≠
π 2
+
������π,������∈Z
.
一
二三四五六
角
正弦 余弦 正切
2kπ+α (k∈Z) sin α cos α
tan α
π+α -α
π-α
π2-α
π 2
+α
-sin α -sin α sin α cos α cos α
-cos α cos α -cos α sin α -sin α
= t1a-nt2a���n���+2���1��� .
cos2������
∵tan α=-43,
∴1
cos2������-sin2������
=
tan2������+1 1-tan2������
=
(1-43-()-243+)21=-275.
考点一
第四章
考点二
考点三
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
=
1 5
,
①
sin2������ + cos2������ = 1.②
由①得 cos α=15-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
解得 sin α=45或 sin α=-35.
∵α∈(0,π),∴sin α=45,cos α=-35. ∴tan α=-43.
第四章
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
-10-
法三:设角 α 终边上任一点的坐标为(x,y),
∵sin α+cos α=15,
∴ ������ +
������2+������2
������ ������2+������2
=
15,
化简得 12y2+25xy+12x2=0,方程两边同除 x2,
第四章
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
必必备备知知识识··预预案案自自诊诊 关键能力·学案突破
-7-
知识梳理 考点自诊
5.(2017 全国 2,理 14)函数 f(x)=sin2x+√3cos x-34
������∈
0,
π 2
大值是 1
.
解析:由题意可知 f(x)=1-cos2x+√3cos x-34
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
-11-
sin2������+cos2������
(2)cos2
1 ������-sin2������
=
sin2������+cos2������ cos2������-sin2������
=
cos2������ cos2������-sin2������
(方法二)由
sin������-cos������ = √2, sin2������ + cos2������ =
得 1,
2cos2α+2√2cos
α+1=0,
即(√2cos α+1)2=0,所以 cos α=-√22. 又 α∈(0,π),所以 α=34π,所以 tan α=tan 34π=-1.
又∵cos α∈[-1,1],
∴cos α≠-2,∴cos α=12,故选 D.
(2)(方法一)因为 sin α-cos α=√2,
所以(sin α-cos α)2=2,所以 sin 2α=-1.
因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α=32π. 所以 α=34π,所以 tan α=-1.
角α的 弧度数
0
π
sin α
0
1
0
cos α
1
0-
-
-
-1
tan α
0
1
-
-1 -
0
第四章
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
必必备备知知识识··预预案案自自诊诊 关键能力·学案突破
-4-
知识梳理 考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)对任意的角 α,β 有 sin2α+cos2β=1. ( × ) (2)若 α∈R,则 tan α=csoins������������恒成立. ( × ) (3)sin(π+α)=-sin α 成立的条件是 α 为锐角. ( × ) (4)若 cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则 cos θ=13. ( × ) (5)已知 sin 110°=a,则 cos 20°的值为-a. ( × )
sin������-cos������
+
cos������ 1-tan������
的值;
(2)求 m 的值;
(3)求方程的两根及此时 θ 的值.
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4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
-17-
解
(1)由根与系数的关系可知
sin������
+
cos������
=
√3+1 2
,
sin������·cos������
=
������ 2
,②
①
而 sin2������
sin������-cos������
+
1c-toasn������������=sins���i���n-2co������s������
+
cocso������s-2si������n������=sin
考点二
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4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
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关关键键能能力力··学学案案突突破破
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利用sin α±cos α与sin αcos α关系求值
例 2 已知关于 x 的方程 2x2-(√3+1)x+m=0 的两根为 sin θ 和 cos
θ,且 θ∈(0,2π).
(1)求 sin2������
2.“1”的灵活代换:1=cos2α+sin2α=(sin α+cos α)2-2sin αcos
α=tanπ4.
3.关于 sin α,cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子.
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4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
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√3 2
.
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4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
tan α -tan α -tan α
口诀 函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
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4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
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知识梳理 考点自诊
特殊角的三角函数值
角 α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
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考点三
法二:由 sin α+cos α=15,平方得 2sin αcos α=-2245,
∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=4295, ∵α∈(0,π)且 sin α+cos α=15∈(0,1),
A.-43或 0 C.-43
B.43或 0 D.43
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考点二
考点三
解析:(1)由已知得 2sin2α=3cos α,
∴2cosห้องสมุดไป่ตู้α+3cos α-2=0,(cos α+2)(2cos α-1)=0.
2.(2018 湖北黄石调研)已知向量 a=(1,3),b=(sin α,cos α),且 a∥b,
则 tan α=( C )
A.3
B.-3
C.13
D.-13
解析:∵a∥b,∴3sin α=cos α,则 tan α=13.故选 C.
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4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
必必备备知知识识··预预案案自自诊诊 关键能力·学案突破
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对点训练 1(1)已知 2sin αtan α=3,则 cos α 的值是( D )
A.-1
B.-12
C.34
D.12
(2)已知 sin α-cos α=√2,α∈(0,π),则 tan α=( A )
A.-1
B.-√22
C.√22
D.1
(3)(2018 四川绵阳二诊)已知 2sin θ=1+cos θ,则 tan θ=( B )
得 12tan2α+25tan α+12=0, 解得 tan α=-43或 tan α=-34,
∵α∈(0,π)且 sin α+cos α=15, ∴sin α>0,cos α<0,且|sin α|>|cos α|, ∴|tan α|>1.则 tan α=-43.
考点一
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考点三
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
+
π 3
+cos
������-
π 6
的最大值为
( A)
A.65
B.1
C.35
D.15
解析:因为
cos
������-
π 6
=cos
π 2
-
������
+
π 3
=sin
������
+
π 3
,
所以 f(x)=15sin
������
+
π 3
+sin
������
+
π 3
= 65sin
������
+
π 3
,
故函数 f(x)的最大值为65.故选 A.
∴α∈ π2,π .
∴sin α-cos α>0,∴sin α-cos α=75,
∴解方程组
sin������ + cos������ sin������-cos������ =
=
1 5
7 5
,
,
得
sin������
=
4 5
,
cos������
=
-
3 5
,
∴tan α=-43.
考点一
第四章
考点二
考点三
=-cos2x+√3cos x+14=-
cos������-
√3 2
2
+1.
因为
x∈
0,
π 2
,所以
cos
x∈[0,1].
所以当 cos x=√23时,函数 f(x)取得最大值 1.
的最
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4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
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4.2 同角三角函数的基本关系
及诱导公式
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知识梳理 考点自诊
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α= 1 .
(2)商数关系:csoins������������= tan α 2.三角函数的诱导公式
∴x=√23,y=-12,r=|OP|=1,∴sin(π-α)=sin α=������������=-12.
第四章
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知识梳理 考点自诊
4.(2017 全国 3,文 6)函数 f(x)=15sin
������
考点二
考点三
同角三角函数基本关系式的应用
α=
例 1(1)(2018 首师大附中月考)已知 α∈(0,π),sin
-43
.
(2)已知 tan α=-43,则cos2������1-sin2������=
-275
.
α+cos
α=15,则
tan
解析:
(1)法一:联立方程
sin������
+
cos������
(3)由 2sin θ=1+cos θ 可得 2sin θ-cos θ=1,
两边平方可得 4sin2θ-4sin θcos θ+cos2θ=1,
则 3sin2θ-4sin θcos θ=0,
则 3sin θ=4cos θ 或 sin θ=0,所以相应有 tan θ=43或 tan θ=0.
考点一
第四章
θ+cos
θ=√32+1.
(2)由①两边平方得 1+2sin θcos θ=2+2√3,将②代入得 m=√23.
(3)当 m=√23时,原方程变为 2x2-(1+√3)x+√23=0,解得 x1=√23,x2=12,
则
sin������
=
√3 2
,
或
sin������
=
1 2
,
∵θ∈co(s0������,2=π)12,∴θ=π6或cosθ���=��� π3=.
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知识梳理 考点自诊
3.(2018 山东潍坊三模,3)在直角坐标系中,若角 α 的终边经过点
P(sin 23π,cos 23π),则 sin(π-α)=( C )
A.12
B.√23
C.-12
D.-√23
解析:∵角 α 的终边经过点 P(sin 23π,cos 23π),即 P(√23,-12),
考点一
第四章
考点二
考点三
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
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关关键键能能力力··学学案案突突破破
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(方法三)因为 sin 所以 sin(α-π4)=1.
α-cos
α=√2,所以√2sin(α-π4)=√2,
因为 α∈(0,π),所以 α=34π,所以 tan α=-1.
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
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思考同角三角函数基本关系式有哪些用途?
解题心得 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的
互化,利用 tan α=csoins������������
������
≠
������π
+
π 2
,������∈Z
可以实现角 α 的弦切互化.